2021届高考数学一轮总复习第9章解析几何第8节直线与圆锥曲线的综合问题第2课时圆锥曲线中的范围最值

第九章 解析几何

第八节 直线与圆锥曲线的综合问题 第2课时 圆锥曲线中的范围、最值问题

A 级·基础过关|固根基|

1.抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为( ) A.

2

B.728

C ．2 2

D.

526

解析：选B 设抛物线上一点的坐标为(x ，y )，则d ＝|x －y －2|

2

＝|－x 2＋x －2|

2

＝

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－742

，

∴当x ＝12时，d min ＝72

8

.

2．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝4，这样的直线可以作2条，则p 的取值范围是( )

A ．(0，4)

B ．(0，4]

C ．(0，2]

D ．(0，2)

解析：选D 过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦中最短的为通径，且通径长为2p ，由已知得2p <4，所以p <2.又p >0，所以0

3．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2

3

＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则

OP →·FP →

的最大值为( )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．8

解析：选C 由题意得，F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝

⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)． 则OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝

⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2.

因为－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →

取得最大值，最大值为6，故选C. 4．过椭圆C ：x 2a 2＋

y 2

b 2

＝1(a >b >0)的右顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，

且点B 在x 轴上的射影恰好为左焦点F ，若14

3

，则椭圆离心率的取值范围为( )

A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤

13，34 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，34 C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，34 D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，1 解析：选B 由题意知，B ⎝

⎛⎭⎪⎫

－c ，－b 2a ，

所以k ＝b 2

a c ＋a ＝a －c

a ＝1－e .又14

3，

所以14<1－e <23，解得13

4

.

5．已知点P 是双曲线C ：x 2

2－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P

在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( )

A ．1

B ．2＋15

5

C ．4＋15

5

D ．22＋1

解析：选D 设F 2是双曲线C 的右焦点，因为|PF 1|－|PF 2|＝2

2，所以|PF 1|＋|PQ |＝

22＋|PF 2|＋|PQ |，显然当F 2，P ，Q 三点共线且P 在F 2，Q 之间时，|PF 2|＋|PQ |最小，且

最小值为F 2到l 的距离．易知l 的方程为y ＝x

2

或y ＝－

x

2

，F 2(3，0)，则F 2到l 的距离

为d ＝

|3±0|3

＝1，故|PF 1|＋|PQ |的最小值为22＋1.故选D.

6．已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 2

4＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→

<0，

则x 0的取值范围是________．

解析：由题意可知，F 1(－

3，0)，F 2(

3，0)，则PF 1→·PF 2→

＝(x 0＋

3)(x 0－

3)＋y 20＝

x 20＋y 20－3<0.因为点P 在椭圆上，所以y 20＝1－x 20

4.所以x 20

＋⎝

⎛⎭⎪⎫1－x 204－3<0，解得－26

3

2

63

，即x 0的取值范围是⎝

⎛⎭

⎪⎪

⎫－

263

，

2

63. 答案：⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫

－263，

263 7．过双曲线x 2a 2－

y 2

b 2

＝1(a >0，b >0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交

于两点，则此双曲线离心率的取值范围为________．

解析：由过双曲线x 2a

2－

y 2b 2

＝1(a >0，b >0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右

支交于两点，可得b a

<2，

∴e ＝c a

＝

a 2＋

b 2

a 2

<1＋4＝ 5.

∵e >1，∴1

∴此双曲线离心率的取值范围为(1，5)．

答案：(1，

5)