空间复杂度与时间复杂度
算法分类,时间复杂度,空间复杂度,优化算法
算法分类,时间复杂度,空间复杂度,优化算法算法 今天给⼤家带来⼀篇关于算法排序的分类,算法的时间复杂度,空间复杂度,还有怎么去优化算法的⽂章,喜欢的话,可以关注,有什么问题,可以评论区提问,可以与我私信,有什么好的意见,欢迎提出.前⾔: 算法的复杂度分为时间复杂度与空间复杂度,时间复杂度指执⾏算法需要需要的计算⼯作量,空间复杂度值执⾏算法需要的内存量,可能在运⾏⼀些⼩数据的时候,⼤家体会不到算法的时间与空间带来的体验. 优化算法就是将算法的时间优化到最快,将空间优化到最⼩,假如你写的mod能够将百度游览器的搜索时间提升0.5秒,那都是特别厉害的成绩.本章内容: 1,算法有哪些 2,时间复杂度,空间复杂度 3,优化算法 4,算法实例⼀,算法有哪些 常见的算法有冒泡排序,快排,归并,希尔,插⼊,⼆分法,选择排序,⼴度优先搜索,贪婪算法,这些都是新⼿⼊门必须要了解的,你可以不会,但是你必须要知道他是怎么做到的,原理是什么,今天就给⼤家讲⼀讲我们常⽤的冒泡排序,选择排序,这两个排序算法,1,冒泡排序(Bubble Sort), 为什么叫他冒泡排序呢? 因为他就像是从海底往海⾯升起的⽓泡⼀样,从⼩到⼤,将要排序的数从⼩到⼤排序,冒泡的原理: 他会⼀次⽐较两个数字,如果他们的顺序错误,就将其调换位置,如果排序正确的话,就⽐较下⼀个,然后重复的进⾏,直到⽐较完毕,这个算法的名字也是这样由来的,越⼤的数字,就会慢慢的'浮'到最顶端. 好了该上代码了,下⾯就是冒泡排序的代码,冒泡相对于其他的排序算法来说,⽐较的简单,⽐较好理解,运算起来也是⽐较迅速的,⽐较稳定,在⼯作中也会经常⽤到,推荐使⽤# 冒泡排序def bubble_sort(alist):n = len(alist)# 循环遍历，找到当前列表中最⼤的数值for i in range(n-1):# 遍历⽆序序列for j in range(n-1-i):# 判断当前节点是否⼤于后续节点，如果⼤于后续节点则对调if alist[j] > alist[j+1]:alist[j], alist[j+1] = alist[j+1], alist[j]if__name__ == '__main__':alist = [12,34,21,56,78,90,87,65,43,21]bubble_sort(alist)print(alist)# 最坏时间复杂度: O(n^2)# 最优时间复杂度: O(n)# # 算法稳定性:稳定2,选择排序(selection sort) 选择排序(selection sort)是⼀种简单直观的排序⽅法, 他的原理是在要排序的数列中找到最⼤或者最⼩的元素,放在列表的起始位置,然后从其他⾥找到第⼆⼤,然后第三⼤,依次排序,依次类,直到排完, 选择排序的优点是数据移动, 在排序中,每个元素交换时,⾄少有⼀个元素移动,因此N个元素进⾏排序,就会移动 1--N 次,在所有依靠移动元素来排序的算法中,选择排序是⽐较优秀的⼀种选择排序时间复杂度与稳定性:最优时间复杂度: O(n2)最坏时间复杂度:O(n2)算法稳定性 :不稳定(考虑每次升序选择最⼤的时候)# if alist[j] < alist[min_index]:# min_index = j## # 判断min_index索引是否相同,不相同，做数值交换# if i != min_index:# alist[i],alist[min_index] = alist[min_index],alist[i]### if __name__ == '__main__':# alist = [12,34,56,78,90,87,65,43,21]# # alist = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]# select_sort(alist)# print(alist)# O(n^2)# 不稳定def select_sort(alist):"""选择排序"""n = len(alist)for i in range(n - 1):min_index = i # 最⼩值位置索引、下标for j in range(i+1, n):if alist[j] < alist[min_index]:min_index = j# 判断min_index ,如果和初始值不相同，作数值交换if min_index != i:alist[i], alist[min_index] = alist[min_index],alist[i]if__name__ == '__main__':alist = [8,10,15,30,25,90,66,2,999]select_sort(alist)print(alist)这是⼀些算法的时间复杂度与稳定性时间复杂度,空间复杂度 接下来就要来说说时间复杂度与空间复杂度: 时间复杂度就是假如你泡茶,从开始泡,到你喝完茶,⼀共⽤了多长时间,你中间要执⾏很多步骤,取茶叶,烧⽔,上厕所,接电话,这些都是要花时间的,在算法中,时间复杂度分为 O(1)最快 , O(nn)最慢,O(1) < O(logn) <O(n)<O(n2)<O(n3)<O(2n) <O(nn) ⼀般游览器的速度都在O(n),做我们这⼀⾏,要注意客户体验,如果你程序的运⾏特别慢,估计别⼈来⼀次,以后再也不会来了下⾯给⼤家找了张如何计算时间复杂度的图⽚: 空间复杂度(space complexity) ,执⾏时所需要占的储存空间,记做 s(n)=O(f(n)),其中n是为算法的⼤⼩, 空间复杂度绝对是效率的杀⼿,曾经看过⼀遍⽤插⼊算法的代码,来解释空间复杂度的,觉得特别厉害,我就⽐较low了,只能给⼤家简单的总结⼀下我遇到的空间复杂度了, ⼀般来说,算法的空间复杂度值得是辅助空间,⽐如:⼀组数字,时间复杂度O(n),⼆维数组a[n][m] :那么他的空间复杂度就是O(n*m) ,因为变量的内存是⾃动分配的,第⼀个的定义是循环⾥⾯的,所以是n*O(1) ,如果第⼆个循环在外边,那么就是1*O(1) ,这⾥也只是⼀个了解性的东西,如果你的⼯作中很少⽤到,那么没有必要深究,因为⽤的真的很少优化算法这边带来了代码,你们在复制下来了python上运⾏⼀下,看⼀下⽤的时间与不同, ⾃然就懂了,这是未优化的算法''已知有a,b,c三个数,都是0-1000之内的数,且: a+b+c=1000 ⽽且 a**2+b**2=c**2 ,求a,b,c⼀共有多少种组合'''# 在这⾥加⼀个时间模块,待会好计算出结果import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):for b in range(1001):for c in range(100):# 判断他主公式第⼀次,并未优化if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :# 打印print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 156.875001秒这是第⼀次优化import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):# 这⾥改成1001-a之后,他就不⽤再循环b了for b in range(1001-a):for c in range(100):# 判断他主公式第⼆次,优化了b,if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 50.557070秒最后⼀次优化import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):for b in range(1001-a):c=1000 - a - b# 判断他主公式第三次,优化了b和cif a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 2.551449秒从156秒优化到l2秒, 基本运算总数 * 基本运算耗时 = 运算时间这之间的耗时和你的机器有着很⼤的关系今天是12⽉30⽇,明天就要跨年了,祝⼤家2019年事业有成,⼯资直线上升,早⽇脱单,。
算法分析的两个主要方面
算法分析的两个主要方面
算法分析的两个主要方面是：空间复杂度和时间复杂度。
1.空间复杂度
空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，记做S(n)=O(f(n))。
比如直接插入排序的时间复杂度是O(n^2),空间复杂度是O(1) 。
而一般的递归算法就要有O(n)的空间复杂度了，因为每次递归都要存储返回信息。
一个算法的优劣主要从算法的执行时间和所需要占用的存储空间两个方面衡量。
2. 时间复杂度
在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。
这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。
时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。
使用这种方式时，时间复杂度可被称为是渐近的，亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。
链表的时间复杂度和空间复杂度
链表的时间复杂度和空间复杂度
链表是一种常用的数据结构，它是由一组节点组成的有序集合，每个节点包含两个部分：数据域和指针域。
链表的优点在于可以随机访问链表中的任何一个节点，缺点在于插入、删除操作比较麻烦。
链表的时间复杂度指的是链表执行某个操作的时间复杂度。
链表的时间复杂度主要有以下几种：
增加、删除节点：在链表头和链表尾添加、删除节点的时间复杂度为O(1)，在链表中间添加、删除节点的时间复杂度为O(n)。
查找节点：在链表中查找某个节点的时间复杂度为O(n)。
链表的空间复杂度指的是链表所占用的存储空间。
链表的空间复杂度主要有以下几种：
静态链表：静态链表是指在编译时就分配好了存储空间的链表，它的空间复杂度为O(n)。
动态链表：动态链表是指在运行时动态分配存储空间的链表，它的空间复杂度为O(n)。
总的来说，链表的时间复杂度主要取决于链表的操作，增加、删除节点和查找节点的时间复杂度分别为O(1) 和O(n)。
链表的空间复杂度取决于是静态链表还是动态链表，静态链表的空间复杂度为O(n)，动态链表的空间复杂度也为O(n)。
需要注意的是，链表的时间复杂度和空间复杂度并不是固定的，实际情况会受到许多因素的影响，比如链表的结构、数据量等。
在使用链表时，应根据实际情况合理选择并使用适当的数据结构。
程序优化的十个维度
程序优化的十个维度
1. 时间复杂度：优化算法和数据结构，减少时间复杂度。
2. 空间复杂度：减少内存的使用，优化程序的空间开销。
3. 并发性：使用多线程或者并发机制，提高程序的并发性。
4. 编译优化：使用编译器提供的优化选项，提高程序的执行效率。
5. 缓存优化：充分利用缓存，减少读写操作对缓存的影响。
6. IO优化：减少IO操作，缓存IO操作，并对数据进行
压缩等处理，提高IO效率。
7. 数据结构优化：选择适合的数据结构，优化数据结构的存储方式及访问方式。
8. 内存管理优化：充分利用内存，减少内存碎片与内存泄漏，优化内存管理算法。
9. 磁盘访问优化：减少磁盘寻址和旋转时间，减少磁头移位的时间，提高磁盘访问效率。
10. 代码优化：针对程序中存在的瓶颈部分进行代码优化，提高程序的执行效率。
算法的时间复杂度和空间复杂度的关系
算法的时间复杂度和空间复杂度的关系
时间复杂度和空间复杂度是算法分析中最重要的概念，它们可以帮助我们评估算法的性能。
时间复杂度描述了算法执行所需的时间，而空间复杂度描述了算法执行所需的内存空间。
时间复杂度是指算法执行所需的时间，它可以用大O表示法来表示，其中O(n)表示算法
的时间复杂度为n，即算法的执行时间与输入数据的大小成正比。
一般来说，算法的时间
复杂度越低，它的执行效率就越高。
空间复杂度是指算法执行所需的内存空间，它也可以用大O表示法来表示，其中O(n)表
示算法的空间复杂度为n，即算法所需的内存空间与输入数据的大小成正比。
一般来说，
算法的空间复杂度越低，它的内存使用效率就越高。
时间复杂度和空间复杂度之间存在一定的关系，即算法的时间复杂度越低，它的空间复杂度也越低。
这是因为算法的时间复杂度越低，它所需的计算量就越少，因此它所需的内存
空间也就越少。
反之，算法的时间复杂度越高，它所需的计算量就越多，因此它所需的内
存空间也就越多。
因此，我们可以从算法的时间复杂度来推断它的空间复杂度，从而更好地评估算法的性能。
但是，有时候算法的时间复杂度和空间复杂度可能不是成正比的，因此我们还需要对算法
的空间复杂度进行具体的分析，以便更好地评估算法的性能。
总之，时间复杂度和空间复杂度是算法分析中最重要的概念，它们可以帮助我们评估算法的性能。
算法的时间复杂度越低，它的空间复杂度也越低，但有时候它们之间的关系可能
不是成正比的，因此我们还需要对算法的空间复杂度进行具体的分析，以便更好地评估算
法的性能。
常用排序算法的时间复杂度和空间复杂度
常⽤排序算法的时间复杂度和空间复杂度以上快速排序和归并排序的空间复杂度不正确没有的参考图1，以图2为准（对，就是懒得重新画图了）排序法最差时间分析平均时间复杂度稳定度空间复杂度冒泡排序O(n2)O(n2)稳定O(1)快速排序O(n2)O(n*log2n)不稳定O(log2n)~O(n)选择排序O(n2)O(n2)稳定O(1)⼆叉树排O(n2)O(n*log2n)不稳定O(n)序插⼊排序O(n2)O(n2)稳定O(1)堆排序O(n*log2n)O(n*log2n)不稳定O(1)希尔排序O O不稳定O(1)1.插⼊排序由N-1趟排序组成，对于p=1到p=N-1趟，插⼊排序保证从位置0到位置p上的元素为已排序状态。
时间复杂度：O(N^2)代码void InsertionSort(ElementType A[],int N){int j,p;ElementType Tmp;for(p=1;p<N;p++){Tmp=A[j];//把A[j]保存下来，因为它要被插⼊到前⾯的某个位置去for(j=p;j>0&&A[j-1]>Tmp;j--)//⼤于A[j]的元素逐个后移{A[j]=A[j-1];}A[j]=Tmp;}}2.希尔排序希尔排序使⽤⼀个序列h1，h2，h3，ht，叫做增量排序。
在使⽤增量hk的⼀趟排序之后，对于每个i我们有A[i]<A[i+hk]，所有相隔hk的元素被排序。
时间复杂度：O(N^(1+a))，其中0<a<1。
//代码不太好理解，使⽤了3层循环void ShellSort(ElementType A[],int N){int j,p,Increment;ElementType Tmp;for(Increment=N/2;Increment>0;Increment/=2){for(p=Increment;p<N;p++){Tmp=A[p];for(j=p;j>=Increment;j-=Increment){if(A[j]<A[j-Increment])A[j]=A[j-Increment];elsebreak;}A[j]=Tmp;}}}3. 堆排序思想：建⽴⼩顶堆，然后执⾏N次deleteMin操作。
如何计算时间复杂度和空间复杂度
如何计算时间复杂度和空间复杂度计算时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的重要方法，可以通过对算法的代码进行分析和推算来得出。
时间复杂度描述了算法运行时间随输入规模增长而增长的趋势，通常用大O符号表示。
在计算时间复杂度时，我们需要关注算法中的循环、递归、条件分支等关键代码块。
以下是计算时间复杂度的一些常见方法：1.计算常数时间复杂度：如果一个算法的代码只包含固定数量的操作，不随输入规模变化，那么它的时间复杂度为O(1)。
例如，简单的赋值、比较和常量运算等操作。
2.计算线性时间复杂度：如果一个算法的代码中包含一个循环，该循环的迭代次数与输入规模n成正比，那么其时间复杂度为O(n)。
例如，遍历一个数组或者链表的操作。
3.计算平方时间复杂度：如果一个算法的代码中包含两个嵌套的循环，外层循环的迭代次数与输入规模n成正比，内层循环的迭代次数也与输入规模n成正比，那么其时间复杂度为O(n^2)。
例如，二重循环嵌套的矩阵操作。
4.计算指数时间复杂度：如果一个算法的代码中包含递归调用，且递归次数与输入规模n成正比，那么其时间复杂度可能是指数级别的，如O(2^n)。
例如，求解斐波那契数列的递归算法。
计算空间复杂度是用来衡量算法所需的额外存储空间随输入规模增长而增长的趋势。
以下是计算空间复杂度的一些常见方法：1.计算固定空间复杂度：如果一个算法的代码所需的额外存储空间不随输入规模变化，那么它的空间复杂度为O(1)。
例如，仅需要几个变量来存储中间计算结果的操作。
2.计算线性空间复杂度：如果一个算法的代码所需的额外存储空间随输入规模n成正比，那么它的空间复杂度为O(n)。
例如，需要创建一个数组或链表来存储输入数据的操作。
3.计算递归空间复杂度：如果一个算法中使用了递归调用，那么每个递归调用都需要创建一个新的函数调用栈帧，因此空间复杂度可能是O(n)，其中n是递归的深度。
例如，递归求解二叉树问题的操作。
在进行时间复杂度和空间复杂度的计算时，可以按照以下步骤进行：1.根据算法的代码，找出其中的关键代码块，例如循环、递归等。
各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度（阿里）
各种排序算法的时间复杂度和空间复杂度（阿⾥）⼆分查找法的时间复杂度：O(logn) redis,kafka,B+树的底层都采⽤了⼆分查找法参考：⼆分查找法 redis的索引底层的跳表原理实现参考：⼆分查找法参考：⼆分查找法：1.⼆分查找⼆分查找也称为折半查找，它是⼀种效率较⾼的查找⽅法。
⼆分查找的使⽤前提是线性表已经按照⼤⼩排好了序。
这种⽅法充分利⽤了元素间的次序关系，采⽤分治策略。
基本原理是：⾸先在有序的线性表中找到中值，将要查找的⽬标与中值进⾏⽐较，如果⽬标⼩于中值，则在前半部分找，如果⽬标⼩于中值，则在后半部分找；假设在前半部分找，则再与前半部分的中值相⽐较，如果⼩于中值，则在中值的前半部分找，如果⼤于中值，则在后半部分找。
以此类推，直到找到⽬标为⽌。
假设我们要在 2，6，11，13，16，17，22，30中查找22，上图所⽰，则查找步骤为：⾸先找到中值：中值为13（下标：int middle = (0+7)/2），将22与13进⾏⽐较，发现22⽐13⼤，则在13的后半部分找；在后半部分 16，17，22，30中查找22，⾸先找到中值，中值为17（下标：int middle=(0+3)/2），将22与17进⾏⽐较，发现22⽐17⼤，则继续在17的后半部分查找；在17的后半部分 22，30查找22，⾸先找到中值，中值为22（下标：int middle=(0+1)/2），将22与22进⾏⽐较，查找到结果。
⼆分查找⼤⼤降低了⽐较次数，⼆分查找的时间复杂度为：O(logn)，即。
⽰例代码：public class BinarySearch {public static void main(String[] args) {int arr[] = {2, 6, 11, 13, 16, 17, 22, 30};System.out.println("⾮递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22));System.out.println("递归结果,22的位置为:" + binarySearch(arr, 22, 0, 7));}//⾮递归static int binarySearch(int[] arr, int res) {int low = 0;int high = arr.length-1;while(low <= high) {int middle = (low + high)/2;if(res == arr[middle]) {return middle;}else if(res <arr[middle]) {high = middle - 1;}else {low = middle + 1;}}return -1;}//递归static int binarySearch(int[] arr,int res,int low,int high){if(res < arr[low] || res > arr[high] || low > high){return -1;}int middle = (low+high)/2;if(res < arr[middle]){return binarySearch(arr, res, low, middle-1);}else if(res > arr[middle]){return binarySearch(arr, res, middle+1, high);}else {return middle;}}}其中冒泡排序加个标志，所以最好情况下是o(n)直接选择排序：排序过程：1 、⾸先在所有数据中经过 n-1次⽐较选出最⼩的数，把它与第 1个数据交换，2、然后在其余的数据内选出排序码最⼩的数，与第 2个数据交换...... 依次类推，直到所有数据排完为⽌。
时间、空间复杂度例题
时间、空间复杂度例题（原创版）目录1.引言2.时间复杂度和空间复杂度的定义3.例题解析3.1 例题一3.2 例题二4.总结正文【引言】在计算机科学中，时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的重要指标。
它们可以帮助我们了解算法在运行时所需的时间和空间资源，从而更好地选择合适的算法来解决实际问题。
本文将通过两个例题来介绍时间复杂度和空间复杂度的概念及其计算方法。
【时间复杂度和空间复杂度的定义】时间复杂度表示算法在运行时所需的时间资源，通常用大 O 符号（O）表示，它描述了输入规模（n）与所需执行时间的关系。
空间复杂度则表示算法在运行时所需的空间资源，也用大 O 符号表示，它描述了输入规模（n）与所需空间的关系。
【例题解析】例题一：计算一个数组中两个数之和等于目标值的问题。
问题描述：给定一个整数数组 nums 和目标值 target，判断数组中是否存在两个数 a 和 b，使得 a + b = target。
算法：使用哈希表存储数组中的元素及其对应的索引。
遍历数组，对于每个元素，计算 target 与当前元素的差值，然后在哈希表中查找是否存在该差值，如果存在，则返回 true，否则将当前元素及其索引存入哈希表。
时间复杂度：O(n)，其中 n 为数组的长度。
因为需要遍历整个数组。
空间复杂度：O(n)，因为需要使用哈希表存储数组中的元素及其对应的索引。
例题二：计算一个矩阵中两个数之和等于目标值的问题。
问题描述：给定一个二维整数数组 matrix，目标值 target，判断矩阵中是否存在两个数 a 和 b，使得 a + b = target。
算法：使用哈希表存储矩阵中的元素。
遍历矩阵，对于每个元素，计算 target 与当前元素的差值，然后在哈希表中查找是否存在该差值，如果存在，则返回 true，否则将当前元素及其所在的行和列存入哈希表。
时间复杂度：O(n^2)，其中 n 为矩阵的行数或列数。
因为需要遍历整个矩阵。
简述衡量算法优劣的2个主要指标
衡量算法优劣的两个主要指标在计算机科学和数据分析领域，衡量算法优劣的指标是非常重要的。
选择正确的算法可以显著提高计算效率和准确性。
本文将介绍两个主要的衡量算法优劣的指标：时间复杂度和空间复杂度。
1. 时间复杂度时间复杂度是衡量算法执行时间随输入规模增长而增长的速率。
它用大O符号来表示，表示最坏情况下执行时间的上界。
常见的时间复杂度有：•常数时间复杂度 O(1)：无论输入规模如何变化，执行时间都保持不变。
•对数时间复杂度 O(log n)：随着输入规模呈指数级增长，执行时间以对数方式增加。
•线性时间复杂度 O(n)：随着输入规模线性增长，执行时间也线性增加。
•线性对数时间复杂度 O(n log n)：随着输入规模线性增长，但是增速比线性更快。
•平方级时间复杂度 O(n^2)：随着输入规模平方级增长，执行时间也平方级增加。
•指数级时间复杂度 O(2^n)：随着输入规模指数级增长，执行时间以指数方式增加。
衡量算法优劣时，我们通常关注最坏情况下的时间复杂度。
较低的时间复杂度意味着算法在处理大规模数据时更高效。
2. 空间复杂度空间复杂度是衡量算法所需内存随输入规模增长而增长的速率。
它也用大O符号来表示，表示最坏情况下所需内存的上界。
常见的空间复杂度有：•常数空间复杂度 O(1)：无论输入规模如何变化，所需内存保持不变。
•线性空间复杂度 O(n)：随着输入规模线性增长，所需内存也线性增加。
•平方级空间复杂度 O(n^2)：随着输入规模平方级增长，所需内存也平方级增加。
与时间复杂度类似，较低的空间复杂度意味着算法在处理大规模数据时更节省内存。
3. 时间复杂度和空间复杂度之间的平衡在选择算法时，我们需要根据具体问题和应用场景综合考虑时间复杂度和空间复杂度之间的平衡。
有些情况下，我们可能更关注执行时间，而有些情况下，我们可能更关注内存消耗。
•当处理大规模数据时，通常更关注时间复杂度。
选择具有较低时间复杂度的算法可以显著提高计算效率。
第四讲 时间复杂度和空间复杂度2
线性阶
• 一般含有非嵌套循环涉及线性阶，线性阶就是随 着问题规模n的扩大，对应计算次数呈直线增长。
int i , n = 100, sum = 0; for( i=0; i < n; i++ ) { sum = sum + i; }
• 上面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)， 因为循环体中的代码需要执行n次。
对数阶
• 对数，属于高中数学内容啦，对于有些鱼油可能 对这玩意不大理解，或者忘记了，也没事，咱分 析的是程序为主，而不是数学为主，不怕。 • 我们看下这个程序：
int i = 1, n = 100; while( i < n ) {
i = i * 2;
}
对数阶
• 由于每次i*2之后，就举例n更近一步，假设有x个2相 乘后大于或等于n，则会退出循环。 • 于是由2^x = n得到x = log(2)n，所以这个循环的时 间复杂度为O(logn)。 • 其实理解大O推导不算难，难的是对数列的一些相关 运算，这更多的是考察你的数学知识和能力。 • 所以这里小甲鱼要分两类来说下，对于想考研的朋友 ，需要强化一下你的数学尤其是数列方面的知识。对 于想增长自己编程能力的朋友，大概知道规律即可， 不要在高等数学的概念上死磕！
平方阶
• 刚才是单个循环结构，那么嵌套呢？
int i, j, n = 100; for( i=0; i < n; i++ ) { for( j=0; j < n; j++ ) { printf(“I love \n”); } }
平方阶
• n等于100，也就是说外层循环每执行一次，内层 循环就执行100次，那总共程序想要从这两个循环 出来，需要执行100*100次，也就是n的平方。所 以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。 • 那如果有三个这样的嵌套循环呢？ • 没错，那就是n^3啦。所以我们很容易总结得出， 循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循 环运行的次数。 • 刚刚我们每个循环的次数都是一样的，如果：
算法好坏的衡量标准
算法好坏的衡量标准
1. 时间复杂度：算法执行所需时间的度量。
时间复杂度越小，算法执行效率越高。
2. 空间复杂度：算法执行所需的内存空间的度量。
空间复杂度越小，算法的内存利用率越高。
3. 正确性：算法是否能够正确地解决问题。
算法的正确性通常需要经过数学证明或测试数据验证。
4. 可读性：算法的结构是否清晰简洁，容易被理解和维护。
5. 可维护性：算法是否容易被修改和扩展，同时不会引入新的问题或错误。
6. 可靠性：算法在多种情况下的表现是否相对稳定，且不易受到输入数据的影响。
7. 可移植性：算法是否容易在不同的平台和操作系统上移植和运行。
8. 实用性：算法是否满足实际应用场景的需求，且有一定的实用性。
算法时空分析
算法复杂度计算算法复杂度算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。
其作用：时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。
时间复杂度（目前复赛测评环境执行1亿次=108）一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。
记为T(n)。
计算方法1. 一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f （n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。
2. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度T（n）=O（f（n））例1：算法：从键盘上读入100个正整数，输出其中最大的数。
Max:=0; 执行1次；For i:=1 to 100 doBeginRead(tmp); 执行100次If tmp>max then max:=tmp; 最坏为100次End;Writeln(max);合计在最坏情况下为201次。
O(2N+1) O(N)3.在pascal中比较容易理解，容易计算的方法是：看看有几重for循环，只有一重则时间复杂度为O（n）,二重则为O（n^2），依此类推，如果有二分则为O(log2n)，二分例如快速幂、二分查找，如果一个for循环套一个二分，那么时间复杂度则为O(nlog2n)。
空间复杂度和时间复杂度的理解
空间复杂度和时间复杂度的理解说到“时间复杂度”和“空间复杂度”，很多小伙伴肯定一脸懵，心里想：“这俩玩意儿是什么鬼？”别急，咱们今天就轻轻松松把它们讲清楚，让你不但明白，还能心领神会！这就好比你去餐馆点菜，时间复杂度就是你等菜的速度，空间复杂度就是厨房里能摆下多少锅碗瓢盆。
听起来有点抽象对吧？别急，我们慢慢来，吃一口成精，学一口更精！时间复杂度，顾名思义，就是你做某件事情需要花多少时间。
想象一下，你准备做一道菜，如果你只需要翻两三次锅，十分钟搞定，那就好比时间复杂度很低。
可要是这道菜需要你不停翻锅，搅拌，调料，最后还得静静煮上几个小时，那么时间复杂度就高得离谱。
所以，时间复杂度其实是评估一个程序运行效率的指标。
如果一个程序运行很快，不管数据多大，它依旧能在短时间内完成任务，那它的时间复杂度就很低，反之就很高。
是不是一下子就能理解了？再说说空间复杂度。
这个嘛，也就是程序运行过程中需要多少“存储空间”。
有点像做饭时，厨房空间越大，你可以摆放的锅碗瓢盆就越多。
假如你做一道炒菜，需要的只是一个锅和一把铲子，那你对厨房的要求就很低，空间复杂度也低；但如果你做的菜是大菜谱，啥有蒸锅、炒锅、蒸笼、锅铲、砧板，整个厨房都得腾空给你，那就得用更大的空间，空间复杂度就高了。
所以，空间复杂度说到底，就是看你程序需要多少内存来存储数据、变量、临时状态，反正就是“厨房的大小”问题。
你可能会觉得，时间复杂度和空间复杂度好像没啥关系？其实有，互相影响。
就像你做菜一样，想要做得快，可能得借助更多的设备和工具，但这时候厨房空间就得更大。
你能一边煮饭一边烤肉，效率高了，但厨房得大得足够装得下这些设备，否则就得慢慢来，空间不足，时间自然也拖延。
所以，程序设计时，开发者往往得在时间和空间之间做平衡，找到那个“最合适”的方案。
再举个生活中的例子。
你有时候是不是觉得在手机上看视频特别流畅？这就是时间复杂度低的表现。
相反，如果你打开一个网页，加载得慢得像蜗牛一样，说明它的时间复杂度可能就很高。
算法复杂度——时间复杂度和空间复杂度
1.时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。
记为T(n)。
（2）时间复杂度在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。
但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。
为此，我们引入时间复杂度概念。
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。
记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如 T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。
按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...，k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。
随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
2、空间复杂度与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。
记作: S(n)=O(f(n)) 我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。
讨论方法与时间复杂度类似，不再赘述。
（3）渐进时间复杂度评价算法时间性能主要用算法时间复杂度的数量级(即算法的渐近时间复杂度)评价一个算法的时间性能。
数据结构与算法（一）时间复杂度、空间复杂度计算
数据结构与算法（⼀）时间复杂度、空间复杂度计算⼀、时间复杂度计算1、时间复杂度的意义复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了⼀半1. 测试结果⾮常依赖测试环境2. 测试结果受数据规模的影响很⼤所以，我们需要⼀个不⽤具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执⾏效率的⽅法，即时间、空间复杂度分析⽅法。
2、⼤ O 复杂度表⽰法1)、可以将计算时间复杂度的⽅式和计算代码执⾏次数来进⾏类别int cal(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i <= n; ++i) {sum = sum + i;}return sum;}第 2、3 ⾏代码分别需要 1 个 unit_time 的执⾏时间，第 4、5 ⾏都运⾏了 n 遍，所以需要 2n * unit_time 的执⾏时间，所以这段代码总的执⾏时间就是(2n+2) * unit_time。
可以看出来，所有代码的执⾏时间 T(n) 与每⾏代码的执⾏次数成正⽐。
2)、复杂⼀点的计算int cal(int n) { ----1int sum = 0; ----2int i = 1; ----3int j = 1; ----4for (; i <= n; ++i) { ----5j = 1; ----6for (; j <= n; ++j) { ----7sum = sum + i * j; ----8} ----9} ----10} ----11T(n) = (2n^2+2n+3)unit_timeT(n)=O(f(n))⼤ O 时间复杂度实际上并不具体表⽰代码真正的执⾏时间，⽽是表⽰代码执⾏时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度2、时间复杂度计算法则1. 只关注循环执⾏次数最多的⼀段代码2. 加法法则：总复杂度等于量级最⼤的那段代码的复杂度如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)3、常见的是时间复杂度复杂度量级（递增）排列公式常量阶O(1)对数阶O(logn)线性阶O(n)线性对数阶O(nlogn)平⽅阶、⽴⽅阶...K次⽅阶O(n2),O(n3),O(n^k)指数阶O(2^n)阶乘阶O(n!)①. O(1)：代码的执⾏时间和n没有关系，⼀般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万⾏的代码，其时间复杂度也是Ο(1)；②. O(logn)、O(nlogn)i=1;while (i <= n) {i = i * 2;}通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想⾼中应该就学过了，我就不多说了。
时间复杂度和空间复杂度的定义
时间复杂度和空间复杂度的定义1. 引言在计算机的世界里，有两个小伙伴总是被提起，那就是时间复杂度和空间复杂度。
听起来好像很严肃，其实它们就像是程序的“性格标签”，帮助我们了解一个算法的表现。
想象一下，一个人跑步，如果他慢得像乌龟，那可真让人着急。
而如果他又占地方，又喜欢带一大堆行李，那可就更麻烦了。
今天，我们就来聊聊这两个小家伙，让复杂的事情简单化，轻松搞定。
2. 时间复杂度2.1 什么是时间复杂度？时间复杂度，简单来说，就是一个算法需要多少时间来完成任务。
就像你去超市买菜，时间复杂度告诉你大概要花多长时间才能把菜买回家。
一般来说，算法越复杂，所需的时间就越长。
我们常用的符号有“O(n)”、“O(log n)”等，听起来高深，但其实就是在告诉你，随着数据量的增加，时间是如何变化的。
比如说，如果你在超市买了五样东西，那花的时间可能和买二十样东西差不多，但如果你得到了一个优惠券，那可能要花更多时间去寻找。
这里就可以用时间复杂度来形容：O(1)代表常量时间，无论你买多少东西，时间都差不多；O(n)就是线性时间，东西越多，时间越久；而O(n^2)则是平方时间，像是在找迷路的孩子，麻烦得很。
2.2 为什么要关注时间复杂度？关注时间复杂度，就像关注你晚餐吃了多少米饭。
你总不能撑着肚子去跑步吧！如果算法运行得慢，用户体验可就糟糕透了。
试想一下，你在网上购物，结账的时候遇到一个死慢的页面，你会不会想“这是什么鬼？我还不如去走一圈超市！”所以，时间复杂度能帮助开发者优化算法，让程序跑得更快，用户开心。
3. 空间复杂度3.1 什么是空间复杂度？接下来我们聊聊空间复杂度。
它就像你搬家的时候，要考虑的行李量。
如果你的行李箱太小，放不下所有东西，那就麻烦了。
空间复杂度就是用来衡量一个算法在运行时需要多少内存。
一般来说，空间复杂度也是用O表示的，类似于时间复杂度。
比如说，如果你在整理你的书架，书籍越多，占的空间越大，空间复杂度就会上升。
全面解析算法优化的关键指标
全面解析算法优化的关键指标算法优化是指通过各种手段和技术改进算法的性能和效率，以提高计算机程序的执行速度和资源利用率。
在计算机科学领域，算法优化一直是研究的重要方向之一。
本文将从多个角度全面解析算法优化的关键指标。
一、时间复杂度时间复杂度是衡量算法执行效率的重要指标之一。
它表示随着输入规模的增加，算法执行所需时间的增长速度。
时间复杂度通常用大O表示法表示，比如O(n)、O(nlogn)、O(n^2)等。
时间复杂度越低，算法执行速度越快。
在进行算法优化时，需要关注算法的时间复杂度，尽量选择时间复杂度较低的算法。
例如，在排序算法中，快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，而冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，因此选择快速排序可以提高算法执行效率。
二、空间复杂度空间复杂度是指算法在执行过程中所需要的存储空间。
与时间复杂度类似，空间复杂度也是衡量算法优化的关键指标之一。
通常使用大O表示法来表示空间复杂度，例如O(1)、O(n)、O(n^2)等。
空间复杂度越低，算法所占用的内存空间越小。
在进行算法优化时，需要注意算法的空间复杂度。
可以通过减少变量和数据结构的使用、合理利用缓存等方法来降低算法的空间复杂度。
三、可扩展性算法的可扩展性是指算法在应对不同规模和变化的输入时，能否有效地保持高效的执行。
在实际应用中，输入规模往往是多样的，因此算法需要具备良好的可扩展性。
在进行算法优化时，需要考虑算法在不同规模的输入下的表现。
可以通过分析算法的特点和结构，合理选择数据结构、优化算法逻辑等方式来提高算法的可扩展性。
四、可读性和可维护性算法的可读性和可维护性是指算法的代码是否易于阅读和理解，以及是否易于进行后续的修改和维护。
在实际开发中，算法的可读性和可维护性对于程序员来说至关重要。
在进行算法优化时，需要注意代码的简洁性和可读性。
合理使用注释、变量命名规范、模块化设计等方法，可以提高算法代码的可读性和可维护性。
此外，良好的代码结构和风格也有助于后续的算法优化和维护工作。
常用排序算法时间复杂度
常用的排序算法的时间复杂度和空间复杂度1、时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。
记为T(n)。
（2）时间复杂度在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。
但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。
为此，我们引入时间复杂度概念。
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。
记作T(n)=Ｏ(f(n)),称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1),另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。
按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...，k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。
随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
2、空间复杂度与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。
记作: S(n)=O(f(n)) 我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。
讨论方法与时间复杂度类似，不再赘述。
（3）渐进时间复杂度评价算法时间性能主要用算法时间复杂度的数量级(即算法的渐近时间复杂度)评价一个算法的时间性能。
常见排序算法及对应的时间复杂度和空间复杂度
常见排序算法及对应的时间复杂度和空间复杂度转载请注明出处：（浏览效果更好）排序算法经过了很长时间的演变，产⽣了很多种不同的⽅法。
对于初学者来说，对它们进⾏整理便于理解记忆显得很重要。
每种算法都有它特定的使⽤场合，很难通⽤。
因此，我们很有必要对所有常见的排序算法进⾏归纳。
排序⼤的分类可以分为两种：内排序和外排序。
在排序过程中，全部记录存放在内存，则称为内排序，如果排序过程中需要使⽤外存，则称为外排序。
下⾯讲的排序都是属于内排序。
内排序有可以分为以下⼏类： (1)、插⼊排序：直接插⼊排序、⼆分法插⼊排序、希尔排序。
(2)、选择排序：直接选择排序、堆排序。
(3)、交换排序：冒泡排序、快速排序。
(4)、归并排序 (5)、基数排序表格版排序⽅法时间复杂度（平均）时间复杂度（最坏)时间复杂度（最好)空间复杂度稳定性复杂性直接插⼊排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)稳定简单希尔排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)不稳定较复杂直接选择排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(1)O(1)不稳定简单堆排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(1)O(1)不稳定较复杂冒泡排序O(n2)O(n2)O(n2)O(n2)O(n)O(n)O(1)O(1)稳定简单快速排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(n2)O(n2)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)不稳定较复杂归并排序O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(nlog2n)O(n)O(n)稳定较复杂基数排序O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(d(n+r))O(n+r)O(n+r)稳定较复杂图⽚版①插⼊排序•思想：每步将⼀个待排序的记录，按其顺序码⼤⼩插⼊到前⾯已经排序的字序列的合适位置，直到全部插⼊排序完为⽌。
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空间复杂度与时间复杂度用于衡量一个算法的效率。
- 时间复杂度
首先举几个小例子：
一个简单的for循环
for(int i = 0;i<6;i++){
//生成一个97-122之间的int类型整数65-90大写
int intVal = (int)(Math.random() * 26 + 97);
//将intVal强制转换为char类型后连接到result后面
result = result + (char)intVal;
}
上述代码中，总共执行了6次，对于这种常数的复杂度，经常会用O(1)来表示。
接下来，看这个代码：
for(int i=0;i<2; i++){
for(int j = 0; j <n; j++){
System.out.print(s[i][j]);
}
System.out.println();
}
这段代码是两个for循环嵌套，它的时间复杂度很容易看出是2n，通常这种我们用O(n)进行表示，表明它是线性变化的。
从上面举的两个例子可以看出，时间复杂度就是整个语句在执行过程中，根据所给的条件，在整个代码运行过程中所执行的次数，这个执行次数与所给的添加和执行参数的大小息息相关。
- 空间复杂度
空间复杂度通常指的是算法程序在计算机计算中计算所需要的存储空间。
空间复杂度可从以下两个方面去描述：
•程序保存所需要的存储空间，即程序的大小
•程序在执行过程中所需要消耗的存储空间资源，例如，程序在执行过程中的中间变量。