第四章 电磁感应专题5—电磁感应双杆模型

第四章电磁感应专题（五）—电磁感应双杆模型
班级：姓名：1.初速度不为零，不受其他水平外力的作用
例1．间距为L＝2 m的足够长的金属直角导轨如图3所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面.质量均为m＝0.1 kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直放置形成闭合回路.细杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，导轨的电阻不计，细杆ab、cd接入电路的电阻分别为R1＝0.6 Ω，R2＝0.4 Ω.整个装置处于磁感应强度大小为B＝0.50 T、方向竖直向上的匀强磁场中(图中未画出).当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动，且t＝0时，F＝1.5 N.g＝10 m/s2.
(1)求ab杆的加速度a的大小；
(2)求当cd杆达到最大速度时ab杆的速度大小；
(3)若从开始到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做的功为5.2 J，求该过程中ab杆所产生的焦耳热.
例2．如图所示，平行倾斜光滑导轨与足够长的平行水平光滑导轨平滑连接，导轨电阻不计。

质量分别为m 和1
2m 的金属棒b 和c 静止放在水平导轨上，b 、c 两棒均与导轨垂直。

图中de 虚线往右有范围足够大、
方向竖直向上的匀强磁场。

质量为m 的绝缘棒a 垂直于倾斜导轨静止释放，释放位置与水平导轨的高度差为h 。

已知绝缘棒a 滑到水平导轨上与金属棒b 发生弹性正碰，金属棒b 进入磁场后始终未与金属棒c 发生碰撞。

重力加速度为g ，求：
（1）绝缘棒a 与金属棒b 发生弹性正碰后分离时两棒的速度大小； （2）金属棒b 进入磁场后，其加速度为其最大加速度的一半时的速度大小；
（3）两金属棒b 、c 上最终产生的总焦耳热。

例3．两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l 。

导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路，如图所示。

两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其它部分的电阻可不计。

在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B 。

设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v 0。

若两导体棒在运动中始终不接触，求：
（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？
（2）当棒ab 的速度变为初速度的3
4时，棒cd 的加速度是多大？
例4．如图所示，M 1N 1P 1Q 1和 M 2N 2P 2Q 2为在同一水平面内足够长的金属导轨，处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．导轨的M 1N 1段与M 2N 2段相互平行，距离为L ；P 1Q 1段与P 2Q 2段也是平行的，距离为L
2。

质量均为m 的金属杆a 、b 垂直于导轨放置，一不可伸长的绝缘轻线一端系在金属杆b
的中点，另一端绕过定滑轮与质量也为m 的重物c 相连，绝缘轻线的水平部分与P 1Q 1平行且足够长。

已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持光滑接触，两杆与导轨构成的回路的总电阻始终为R ，重力加速度为g 。

(1)若保持a 固定，释放b ，求b 的最终速度的大小；
(2)若同时释放a 、b ，在释放a 、b 的同时对a 施加一水平向左的恒力F ＝2mg ，当重物c 下降高度为h 时，a 达到最大速度。

求：①a 的最大速度；②从释放a 、b 到a 达到最大速度的过程中，两杆与导轨构成
的回路中产生的电能。

第四章 电磁感应专题（五）—电磁感应双杆模型课后练习
1．（重复）如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L ＝0.4 m ．导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN ，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B ＝0.5 T ．在区域Ⅰ中，将质量m 1＝0.1 kg ，电阻R 1＝0.1 Ω的金属条ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量m 2＝0.4 kg ，电阻R 2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd 置于导轨上，由静止开始下滑．cd 在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab 、cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，g 取10 m/s 2.问： (1)cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向； (2)ab 刚要向上滑动时，cd 的速度v 多大；
(3)从cd 开始下滑到ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离x ＝3.8 m ，此过程中ab 上产生的热量Q 是多少．
2．如图所示，两条足够长的平行金属导轨相距L ，与水平面的夹角为θ，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B ，虚线上方轨道光滑且磁场方向垂直导轨平面向上，虚线下方轨道粗糙且磁场方向垂直导轨平面向下．当导体棒EF 以初速度v 0沿导轨上滑至最大高度的过程中，导体棒MN 一直静止在导轨上，若两导体棒质量均为m 、电阻均为R ，导轨电阻不计，重力加速度为g ，在此过程中导体棒EF 上产生的电热为Q ，求： (1)导体棒MN 受到的最大摩擦力； (2)导体棒EF 上升的最大高度．
3.如图所示，竖直固定的足够长的光滑金属导轨MN 、PQ ，间距L ＝0.2 m ，其电阻不计。

完全相同的两根金属棒ab 、cd 垂直导轨放置，每根金属棒两端都与导轨始终良好接触。

已知两棒质量均
班级： 姓名：
为m ＝0.01 kg ，电阻均为R ＝0.2 Ω，棒cd 放置在水平绝缘平台上，整个装置处在垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，磁感应强度B ＝1.0 T 。

棒ab 在竖直向上的恒力F 作用下由静止开始向上运动，当ab 棒运动x ＝0.1 m 时达到最大速度v m ，此时cd 棒对绝缘平台的压力恰好为零，g 取10 m/s 2。

求： (1)ab 棒的最大速度v m ；
(2)ab 棒由静止到最大速度的过程中通过ab 棒的电荷量q ； (3) ab 棒由静止到最大速度的过程中回路产生的焦耳热Q 。

4.如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨间距为L ，导轨上端连接一个定值电阻，导体棒a 和b 放在导轨上，与导轨垂直并接触良好，斜面上水平虚线PQ 以下区域内，存在着垂直斜面向上的磁场，磁感应强度大小为B 0，已知b 棒的质量为m ，a 棒、b 棒和定值电阻的阻值均为R ，导轨电阻不计，重力加速度为g 。

(1)断开开关S ，a 棒和b 棒固定在磁场中，恰与导轨构成一个边长为L 的正方向，磁场从B 0以ΔB
Δt ＝k 均匀
增加，写出a 棒所受安培力随时间变化的表达式。

(2)若接通开关S ，同时对a 棒施以平行导轨斜向上的拉力F ，使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b 棒恰好静止。

当a 棒运动到磁场的上边界PQ 处时，撤去拉力F ，a 棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动，此时b 棒已滑离导轨。

当a 棒再次滑回磁场上边界PQ 时，又恰能沿导轨匀速向下
运动，求a 棒质量m a 及拉力F 的大小。

第四章 电磁感应专题（五）—电磁感应双杆模型答案
例1. 解析 (1)由题可知，在t ＝0时，F ＝1.5 N 对ab 杆进行受力分析，由牛顿第二定律得F －μmg ＝ma 代入数据解得a ＝10 m/s 2.
(2)从d 向c 看，对cd 杆进行受力分析，如图所示，当cd 杆速度最大时，ab 杆的速度大小为v ，有F f ＝mg ＝μF N ，F N ＝F 安，F 安＝BIL ，I ＝BL v
R 1＋R 2
综合以上各式，解得v ＝2 m/s
(3)整个过程中，ab 杆发生的位移x ＝v 22a ＝22
2×10 m ＝0.2 m
对ab 杆应用动能定理，有W F －μmgx －W 安＝1
2m v 2
代入数据解得W 安＝4.9 J 根据功能关系得Q 总＝W 安 所以ab 杆上产生的热量Q ab ＝
R 1
R 1＋R 2
Q 总＝2.94 J. 例2. 解析 （1）设a 棒滑到水平导轨时，速度为v 0，下滑过程中a 棒机械能守恒1
2m v 20＝mgh
a 棒与
b 棒发生弹性碰撞 由动量守恒定律m v 0＝m v 1＋m v 2 由机械能守恒定律12m v 20＝12m v 21＋12m v 2
2
解出v 1＝0，v 2＝v 0＝2gh
（2）b 棒刚进磁场时的加速度最大。

b 、
c 两棒组成的系统合外力为零，系统动量守恒。

由动量守恒定律m v 2＝m v 2′＋m
2
v 3′
设b 棒进入磁场后任一时刻，b 棒的速度为v b ，c 棒的速度为v c ，则b 、c 组成的回路中的感应电动势E ＝BL （v b －v c ），由闭合电路欧姆定律得I ＝E
R 总，由安培力公式得F ＝BIL ＝ma ，联立得a ＝B 2L 2（v b －v c ）mR 总。

故当b 棒加速度为最大值的一半时有v 2＝2（v 2′－v 3′） 联立得v 2′＝56v 2＝5
6
2gh
（3）最终b 、c 以相同的速度匀速运动。

由动量守恒定律m v 2＝（m ＋m
2）v
由能量守恒定律12m v 22＝12（m ＋m 2）v 2
＋Q 解出Q ＝13
mgh
例3. 解析 （1）从开始到两棒达到相同速度v 的过程中，两棒的总动量守恒，有m v 0＝2m v ，
根据能量守恒定律，整个过程中产生的焦耳热 Q ＝12m v 20－12·2m v 2＝14m v 20。

（2）设棒ab 的速度变为3
4v 0时，cd 棒的速度为v ′，
则由动量守恒可知m v 0＝3
4
m v 0＋m v ′
得v ′＝1
4v 0，此时棒cd 所受的安培力F ＝BIl ＝B 2l 2v 04R 。

由牛顿第二定律可得棒cd 的加速度大小为
a ＝F m ＝B 2l 2v 04mR
，方向水平向右。

例4. 解析：(1)当b 的加速度为零时，速度最大，设此时速度为v m ，则： E ＝B L 2v m I ＝E
R
分别以b 、c 为研究对象：F T ＝BI L
2，F T ＝mg
联立解得：v m ＝
4mgR
B 2L 2
(2)①在加速过程的任一时刻，设a 、bc 的加速度大小分别为a a 、a bc ，电流为i ，轻绳的拉力为F T ′，分别以a 、b 、c 为研究对象，根据牛顿第二定律： F －BiL ＝ma a F T ′－Bi 2
L ＝ma bc
mg －F T ′＝ma bc 联立解得a a ＝4a bc
设a 达到最大速度v a 时，b 的速度为v b ，由上式可知：v a ＝4v b 当a 的加速度为零时，速度达到最大：2mg ＝Bi ′L 根据法拉第电磁感应定律：E ＝BLv a ＋B L
2v b
联立解得v a ＝16mgR 9B 2L 2，v b ＝4mgR
9B 2L
2
②设重物下降的高度为h 时，a 的位移为x a ，故x a ＝4h 根据功能关系：2mgx a ＋mgh ＝E 电＋12mv 2a ＋12mv 2b ＋12mv 2
c 联立解得E 电＝9mgh －m (4mgR 3B 2L 2)2.
1. 【解析】 (1)由右手定则可判断出cd 中的电流方向为由d 到c ，则ab 中电流方向为由a 流向b .
(2)开始放置ab 刚好不下滑时，ab 所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为F max ，有F max ＝m 1g sin θ ① 设ab 刚要上滑时，cd 棒的感应电动势为E ，由法拉第电磁感应定律有E ＝BL v ②
设电路中的感应电流为I ，由闭合电路欧姆定律有 I ＝E
R 1＋R 2
③ 设ab 所受安培力为F 安，有F 安＝BIL
④
此时ab 受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有F 安＝m 1g sin θ＋F max ⑤ 综合①②③④⑤式，代入数据解得v ＝5 m/s.
(3)设cd 棒运动过程中在电路中产生的总热量为Q 总，由能量守恒定律有m 2gx sin θ＝Q 总＋1
2m 2v 2
又Q ＝R 1
R 1＋R 2Q 总
解得Q ＝1.3 J.
2. 【解析】 (1)EF 获得向上初速度v 0时，产生感应电动势E ＝BL v 0，电路中电流为I ，由闭合电路的欧姆定律有I ＝E
2R
，
此时对导体棒MN 受力分析，由平衡条件有 F A ＋mg sin α＝F f ，F A ＝BIL ， 解得F f ＝B 2L 2v 0
2R
＋mg sin θ.
(2)导体棒EF 上升过程MN 一直静止，对系统由能的转化和守恒定律有12m v 20＝mgh ＋2Q ，解得h ＝m v 20－4Q
2mg .
3. 解析：(1)当ab 棒达到最大速度v m 时，对cd 棒，受重力和向上的安培力作用，根据共点力平衡条件有： mg ＝ILB ①
对整个回路，根据闭合电路欧姆定律有：E ＝2IR ②
根据法拉第电磁感应定律可知，ab 棒切割磁感线产生的感应电动势为：E ＝BL v m ③ 由①②③式联立解得： v m ＝
2mgR B 2L 2＝2×0.01×10×0.2
1.02×0.22
m/s ＝1 m/s 。

④ (2)设ab 棒由静止开始运动经过时间t 后速度达到最大，根据电流强度的定义可知：I ＝q t ⑤
根据闭合电路欧姆定律可知：I ＝
E 2R ⑥
根据法拉第电磁感应定律有：E ＝ΔΦ
t
⑦
由题意可知，在该过程中，穿过回路的磁通量变化量为：ΔΦ＝BLx ⑧ 由⑤⑥⑦⑧式联立解得：
q ＝BLx 2R ＝1.0×0.2×0.12×0.2
C ＝0.05 C 。

(3)当ab 棒速度达到最大时，其加速度为0，根据牛顿第二定律有： F －ILB －mg ＝0⑨
在ab 棒由静止到最大速度的过程中，根据功能关系有：(F －mg )x ＝1
2m v m 2＋Q ⑩
由①④⑨⑩式联立解得：
Q ＝mgx －12m v m 2＝0.01 J －0.005 J ＝5×10－
3 J 。

4. [解析] (1)由法拉第电磁感应定律可得 E ＝ΔΦ
Δt
，ΔΦ＝ΔBL 2
由闭合电路欧姆定律可得：I ＝E
2R
t 时刻的磁感应强度为B ＝B 0＋kt 此时a 棒受到的安培力为F 安＝BIL 解得：F 安＝kL 3
2R
(B 0＋kt )。

(2)由题意可知a 棒沿斜面向上运动时，a 棒为电源，b 棒和电阻R 并联，设通过a 棒(干路)的电流为I 1，由并联电路关系可得：I 1＝I b ＋I R
B 棒和电阻R 的阻值相等，则通过b 棒的电流为 I b ＝12
I 1
电路的总电阻为R 总＝R b R
R b ＋R ＋R a
由欧姆定律可得干路电流为I 1＝E
R 总
感应电动势为E ＝BLv
b 棒保持静止，则mg sin θ＝BI b L
a 棒脱离磁场后撤去拉力F ，a 棒机械能守恒，返回磁场时速度大小还是v ，此时a 棒和电阻R 串联，则电路中的电流为I 2＝E
R a ＋R
a 棒匀速下滑，则m a g sin θ＝BI 2L 联立解得m a ＝3
2
m
a 棒向上运动时受力平衡：F ＝m a g sin θ＋BI 1L 解得F ＝7
2mg sin θ。