[数学]第三章 抽样误差与假设检验

•精密度：反映在区间的长度，长度愈小 愈好。
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h
精业
修德
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厚生
3.均数的可信区间与参考值范围的区别
表 均数的可信区间与参考值范围的区别
含义
计算公式
用途
σ未知，
按预先给定的概率， X t 2,
s n
确定总体均数的可 可信区间 能范围；
总体均数的波动范 围。
σ已知或n很大， 总体均数的
区间估计
u X 2 n
u X
s 2 n
正常人的解剖、生 正态分布，
绝大多数观
u 参考值 范围
理、生化某项指标 的波动范围；个体
X S 偏态分布 2
值的波动范围。
察对象某项 指标的分布 范围
笃学
精 业 h P修X P 德100X 厚 生
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第四节、假设检验的基本步骤
一、假设检验的基本思想
假设检验(hypothesis test)是用来判断 样本与样本，样本与总体的差异是由抽
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t分布有如下特征
1．以0为中心，左右对称的单峰分布；
2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地 说与自由度ν）大小有关。自由度ν越小，t分布曲 线越低平；自由度ν越大，t分布曲线越接近标准 正态分布（u分布）曲线，如图4.1。
f(t)
x
t sx
0.4
υ=∞
υ＝5
0.3
υ＝1
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结果是怎样呢？
h
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一、假设检验的基本思想
两种可能：
1)由抽样误差所造成； 2)该样本均数确实与正常成年男性
脉搏数不同。
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一、假设检验的基本思想
先对总体的特征建立假设，然后判断此假设 应该被拒绝或不被拒绝。
假设检验的基本思想是小概率(P<0.05)反证 法思想,是先提出假设(检验假设H0)，再用适当的 统计方法确定假设成立的可能性大小，如可能性 小,则认为假设不成立，若可能性大，则还不能认 为假设不成立。
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二、假设检验的基本步骤
1、建立假设，确定检验水准。
零假设、无效假设(null hypothesis): 假设样 本来自同一总体，即其总体参数相等(H0)。
备择假设(H1)(alternative hypothesis): 作为 拒绝检验假设时的备选假设；
检验水准(size of test)，又称显著性水平
中心极限定理 当样本含量很大的情况下，无论原始测量变量服
从什么分布，X 的抽样分布均近似正态。
抽样分布
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图 抽样分布示意图
h
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二．均数的抽样误差
如上所述，数理统计研究表明，抽样 误差具有一定的规律性，可以用特定的指 标来描述。这个指标称为标准误 （standard error SE）。
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（三）、抽样误差的分布
理论上可以证明：若从正态总体 N( , 2 ) 中，反 复多次随机抽取样本含量固定为n 的样本，那么 这些样本均数 X 也服从正态分布，即 X 的总体均 数仍为 ，样本均数的标准差为 / n 。
抽样分布
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精 业 抽样分布修示意图德
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（三）、抽样误差的分布
样误差引起还是本质差别造成的统计推 断方法。 假设检验亦称差别有无统计学
意义检验(significance test)
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一、假设检验的基本思想
例：为研究某山区成年男子的脉搏均数是否 高于一般成年男子的脉搏均数，如某医生在 某山区随机测量了25名健康成年男子的脉搏， 平均次数为74.2次／分钟，标准差为6.0次／ 分钟，但是根据医学常识，一般男子的平均 脉搏次数为72次／分钟，问该山区男子脉搏 均数是否高于一般男子的脉搏均数？
复习
1、描述数值型资料的分布用什么方法？ 2、如何描述数值型资料的分布特征？ 3、描述数值型资料的集中趋势和离散
趋势指标有哪些？ 4、正态分布的特征
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第三章 抽样误差与假设检验
掌握内容： 1．t分布的概念和特征 2．总体均数的区间估计 3．假设检验的基本步骤 4．假设检验的基本原理 5．常用的数值型变量假设检验的方法
标准误除了反映样本统计量之间的离 散程度外，也反映样本统计量与相应总体 参数之间的差异，即抽样误差大小。
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标准误的计算公式：
x / n
sx
s n
•意义：反映抽样误差的大小。标准误越小， 抽样误差越小，用样本均数估计总体均数的 可靠性越大。
•与样本量的关系：S 一定，n↑，标准误↓
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在正态分布总体中以固定n（如
n=10）抽取若干个样本时，样本均数 的分布仍服从正态分布 N(,2 n) ，即。 所以，对样本均数的分布进行Z变换
[ u(x)/x]，也可变换为标准正
态分布N (0,1)。
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（二）t分布
由于在实际工作中，往往σ是未知 的，常用s作为σ的估计值，为了与Z变 换区别，称为t 变换t = x ，统计量 t 值的分布称为t 分布。 s x
0.2
0.1
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0.0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
图4.h1 自由度为1、5、∞的t分布
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t 5
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t 分布曲线下面积
t分布曲线下的面积与自由度ν有 关系。如t 分布曲线下面积为95%或 99%的界值不是一个常量，而是随着 自由度大小而变化的，分别用 t0.05 , 和 t 0 .01 , 表示。
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第三节 总体均数的估计
•统计推断包括两个重要的方面：参数估 计和假设检验。
•参数估计就是用样本指标（称为统计量， statistic）来估计总体指标（参数， parameter）。参数估计有两种方法： 点估计和区间估计。
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第三节 总体均数的估计 一、可信区间的概念(Confidence Interval）
理得到均数的可信区间为：
t t
2,
X s
n
2,
t t 即：
(X2,
sn,X2,
s) n
同理，单侧可
，
s X , n
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例 对某人群随机抽取20人，用某批号的结核 菌素作皮试，平均浸润直径为10.9cm，标准差 为3.86cm。问这批结核菌素在该人群中使用时， 皮试的平均浸润直径的95%可信区间是多少？
二、假设检验的基本步骤
3 .根据统计量确定P 值，作出统计推断
根据计算的统计量，查阅相应的统计
表，确定P 值，以P 值与检验水准比
较，若P，则拒绝H 0 ，接受H 1 ；
若 P，则不拒绝 H 0 。
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二、假设检验的基本步骤
一般来说，推断的结论应包括统计 结论和专业结论两部分。统计学结论只 说明有统计学意义(statistical significance)或无统计学意义(no statistical significance)
(2) 即使对有限总体来说，若包含的观察单位数 过多，需要耗费大量的人力、物力和时间， 而且也不易组织，难以保证工作的质量。
(3)有的时候，观察的实质就是一种破坏性实验， 根本就不允许对总体中的每一个体逐一观察。
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目前抽样研究的理论与技术已发展 成熟，只要严格按照有关抽样研究的要 求去做，这是完全可行的。
(significance level)为拒绝检验假设是犯第一类 错误的概率，是预先设定的概率值。
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二、假设检验的基本步骤 2、选择检验方法，并计算统计量
变量的分布类型不同、研究目的不同， 都决定着选择何种检验方法。因此需选 择合适的检验方法，并计算统计量。
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s
6.0
n
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二、假设检验的基本步骤
3.确定P值 查界值表： t t0.05,241.711 因此： P0.05
结论：
拒绝H0，接受H1。即可认为山区男
子的平均脉搏数比一般人群的高。
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参数估计
点估计：不考虑抽样误差，如 X 区间估计：考虑抽样误差
区间估计：指按预先给定的概率，计算出一个区间， 使它能够包含未知的总体均数。事先给定的概率
1称为可信度，通常取 10.95。
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二、可信区间的计算
1．σ已知或σ未知但n (n>50)足够大时， 由Z分布可知:
（1）σ已知： Z2X n Z2
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第三章 抽样误差与假设检验
熟悉： 1、抽样误差的概念 2、引起抽样误差的原因 3、均数的标准误的计算 4、标准差和标准误的区别
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第一节 抽样分布与抽样误差
一．抽样研究 （一）抽样研究的意义
总体
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样 本
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为什么要做抽样研究？
(1) 由于研究对象很多是无限总体，要直接研究 总体的情况是不可能的。
即 XZ2nXZ2n
写成区间形式：
(XZ2
n,XZ2
) n
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（2）σ未知，但足够大：Z2X sn Z2
可信区间为：
(XZ2
sn,XZ2
s) n
同理，单侧可信区间为：
XZ
n
或
X Z
s n
Z X
n
Z 或
s X n
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2．σ未知，且n (n＜50)不够大时，按t分布原
*
*
μ
*
*
*
*
图4-2 模拟抽样成年男子红细胞数100次的95%可信区间示意图
( 4 .7 ， 5 0 .3 ， 9 n 1) 40
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三 可信区间的注意问题
2．可信区间的两个要素: 准确度和精密度。
•准确度：反映在可信度的大小，即区间 包含总体均数的概率的大小，愈接近1愈 好。
2．估计总体均数的可信区间。 3．用于均数的假设检验。
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第二节 t 分布 一．t 分布(t-distribution)
（一）Z分布
正态分布（normal distribution）
常将一般的正态变量X通过变换[ Z(x)/] 转
化成标准正态变量Z，以使原来各种形态的正态分 布都转换为μ=0，σ=1的标准正态分布（standard normal distribution）,亦称Z分布。
再回头看本节刚开始提出的问题!
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二、假设检验的基本步骤
1.建立检验假设，确定检验水准。
双侧 H0： 0 两地男子脉搏均数相同。
H1： 0 两地男子脉搏均数不同。
单侧 H1: 0 或 0
0.05
2. 选择统计方法，计算统计量 。
计算t值：
t x0
74.272
1.833
该例n=20, n较小，因此，可认为平均浸润直
径服从t分布。自由度ν=20-1=19，查t 界值
表，得 t 0.05=,192.093
（10.9-2.093*3.86/ 20 ，10.9+2.093*3.86/ 20 ）cm
即(9.1，12.7)cm。
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三 可信区间的注意问题
1．可信区间的涵义
目的：就是要用样本信息来推断总体特 征，这就叫统计推断（statistical inference）
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（二）抽样研究和抽样误差
抽样研究是指从总体中按照随机化的原 则，抽取一定数量的个体组成样本进行研 究，从而推断总体的研究方法。
在抽样研究中产生的样本统计量与相应 的总体参数间的差异，称为抽样误差 （sampling error），
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例4.1 在某地随机抽查成年男子140人， 计 算 得 红 细 胞 均 数 4.77×1012/L ， 标 准 差 0.38 ×1012/L ，试计算均数的标准误。
S S0.380.032(1012/L) X n 140
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均数标准误的用途
1．衡量样本均数的可靠性 由于均数标准 误越小，均数的抽样误差越小，样本均 数就越可靠，代表性越好。