中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)附详细答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，我们定义直线 y=ax-a 为抛物线 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数，
a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在 y 轴上的三角形为其“衍生
三角形”．已知抛物线 y 2 3 x2 4 3 x 2 3 与其“衍生直线”交于 A、B 两点（点 A
∵ CF=3BE=18﹣3a， ∴ OF=20﹣3a． ∴ F（0，20﹣3a）． ∵ PEQF 为矩形，
∴ Qx Px Fx Ex ， Qy Py Fy Ey ，
2
2
2
2
∴ Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴ Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点 Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4 或
33
3
∴ E（-1，- 4 3 ）； 3
当 F 点的横坐标为-2 时，则 F 与 A 重合，不合题意，舍去； ②当 AC 为平行四边形的对角线时，
∵ C（-3,0），且 A（-2， 2 3 ）， ∴ 线段 AC 的中点坐标为（-2.5， 3 ），
设 E（-1，t），F（x，y），
则 x-1=2×（-2.5），y+t= 2 3 ，
【答案】(1) y=﹣ 3 x2 + 9 x+3；(2) 有最大值, 36 ;(3) 存在这样的 Q 点，使得四边形 CDPQ 是
44
5
菱形，此时点 P 的坐标为（ 7 ， 25 ）或（ 17 ，﹣ 25 ）．
36
3
3
【解析】
试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）设 P（m，﹣ 3 m2+ 9 m+3），△ PFD 的周长为 L，再利用待定系数法求直线 BC 的解 44
x
2
y=
23 3
x+
23 3
3
，解得
x=-2
y=2
3
x=1 或 y=0 ，
∴ A（-2， 2 3 ），B（1,0）；
（2）如图 1，过 A 作 AD⊥y 轴于点 D，
在 y 2 3 x2 4 3 x 2 3 中，令 y=0 可求得 x= -3 或 x=1，
3
3
∴ C（-3,0），且 A（-2， 2 3 ），
a=8（舍去）．
∴ Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点 E 在点 B 的右侧时，设 E（a，0），则 BE=a﹣6．
∵ CF=3BE=3a﹣18，
∴ OF=3a﹣20．
∴ F（0，20﹣3a）．
∵ PEQF 为矩形，
∴ Qx Px Fx Ex ， Qy Py Fy Ey ，
2
2
2
2
∴ Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0， ∴ Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a． 将点 Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8 或
【答案】（1）抛物线的解析式为 y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点 Q 的坐标为 （﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】
【分析】
（1）先求得点 A 的坐标，然后依据抛物线过点 A，对称轴是 x= 3 列出关于 a、c 的方程组 2
求解即可；
（2）设 P（3a，a），则 PC=3a，PB=a，然后再证明∠ FPC=∠ EPB，最后通过等量代换进行 证明即可；
∴ 直线 m 的解析式为 y= 1 x． 3
∵ 点 P 是直线 1 上任意一点， ∴ 设 P（3a，a），则 PC=3a，PB=a． 又∵ PE=3PF，
∴ PC PB ． PF PE
∴ ∠ FPC=∠ EPB． ∵ ∠ CPE+∠ EPB=90°， ∴ ∠ FPC+∠ CPE=90°， ∴ FP⊥PE． （3）如图所示，点 E 在点 B 的左侧时，设 E（a，0），则 BE=6﹣a．
析式为：y=﹣ 3 x+3，表示 PD=﹣ 3 m2 3m ，证明△ PFD∽ △ BOC，根据周长比等于对应
4
4
边的比得：
PED的周长 BOC的周长
=
PD BC
，代入得：L=﹣
9 5
（m﹣2）2+
36 5
，求
L
的最大值即可；
（3）如图 3，当点 Q 落在 y 轴上时，四边形 CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ，
（3）E（-1，- 4 3 ）、F（0， 2 3 ）或 E（-1， - 4 3 ），F（-4， 10 3 ）
3
3
3
3
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的 a 即可；（2）过 A 作 AD⊥y 轴于点
D，则可知 AN=AC，结合 A 点坐标，则可求出 ON 的长，可求出 N 点的坐标；（3）分别讨
3
3
在点 B 的左侧），与 x 轴负半轴交于点 C．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为
，点 A 的坐标为
，点 B 的坐
标为
；
（2）如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将△ ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的
对称点为 N，若△ AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点 N 的坐标；
∴ AC= （-2+3）2 +（2 3）2 = 13
由翻折的性质可知 AN=AC= 13 ，
∵ △ AMN 为该抛物线的“衍生三角形”， ∴ N 在 y 轴上，且 AD=2， 在 Rt△ AND 中，由勾股定理可得
DN= AN2-AD2 = 13-4=3，
∵ OD= 2 3 ，
∴ ON= 2 3-3 或 ON= 2 3+3 ，
∴ x= -4，y= 2 3 -t，
2 3 -t=- 2 3 ×（-4）+ 2 3 ，解得 t= - 4 3 ，
3
3
3
∴ E（-1， - 4 3 ），F（-4， 10 3 ）；
3
3
综上可知存在满足条件的点 F，此时 E（-1，- 4 3 ）、（0， 2 3 ）或 E（-1，
3
3
- 4 3 ），F（-4， 10 3 ）
（3）当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点 F，使
得以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1） y= 2 3 x+ 2 3 ；（-2， 2 3 ）；（1,0）；
3
3
（2）N 点的坐标为（0， 2 3-3 ），（0， 2 3+3 ）；
a=4（舍去）．
∴ Q（2，﹣6）．
综上所述，点 Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求
二次函数的解析式、中点坐标公式，用含 a 的式子表示点 Q 的坐标是解题的关键．
3．如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，且 OC=3OA．点 P 是抛物线上的一个动点，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，交直线 BC 于点 D，连接 PC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，当动点 P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点 P 作 PF⊥BC 于点 F，试 问△ PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点 P 在抛物线上运动时，将△ CPD 沿直线 CP 翻折，点 D 的对应点为点 Q，试问， 四边形 CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点 P 的坐标，如果不能，请说明理由．
a 的值即可．
【详解】
（1）当 y=0 时， 1 x 4 0 ，解得 x=4，即 A（4，0），抛物线过点 A，对称轴是 x= 3 ，
33
2
16a 12 c 0
得
3 3 2a 2
，
a 1 解得 c 4 ，抛物线的解析式为 y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵ 平移直线 l 经过原点 O，得到直线 m，
∵ ∠ BDE=∠ PDF，
∴ ∠ PDF=∠ BCO，
∵ ∠ PFD=∠ BOC=90°，
∴ △ PFD∽ △ BOC，
∴
PED的周长 BOC的周长
=
PD BC
，
由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5， 故△ BOC 的周长=12，
∴
L
Байду номын сангаас
3 4
m2
3m
，
12
5
即 L=﹣ 9 （m﹣2）2+ 36 ，
3
3
【点睛】 本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本 题的关键，属于压轴题
2．如图：在平面直角坐标系中，直线 l：y= 1 x﹣ 4 与 x 轴交于点 A，经过点 A 的抛物线 33
y=ax2﹣3x+c 的对称轴是 x= 3 ． 2
（1）求抛物线的解析式； （2）平移直线 l 经过原点 O，得到直线 m，点 P 是直线 m 上任意一点，PB⊥x 轴于点 B， PC⊥y 轴于点 C，若点 E 在线段 OB 上，点 F 在线段 OC 的延长线上，连接 PE，PF，且 PE=3PF．求证：PE⊥PF； （3）若（2）中的点 P 坐标为（6，2），点 E 是 x 轴上的点，点 F 是 y 轴上的点，当 PE⊥PF 时，抛物线上是否存在点 Q，使四边形 PEQF 是矩形？如果存在，请求出点 Q 的坐 标，如果不存在，请说明理由．
∴ △ ACK≌ △ EFH，
∴ FH=CK=1，HE=AK= 2 3 ，
∵ 抛物线的对称轴为 x=-1， ∴ F 点的横坐标为 0 或-2， ∵ 点 F 在直线 AB 上，
∴ 当 F 点的横坐标为 0 时，则 F（0， 2 3 ），此时点 E 在直线 AB 下方， 3
∴ E 到 y 轴的距离为 EH-OF= 2 3 - 2 3 = 4 3 ，即 E 的纵坐标为- 4 3 ，
∴ N 点的坐标为（0， 2 3-3 ），（0， 2 3+3 ）；
（3）①当 AC 为平行四边形的边时，如图 2 ，过 F 作对称轴的垂线 FH，过 A 作 AK⊥x 轴 于点 K，则有 AC∥ EF 且 AC=EF， ∴ ∠ ACK=∠ EFH， 在△ ACK 和△ EFH 中
ACK=EFH AKC=EHF AC=EF
（3）设 E（a，0），然后用含 a 的式子表示 BE 的长，从而可得到 CF 的长，于是可得到点
F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 Qx Px Fx Ex ， Qy Py Fy Ey ，从而
2
2
2
2
可求得点 Q 的坐标（用含 a 的式子表示），最后，将点 Q 的坐标代入抛物线的解析式求得
（1）由 OC=3OA，有 C（0，3），
将 A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）代入 y=ax2+bx+c 中，得：
a b c 0 16a 4b c 0 ， c 3
a
3 4
解得：
b
9 4
，
c 3
故抛物线的解析式为：y=﹣ 3 x2 + 9 x+3； 44
（2）如图 2，设 P（m，﹣ 3 m2+ 9 m+3），△ PFD 的周长为 L， 44
论当 AC 为平行四边形的边时，当 AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的 E、F 坐
标即可
【详解】
（1）∵ y 2 3 x2 4 3 x 2 3 ，a= 2 3 ，则抛物线的“衍生直线”的解析式为
3
3
3
y= 2 3 x+ 2 3 ；
3
3
联立两解析式求交点
y
23 3
x2
43 3
∵ 直线 BC 经过 B（4，0），C（0，3），
设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，
4k b 0 则 b 3
解得：
k
3 4
b 3
∴ 直线 BC 的解析式为：y=﹣ 3 x+3， 4
则 D（m，﹣ 3 m 3 ），PD=﹣ 3 m2 3m ，
4
4
∵ PE⊥x 轴，PE∥ OC，
∴ ∠ BDE=∠ BCO，
PQ=PD，∠ PCQ=∠ PCD，又知 Q 落在 y 轴上时，则 CQ∥ PD，由四边相等：
CD=DP=PQ=QC，得四边形 CDPQ
是菱形，表示
P（n，﹣
3 n2
9
+
n+3），则 D（n，﹣
44
3 n+3），G（0，﹣ 3 n+3），利用勾股定理表示 PD 和 CD 的长并列式可得结论．
4
4
试题解析:
∴ ∠ PCD=∠ CPD， ∴ CD=PD， ∴ CD=DP=PQ=QC， ∴ 四边形 CDPQ 是菱形， 过 D 作 DG⊥y 轴于点 G，
5
5
∴ 当 m=2 时，L 最大= 36 ； 5
（3）存在这样的 Q 点，使得四边形 CDPQ 是菱形，如图 3， 当点 Q 落在 y 轴上时，四边形 CDPQ 是菱形， 理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ，PQ=PD，∠ PCQ=∠ PCD， 当点 Q 落在 y 轴上时，CQ∥ PD， ∴ ∠ PCQ=∠ CPD，