圆与抛物线综合试题

综合测试题

命题人：于成翔

备注：本卷共八页，满分

150分，本卷难度较大，试做班级2至5班，必做班级1班；

一、如图16，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的面积为15，边OA 比OC 大2．E 为BC 的中点，以OE 为直径的⊙O ′交x 轴于D 点，过点D 作DF ⊥AE 于点F ． （1） 求OA 、OC 的长；

（2） 求证：DF 为⊙O ′的切线；

（3） 小明在解答本题时，发现△AOE 是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC

上一定存在除点E 以外的点P ，使△AOP 也是等腰三角形，且点P 一定在

⊙O ′外”．你同意他的看法吗请充分．．

说明理由．

二、已知抛物线的顶点为A(O ，1)，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B(0，2)，且其面积为8．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)如图2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ．

①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状；

③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由．

三、如图15，点P 在y 轴上，P 交x 轴于A

B ，两点，连结BP 并延长交P 图16 y

Ｏ′ · O C B A E

D F

C ，过点C 的直线2y x b =+交x 轴于

D ，且P

4AB =．

（1）求点B P C ，，的坐标； （2）求证：CD 是P 的切线；

（3）若二次函数2

(1)6y x a x =-+++的图象经过点B ，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数2y x b =+值的x 的取值范围．

四、如图，在直角坐标系中，以点A(3，0)为圆心，以32为半径的圆与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于D 、E 两点. （1）求D 点坐标．

（2）若B 、C 、D 三点在抛物线c bx ax y ++=2上，求这个抛物线的解析式． （3）若⊙A 的切线交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点N ，切点为P ，∠OMN=30o ，试判断直线MN 是否经过所求抛物线的顶点说明理由．

五、如图3.以A(0，3)为圆心的圆与x 轴相切于坐标点O,与y 轴相交于点B,

x

弦BD的延长线交x轴的负半轴于点E, 且∠BEO = 600 , AD的延长线交x轴于点C.

（1)分别求点E, C的坐标．

(2)求经过A、C两点，且以过E而平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式．

(3)设抛物线的对称轴与AC的交点为M，试判断以M点为圆心, ME为半径的圆与☉A的位置关系，并说明理由．

六、如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O1和⊙O2，由重合状态

．．．．沿水平方向

运动到互相外切

．．．．过程中的三个位置，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，分别连结O1A、

O

1

B、O

2

A、O

2

B和AB。

（1）如图②，当∠AO1B=120°时，求两圆重叠部分

．．．．图形的周长l；(4分)

（2）设∠AO1B的度数为x，两圆重叠部分

．．．．图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(4分)

（3）由(2)，若y=2x，则线段O2A所在的直线与⊙O1有何位置关系为什么除此之外，它们还有其它的位置关系，写出其它位置关系时x的取值范围。(4分)

七、如图，点A在Y轴上，点B在X轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交

线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线X=1相交于点P，现将直线L绕O 点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为

A

B

O1O2

②

A

B

O1O2

③

A

B

O1O2

①

X=1

O L

P

X

Y C

B

A

t ，分析此图后，对下列问题作出探究： （1）当△AOC 和△BCP 全等时，求出t 的值。

（2）通过动手测量线段OC 和CP 的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论。

（3）①设点P 的坐标为（1,b ）,试写出b 关于t 的函数关系式和变量t 的取值范围。②求出当△PBC 为等腰三角形时点P 的坐标。

八、已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线2

14

y x =

上的一个动点．（1）求证：以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-的相切； （2）设直线PM 与抛物线2

14

y x =

的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ∠=∠．

九、（本小题满分10分）．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P

是抛物线2

14

y x =

上的一个动点．

（1）求证：以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y =-的相切；

（2）设直线PM 与抛物线2

14

y x =

的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ∠=∠．

十、如图：矩形的顶点在坐标原点O ，OA 在y 轴上，A 点坐标为（0，3），另一

边OB 在x 的正半轴上,点M 是AC 边的中点，点P 是OB 边上一动点,PF ⊥OM ，

PE ⊥BM ，垂足分别为E 、F ．

（1）若四边形PEMF 为矩形，求B 点坐标；

（2）在（1）的条件下，求过A 、M 、B 三点的抛物线解析式；

（3）在抛物线上是否存在一点N ，使得四边形AMON 是平行四边形，若存在，求

出点N 的坐标，若不存在，说明理由。

十一、如图，梯形OABC 中，BC ∥AO ，∠BAO=90°，B （－33，3），直线OC 的解析式为

B