时间复杂度的计算
数据结构--时间复杂度的算法
数据结构--时间复杂度的算法前前⾔what is O?:"O"是数学符号，它的严格定义是"若T(n)和f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则T(n)=O(f(n))表⽰存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满⾜0≤T(n)≤C?f(n)。
"⽤容易理解的话说就是这两个函数当整型⾃变量n趋向于⽆穷⼤时，两者的⽐值是⼀个不等于0的常数。
前⾔算法很重要，但是⼀般情况下做移动开发并不经常⽤到，所以很多同学早就将算法打了个⼤礼包送还给了⽼师了，况且很多同学并没有学习过算法。
这个系列就让对算法头疼的同学能快速的掌握基本的算法。
过年放假阶段玩了会游戏NBA2K17的⽣涯模式，没有⽐赛的⽇⼦也都是训练，⽽且这些训练都是⾃发的，没有⼈逼你，从早上练到晚上，属性也不涨，但是如果⽇积⽉累，不训练和训练的⼈的属性值就会产⽣较⼤差距。
这个突然让我意识到了现实世界，要想成为⼀个球星（技术⼤⽜）那就需要⽇积⽉累的刻意训练，索性放下游戏，接着写⽂章吧。
1.算法的效率虽然计算机能快速的完成运算处理，但实际上，它也需要根据输⼊数据的⼤⼩和算法效率来消耗⼀定的处理器资源。
要想编写出能⾼效运⾏的程序，我们就需要考虑到算法的效率。
算法的效率主要由以下两个复杂度来评估：时间复杂度：评估执⾏程序所需的时间。
可以估算出程序对处理器的使⽤程度。
空间复杂度：评估执⾏程序所需的存储空间。
可以估算出程序对计算机内存的使⽤程度。
设计算法时，⼀般是要先考虑系统环境，然后权衡时间复杂度和空间复杂度，选取⼀个平衡点。
不过，时间复杂度要⽐空间复杂度更容易产⽣问题，因此算法研究的主要也是时间复杂度，不特别说明的情况下，复杂度就是指时间复杂度。
2.时间复杂度时间频度⼀个算法执⾏所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运⾏测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
时间复杂度概念
for（i=1;i<=n;++i） { for(j=1;j<=n;++j) { c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^2 for(k=1;k<=n;++k) c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤 属于基本操作 执行次数：n^3 } } 则有 T（n）= n^2+n^3，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n^3为T（n）的同数量级 则有f（n）= n^3，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c 则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n^3) 四、定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的 时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。 当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间 复杂性”。 我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂 性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立 f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时 候一般都习惯表示前者。 此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这 个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。 “大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规 模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过 logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n
则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
for(k=0;k<j;k++) x=x+2; } } 解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所 以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1) (n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3). 我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况)的概率减小到 几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时 间运行。 下面是一些常用的记法： 访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能 在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时 间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘 算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对 元素相乘并加到一起， 所有元素的个数是n^2。 指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元 素的集 合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一 般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个 元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名的“巡 回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的 遇到这种情况，通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。
最大公约数的三种算法复杂度分析时间计算
最大公约数的三种算法复杂度分析时间计算1.辗转相除法（欧几里得算法）辗转相除法是一种基于递归的算法，它通过不断地用两个数中较大的数除以较小的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数。
例如，求解49和28的最大公约数：-49÷28=1 (21)-28÷21=1 (7)-21÷7=3 0所以最大公约数为7辗转相除法的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b，a mod b 的结果为r。
- 最好情况：当b能够整除a时，时间复杂度为O(loga)，因为每次递归时a和b的值都会减少至原来的一半。
-最坏情况：当a和b互质时，时间复杂度为O(a/b)。
例如，当a=2n 时，每次递归的b的值都会减少至1- 平均情况：时间复杂度是O(logab)的。
2.更相减损术更相减损术是一种基于减法的算法，它通过不断地用两个数中较大的数减去较小的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数。
例如，求解49和28的最大公约数：-28-21=7-21-7=14-14-7=7所以最大公约数为7更相减损术的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b。
- 最好情况：当a和b的差值为1时，时间复杂度为O(logb)，因为每次减法操作后的差值都会减少一半。
-最坏情况：当a和b互质时，时间复杂度为O(a-b)。
例如，当a=2n 时，每次减法操作的差值都会减少至1-平均情况：时间复杂度为O(a-b)的。
3. Stein算法（二进制法）Stein算法是一种基于位运算的算法，它通过在两个数中同时除去2的因子，直到两个数都变为奇数。
然后，继续用较小的数减去较大的数，直到两个数相等为止。
这时，较小的数就是最大公约数的2的因子。
例如，求解49和28的最大公约数：-49÷2=24-28÷2=14-24÷2=12现在两个数都是奇数，继续减法操作：-7-12=-5-12-7=5所以最大公约数为5Stein算法的时间复杂度分析如下：设两个数中较大的数为a，较小的数为b。
卢卡斯定理的时间复杂度
卢卡斯定理的时间复杂度卢卡斯定理是数论中的一个重要定理，用于求解模线性方程的解。
它的时间复杂度即为我们在使用这个定理时所需的计算时间。
本文将围绕卢卡斯定理的时间复杂度展开讨论，重点介绍其计算过程，分析时间复杂度的来源，并探讨如何优化计算效率。
我们来回顾一下卢卡斯定理的表述。
卢卡斯定理是中国剩余定理的一个特例，用于求解形如x ≡ b (mod mi)的模线性方程。
其中，x 表示待求解的未知数，b表示给定的常数，mi表示给定的模数。
卢卡斯定理的表述如下：若mi是互质的正整数序列，mi = m1 * m2 * ... * mk，其中gcd(mi, mj) = 1 (1 ≤ i, j ≤ k，且i≠j)，则对于给定的常数b和模数mi，存在唯一解x0，满足x0 ≡ b (mod mi)。
为了求解模线性方程的解，我们需要进行以下步骤：1. 对于给定的mi，首先计算mi的质因数分解。
这一步骤的时间复杂度为O(log(mi))，其中log表示以2为底的对数。
2. 对于每个mi，计算mi的欧拉函数φ(mi)。
欧拉函数的计算时间复杂度为O(log(mi))，其中log表示以2为底的对数。
3. 对于每个mi，计算mi的逆元mi_inv。
逆元的计算时间复杂度为O(log(mi))，其中log表示以2为底的对数。
4. 对于给定的常数b和模数mi，计算x0 ≡ b (mod mi)的解。
这一步骤的时间复杂度为O(log(mi))，其中log表示以2为底的对数。
求解模线性方程的时间复杂度为O(log(mi))。
在实际应用中，mi的取值通常较小，因此时间复杂度一般较低。
然而，在某些情况下，mi的取值可能会很大，导致时间复杂度的增加。
为了优化计算效率，我们可以采用以下方法：1. 使用快速幂算法计算mi的质因数分解和欧拉函数。
快速幂算法是一种高效的指数运算算法，能够在O(log(mi))的时间复杂度内完成计算。
2. 使用扩展欧几里德算法计算mi的逆元。
二叉树的复杂度计算公式
二叉树的复杂度计算公式二叉树是一种常见的数据结构，它在计算机科学中扮演着非常重要的角色。
在实际应用中，我们经常需要对二叉树的复杂度进行计算。
二叉树的复杂度计算涉及到许多方面，如平均时间复杂度、最坏时间复杂度、空间复杂度等。
在接下来的内容中，我们将介绍二叉树的复杂度计算公式，详细说明各种复杂度的计算方法。
二叉树的基本概念二叉树是一种树形结构，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点。
在二叉树中，每个节点都有一个值，用来存储数据。
节点之间通过边相连，形成一个层次结构。
二叉树的一个特点是，每个节点最多有两个子节点，一个称为左子节点，另一个称为右子节点。
1.平均时间复杂度平均时间复杂度是指对于具有相同大小输入的所有可能输入实例，算法的期望运行时间。
在计算平均时间复杂度时，我们通常采用平均情况分析的方法。
平均时间复杂度的计算公式如下所示：T(n)=Σ(Ti)/N其中，T(n)表示算法的平均运行时间，Ti表示第i个输入实例的运行时间，N表示所有可能输入实例的个数。
2.最坏时间复杂度最坏时间复杂度是指在最坏情况下，算法的运行时间。
在计算最坏时间复杂度时，我们通常采用最坏情况分析的方法。
最坏时间复杂度的计算公式如下所示：T(n) = max{Ti}其中，T(n)表示算法的最坏运行时间，Ti表示第i个输入实例的运行时间，max{}表示所有输入实例中的最大值。
3.空间复杂度空间复杂度是指在运行算法时所需的内存空间大小。
空间复杂度的计算公式如下所示：S(n)=Σ(Si)/N其中，S(n)表示算法的空间复杂度，Si表示第i个输入实例的内存空间大小，N表示所有可能输入实例的个数。
总结二叉树作为一种常见的数据结构，在计算机科学中应用广泛。
对于二叉树的复杂度计算，我们可以通过平均时间复杂度、最坏时间复杂度和空间复杂度等指标来评估算法的性能。
掌握二叉树复杂度计算的方法，有助于我们更好地分析和优化算法，在实际应用中取得更好的性能表现。
时间、空间复杂度例题
时间、空间复杂度例题（原创版）目录1.引言2.时间复杂度和空间复杂度的定义3.例题解析3.1 例题一3.2 例题二4.总结正文【引言】在计算机科学中，时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的重要指标。
它们可以帮助我们了解算法在运行时所需的时间和空间资源，从而更好地选择合适的算法来解决实际问题。
本文将通过两个例题来介绍时间复杂度和空间复杂度的概念及其计算方法。
【时间复杂度和空间复杂度的定义】时间复杂度表示算法在运行时所需的时间资源，通常用大 O 符号（O）表示，它描述了输入规模（n）与所需执行时间的关系。
空间复杂度则表示算法在运行时所需的空间资源，也用大 O 符号表示，它描述了输入规模（n）与所需空间的关系。
【例题解析】例题一：计算一个数组中两个数之和等于目标值的问题。
问题描述：给定一个整数数组 nums 和目标值 target，判断数组中是否存在两个数 a 和 b，使得 a + b = target。
算法：使用哈希表存储数组中的元素及其对应的索引。
遍历数组，对于每个元素，计算 target 与当前元素的差值，然后在哈希表中查找是否存在该差值，如果存在，则返回 true，否则将当前元素及其索引存入哈希表。
时间复杂度：O(n)，其中 n 为数组的长度。
因为需要遍历整个数组。
空间复杂度：O(n)，因为需要使用哈希表存储数组中的元素及其对应的索引。
例题二：计算一个矩阵中两个数之和等于目标值的问题。
问题描述：给定一个二维整数数组 matrix，目标值 target，判断矩阵中是否存在两个数 a 和 b，使得 a + b = target。
算法：使用哈希表存储矩阵中的元素。
遍历矩阵，对于每个元素，计算 target 与当前元素的差值，然后在哈希表中查找是否存在该差值，如果存在，则返回 true，否则将当前元素及其所在的行和列存入哈希表。
时间复杂度：O(n^2)，其中 n 为矩阵的行数或列数。
因为需要遍历整个矩阵。
算法时间复杂度怎么算
算法时间复杂度怎么算一、概念时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)比如：一般总运算次数表达式类似于这样：a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+fa ！=0时，时间复杂度就是O(2^n);a=0,b<>0 =>O(n^3);a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推eg:(1) for(i=1;i<=n;i++) //循环了n*n次，当然是O(n^2)for(j=1;j<=n;j++)s++;(2) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)for(j=i;j<=n;j++)s++;(3) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2) for(j=1;j<=i;j++)s++;(4) i=1;k=0;while(i<=n-1){k+=10*i; i++; }//循环了n-1≈n次，所以是O(n)(5) for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)for(k=1;k<=j;k++)x=x+1;//循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的二、计算方法1.一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
递归时间复杂度计算公式
递归时间复杂度计算公式
摘要：
1.递归时间复杂度计算的基本概念
2.递归时间复杂度的分类
3.递归时间复杂度计算的具体方法
4.递归时间复杂度在实际问题中的应用
正文：
一、递归时间复杂度计算的基本概念
在计算机科学中，递归是一种函数调用自身的技术。
递归时间复杂度是指在计算过程中所需要的基本运算次数，通常用来衡量算法的效率。
递归时间复杂度与递归深度有关，递归深度是指函数调用自身的层数。
二、递归时间复杂度的分类
递归时间复杂度可以分为两类：一类是递归的时间复杂度为O(f(n))，另一类是递归的时间复杂度为O(g(n))。
其中，O(f(n)) 表示随着n 的增大，时间复杂度会无限增大；O(g(n)) 表示时间复杂度是一个常数，与n 无关。
三、递归时间复杂度计算的具体方法
递归时间复杂度计算的具体方法通常采用主定理。
主定理的内容是：若递归函数的时间复杂度为O(f(n))，则递归函数的时间复杂度为O(f(n))。
若递归函数的时间复杂度为O(g(n))，则递归函数的时间复杂度为O(g(n))。
四、递归时间复杂度在实际问题中的应用
递归时间复杂度在实际问题中的应用非常广泛，例如在计算阶乘、汉诺塔
等问题中都会涉及到递归时间复杂度的计算。
通过计算递归时间复杂度，我们可以更好地了解算法的效率，为选择合适的算法提供依据。
递归时间复杂度计算公式
递归时间复杂度计算公式（原创实用版）目录1.递归时间复杂度计算的基本概念2.递归时间复杂度的分类3.递归时间复杂度计算的方法和示例4.递归时间复杂度在实际问题中的应用正文一、递归时间复杂度计算的基本概念在计算机科学中，递归是一种函数调用自身的技术。
递归时间复杂度是指评估递归算法执行时间与问题规模之间关系的一种方法。
递归时间复杂度可以帮助我们在解决实际问题时，预测算法的运行速度，从而选择更加合适的算法。
二、递归时间复杂度的分类递归时间复杂度分为三种：O(1)、O(logn) 和 O(2^n)。
1.O(1)：表示递归时间复杂度为一常数，即不论问题规模如何变化，算法执行时间都保持不变。
2.O(logn)：表示递归时间复杂度与问题规模 logn 成正比。
随着问题规模的增大，算法执行时间增长速度逐渐降低。
3.O(2^n)：表示递归时间复杂度与问题规模 2^n 成正比。
随着问题规模的增大，算法执行时间呈指数级增长。
三、递归时间复杂度计算的方法和示例计算递归时间复杂度的方法通常是基于递归的深度和宽度进行分析。
下面以一个简单的递归问题为例，介绍计算递归时间复杂度的方法。
问题：计算一个数的阶乘。
解：假设 f(n) 表示 n 的阶乘，那么 f(n)=n*f(n-1)。
这是一个典型的递归问题。
在计算其时间复杂度时，需要考虑递归的深度和宽度。
假设问题规模为 n，当 n=1 时，f(1)=1，这是一个基本情况。
当 n>1 时，我们需要计算 n*f(n-1)，在计算 f(n-1) 时，需要遍历 n-1 个基本情况。
因此，在计算 f(n) 时，需要遍历 n 个基本情况和 n-1 个基本情况，总共需要遍历 n*(n-1) 个基本情况。
由于递归的时间复杂度与基本情况的数量成正比，因此，该问题的时间复杂度为 O(n)。
四、递归时间复杂度在实际问题中的应用在实际问题中，我们通常希望使用时间复杂度较低的算法来解决问题。
例如，在计算一个数的阶乘时，我们可以使用循环而非递归来提高算法的执行速度。
主定理计算时间复杂度
时间复杂度，也称为时间复杂度分析，是一种研究解决算法问题所需
计算时间和存储空间的方法。
它是计算机程序性能评估的标准，也是
算法效率分析的主要工具。
设计算法的人花费的精力通常以时间复杂
度的概念来衡量，即努力使时间复杂度最低。
主定理是一种算法复杂度分析方法，它可以在考虑算法的其他参数时，很容易推出该算法的时间复杂度的上界. 主定理是一种综合运用三个不
同的参数(量规格、时间规格和空间规格)来估算算法复杂度并可获得关于算法执行时间、内存消耗等统计信息的完美技巧。
其中，'量规格'是指数据规模n的变化，而'时间规格'是指算法执行时间T(n)的变化，而'空间规格'是指算法所需空间S(n)的变化。
如果一个算
法是在量规格Θ(f(n)) 的情况下在时间规格Θ(g(n))和空间规格Θ(h(n))
中完成的，则可以用主定理对其进行求解，结果为Θ(f(n) * g(n) + h(n))。
这就是主定理的定义，该定理将算法的量规格、时间规格和空间规格
综合考虑，由此可以计算得出算法的最大执行时间或最小存储空间。
因此，主定理是一种有效的衡量算法性能的方式，在很多实际应用中，可以通过主定理快速计算出该算法的执行时间或空间开销，为我们提
供了较好的帮助。
多叉树时间复杂度计算
多叉树的时间复杂度计算涉及到树的遍历操作，其中最常见的是深度优先遍历（DFS）和广度优先遍历（BFS）。
这两种遍历方式的时间复杂度与树的节点数量
和层数有关。
深度优先遍历（DFS）：
假设多叉树共有 N 个节点，H 为树的高度。
1.递归实现：
♦对于每个节点，递归地访问其子节点。
在最坏情况下，每个节点都需要访问一次，因此时间复杂度为 O(N)。
2.迭代实现（使用栈）：
♦对于每个节点，将其子节点入栈并依次访问。
在最坏情况下，每个节点都需要访问一次，因此时间复杂度为 O(N)。
广度优先遍历（BFS）：
1.使用队列：
♦从根节点开始，将每一层的节点依次加入队列，并逐个访问。
在最坏情况下，每个节点都需要访问一次，因此时间复杂度为 O(N)。
注意事项：
•如果多叉树的层数很大，那么时间复杂度可能会受到树的高度 H 影响。
•时间复杂度的计算通常以节点数目N 为主要因素，而与树的具体形状有关。
•在一些特殊情况下，如平衡多叉树，时间复杂度可能会更好。
但在一般情况下，我们通常关注最坏情况下的时间复杂度。
总的来说，多叉树的时间复杂度与遍历方式（DFS 或 BFS）和节点数目 N 有关，
通常为 O(N)。
c加加时间复杂度计算公式
c加加时间复杂度计算公式C加加时间复杂度计算公式。
在计算机科学中，时间复杂度是衡量算法性能的重要指标之一。
它描述了算法的运行时间随着输入规模的增加而增加的速度。
时间复杂度通常用大O符号来表示，而在C++编程语言中，我们可以使用C加加（C++）来编写算法，并通过时间复杂度计算公式来评估算法的效率。
时间复杂度的计算公式通常是基于算法中基本操作的执行次数。
基本操作是指算法中执行次数最多的那部分代码，通常是循环、递归、条件语句等。
通过对基本操作的执行次数进行分析，我们可以得到算法的时间复杂度。
在C++中，我们可以通过编写算法代码并使用计时器来测量算法的运行时间，然后根据输入规模来分析算法的时间复杂度。
但更常见的做法是通过对算法代码进行分析，推导出时间复杂度的计算公式。
下面我们将介绍一些常见的时间复杂度计算公式，并通过实例来说明如何在C++中计算算法的时间复杂度。
1. 常数时间复杂度，O(1)。
常数时间复杂度表示算法的运行时间与输入规模无关，即无论输入规模大小如何，算法的运行时间都保持不变。
这通常是由于算法中只包含了一些固定的基本操作，比如赋值操作、加减乘除等。
在C++中，常数时间复杂度的算法通常是一些简单的数学运算或者逻辑判断，比如下面这个例子：```cpp。
int sum(int a, int b) {。
return a + b;}。
```。
在这个例子中，函数sum的运行时间与输入规模无关，因此它的时间复杂度为O(1)。
2. 线性时间复杂度，O(n)。
线性时间复杂度表示算法的运行时间与输入规模成正比，即随着输入规模的增加，算法的运行时间也会线性增加。
在C++中，线性时间复杂度的算法通常是一些需要遍历输入数据的算法，比如下面这个例子：```cpp。
int findMax(int arr[], int n) {。
int max = arr[0];for (int i = 1; i < n; i++) {。
时间复杂度怎么算例题
时间复杂度怎么算例题
计算时间复杂度通常需要考虑代码中循环的次数和递归的深度。
以下是一些计算时间复杂度的例题及其解答：
例题1：
```python
def example1(n):
for i in range(n):
print(i)
```
解答1：
该代码中只有一个循环，循环次数取决于输入的参数n，因此时间复杂度为O(n)。
例题2：
```python
def example2(n):
for i in range(n):
for j in range(n):
print(i, j)
```
解答2：
该代码中有两个嵌套循环，每个循环的次数都取决于输入的参数n，因此时间复杂度为O(n^2)。
例题3：
```python
def example3(n):
if n == 0:
return
else:
print(n)
example3(n-1)
```
解答3：
该代码是一个递归函数，每次递归调用时，问题的规模减少1，直到n变为0为止。
因此递归的深度为n，时间复杂度为O(n)。
需要注意的是，以上只是一些简单的例题，实际情况可能更加复杂，可能涉及到更多的循环、递归或其他操作。
在计算时间复杂度时，需要仔细分析代码的结构和算法的特性。
哥德巴赫猜想时间复杂度
哥德巴赫猜想时间复杂度
哥德巴赫猜想的时间复杂度是指求解该猜想所需的时间与输入规模之间的比例关系。
根据不同的算法和计算资源，时间复杂度可能会有所不同。
一种常用的方法是使用筛法来求解哥德巴赫猜想。
这种方法的基本思路是通过对小于等于n的所有奇数进行筛选，找出那些既是奇数又是素数的数对。
然后，将每对素数分别加到大于n的某个偶数上，得到所有可能的偶数，再判断这些偶数是否等于2n。
如果是，则说明2n是一个偶数且不是质数，否则说明2n是一个质数。
对于使用筛法求解哥德巴赫猜想的时间复杂度，有以下几种不同的说法：
1. 线性筛法的时间复杂度是O(n)，即随着输入规模n的增大，所需时间也逐渐增大，但增大的速度较慢。
2. 对于某个要分解的数x，从a=3这个质数开始遍历所有的质数，得到另一个数x-a，判断数x-a是否在线性筛法中被筛掉。
这一步的时间复杂度是O(n/lnn)，其中lnn表示以e为底的对数。
3. 总的时间复杂度是O(n+T×n/lnn)，其中T表示测试数据的组数。
这是因为对于每组测试数据，都需要进行一次线性筛法和一次奇数筛选。
需要注意的是，以上时间复杂度的计算是基于当前的计算机技术和算法水平，随着计算机性能和算法优化的发展，时间复杂度可能会发生变化。
数据结构与算法（一）时间复杂度、空间复杂度计算
数据结构与算法（⼀）时间复杂度、空间复杂度计算⼀、时间复杂度计算1、时间复杂度的意义复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了⼀半1. 测试结果⾮常依赖测试环境2. 测试结果受数据规模的影响很⼤所以，我们需要⼀个不⽤具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执⾏效率的⽅法，即时间、空间复杂度分析⽅法。
2、⼤ O 复杂度表⽰法1)、可以将计算时间复杂度的⽅式和计算代码执⾏次数来进⾏类别int cal(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i <= n; ++i) {sum = sum + i;}return sum;}第 2、3 ⾏代码分别需要 1 个 unit_time 的执⾏时间，第 4、5 ⾏都运⾏了 n 遍，所以需要 2n * unit_time 的执⾏时间，所以这段代码总的执⾏时间就是(2n+2) * unit_time。
可以看出来，所有代码的执⾏时间 T(n) 与每⾏代码的执⾏次数成正⽐。
2)、复杂⼀点的计算int cal(int n) { ----1int sum = 0; ----2int i = 1; ----3int j = 1; ----4for (; i <= n; ++i) { ----5j = 1; ----6for (; j <= n; ++j) { ----7sum = sum + i * j; ----8} ----9} ----10} ----11T(n) = (2n^2+2n+3)unit_timeT(n)=O(f(n))⼤ O 时间复杂度实际上并不具体表⽰代码真正的执⾏时间，⽽是表⽰代码执⾏时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度2、时间复杂度计算法则1. 只关注循环执⾏次数最多的⼀段代码2. 加法法则：总复杂度等于量级最⼤的那段代码的复杂度如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)3、常见的是时间复杂度复杂度量级（递增）排列公式常量阶O(1)对数阶O(logn)线性阶O(n)线性对数阶O(nlogn)平⽅阶、⽴⽅阶...K次⽅阶O(n2),O(n3),O(n^k)指数阶O(2^n)阶乘阶O(n!)①. O(1)：代码的执⾏时间和n没有关系，⼀般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万⾏的代码，其时间复杂度也是Ο(1)；②. O(logn)、O(nlogn)i=1;while (i <= n) {i = i * 2;}通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想⾼中应该就学过了，我就不多说了。
kmp 时间复杂度计算
kmp 时间复杂度计算摘要：一、KMP 算法简介1.KMP 算法的概念2.KMP 算法的原理3.KMP 算法的作用二、KMP 算法的时间复杂度分析1.KMP 算法的时间复杂度公式2.KMP 算法时间复杂度分析的过程3.KMP 算法相对于其他字符串匹配算法的优势三、KMP 算法在实际应用中的案例1.KMP 算法在文本处理中的应用2.KMP 算法在信息检索中的应用3.KMP 算法在自然语言处理中的应用正文：一、KMP 算法简介KMP（Knuth-Morris-Pratt）算法是一种高效的字符串匹配算法，用于在一个主字符串中查找一个子字符串出现的位置。
该算法由Donald Knuth、Charles Morris 和Vaughan Pratt 于1977 年共同提出，其核心思想是利用子字符串的前缀与后缀信息来避免不必要的字符比较，从而提高匹配速度。
1.KMP 算法的概念：KMP 算法是一种滑动窗口法，通过构建一个“部分匹配表”（也称为“失效函数”或“next 数组”），实现字符串的高效匹配。
2.KMP 算法的原理：从主字符串的第一个字符开始，将其与子字符串的第一个字符进行比较。
若相等，继续比较后续字符；若不等，根据部分匹配表的值，将子字符串向右移动若干个字符，再次进行比较。
如此循环，直至找到匹配的子字符串或到达子字符串末尾。
3.KMP 算法的作用：KMP 算法可以在O(n) 的时间复杂度内完成主字符串与子字符串的匹配，其中n 为字符串的长度。
相较于O(n^2) 的暴力匹配算法，KMP 算法具有较高的效率。
二、KMP 算法的时间复杂度分析1.KMP 算法的时间复杂度公式：最优情况下，KMP 算法的时间复杂度为O(n)，其中n 为字符串的长度。
最坏情况下，KMP 算法的时间复杂度为O(n^2)，此时子字符串与主字符串的前缀完全相同。
2.KMP 算法时间复杂度分析的过程：分析KMP 算法的时间复杂度，需要考虑最优情况、最坏情况和平均情况。
时间复杂度计算方法
(2)
T(n-2)=T(n-3)+n-2
(3)
T(n-3)=T(n-4)+n-3
(4)
……
T(3)=T(2)+3
(n-2)
T(2)=T(1)+2
(n-1)
T(1)=T(0)+1
(n)
将(n)式带回(n-1) 式,将(n-1)式带回(n-2) 式，将式子依次带回，最后带回(4) 式，(3) 式，(2) 式，(1) 式。带入式子结果如下: T(n)=T(0)+1+2+3+……+n-3+n-2+n-1+n 计算结果如下： T(n)=1+1+2+3+……+n-3+n-2+n-1+n T(n)=1+(1+n)*n/2 故算法的时间复杂度为 O(n2)
因为：a=25,b=5,d=2,f(n) = n^2
所以此例符合Master method 中的第二种情况，所以 直接就可以得到：T(n) = n^2 * logn
2.形如 T(n) = a * T(n-1) + f(n) 的时间复杂度计算方法
这种形式的复杂度计算，只能用递推的方式
例1：
T(n)=T(n-1)+n
网络错误503请刷新页面重试持续报错请尝试更换浏览器或网络环境
时间复杂度计算方法
1.形如 T(n) = a * T(n/b) + f(n) 的时间复杂度计算方法
有一种方法叫做主方法（Master method）是用来专门计算这种形式的时间复杂度的，方法具体如下：
下边举例进行说明：
例1：
递归时间复杂度计算公式
递归时间复杂度计算公式摘要：1.递归时间复杂度概念介绍2.递归时间复杂度计算公式3.递归时间复杂度举例说明4.降低递归时间复杂度的方法5.总结正文：递归时间复杂度计算公式是递归算法分析中非常重要的一个环节。
在计算机科学中，时间复杂度是评估算法效率的关键指标，而递归算法的时间复杂度分析更具挑战性，因为它涉及到函数调用和子问题的解决。
一、递归时间复杂度概念介绍递归时间复杂度是指递归算法在运行过程中，所需的时间资源与问题规模的关系。
通常用大O符号表示，例如O(n)，表示时间复杂度与问题规模n成正比。
在递归算法中，我们需要关注两个关键因素：递归深度和子问题规模。
二、递归时间复杂度计算公式递归时间复杂度的计算公式如下：T(n) = 2T(n/2) + c其中，T(n/2)表示递归深度为n/2时的时间复杂度，c表示常数项，即不随问题规模变化的部分。
三、递归时间复杂度举例说明以汉诺塔问题为例，描述如下：功能：将一个长度为n的序列从源柱子移动到目标柱子。
算法描述：1.判断序列长度n，若n为1，直接将元素移动到目标柱子，时间复杂度为1。
2.若序列长度n大于1，则递归地将n-1个元素的序列从源柱子移动到中间柱子，时间复杂度为2(n-1)。
3.将序列的最后一个元素从源柱子移动到目标柱子，时间复杂度为1。
4.递归地将n-1个元素的序列从中间柱子移动到目标柱子，时间复杂度为2(n-1)。
我们可以发现，汉诺塔问题的时间复杂度为O(2^n)，这是一个典型的递归时间复杂度公式。
四、降低递归时间复杂度的方法1.提前终止条件：在算法设计中，设置一个合适的提前终止条件，可以有效地降低递归时间复杂度。
例如，在汉诺塔问题中，当序列长度为1时，直接解决问题，而不进行递归调用。
2.迭代算法：将递归算法转化为迭代算法，可以减少函数调用次数，降低时间复杂度。
例如，汉诺塔问题可以使用迭代算法解决，时间复杂度为O(n)。
3.动态规划：将递归问题分解为子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解，可以降低递归时间复杂度。
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分治策略的算法分析工具：递推方程 两类递推方程
如：汉诺塔
f ( n) a i f ( n i ) g( n)
i 1
k
n f ( n) af ( ) d ( n) b
如：快速排序
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递推方程的解
方程
T (n) aT(n / b) d (n)
O ( n log b a ) a 1 T ( n) O (log n) a 1
ab O( n) T ( n) O( n logn) a b O( n log b a ) a b
d(n)为常数
d(n) = cn
影响复杂性的主要因素：子问题个数，合 并开销函数。
如何计算算法时间复杂度
计算算法时间复杂度过程： （1）确定基本操作 （2）构造基于基本操作的函数解析式 （3）求解函数解析式
如果构建的是递推关系式，那么常 用的求解方法有： （1）前向替换法 可以从初始条件给出的序列初始项 开始，使用递推方程生成序列的前面 若干项，寄希望于从中找出一个能够 用闭合公式表示的模式。如果找到了 这样的公式，我们可以用两种方法对 它进行验证：第一，将它直接代入递 归方程和初始条件中。第二，用数学 归纳法来证明。
T (1) 1 T (n) m T(n / m) O(n)
算法的复杂度有两部分决定：递归和合并， 递归的复杂度是：n， 合并的复杂度是 nlogn。
减治法的基本思想
• 将规模为n的问题递减为规模为n-1或n/2的子问题
,反复递减后对子问题分别求解,再建立子问题的解 与原问题的解的关系。 • 减治法有两个变形: 减因子(如1/2):每次迭代规模减半n→ n/2 减可变规模:每次迭代减小的规模不同
X(n)=x(0)+1+2+3+4+5…+n=0+1+2+3=4 = n(n+1)/2
（3）换名
f (n) f (n / k ) b
上面形式的在递推关系式，一个规模为n的问题， 每一次递归调用后，都简化为n/k规模的问题，为了 方便求解，我们通常设定：n=km， 则，上面的求解过程可简化为： f(n)= f(km-1)+b = f(km-2)+2b =… = f(k0)+mb = f(1) + blog n
第二种递归调用，每次规模是原来的1/2：
1 T (n) T (n / 2) (n 1)
设 n = 2k： T(n) = T(n/2) + (n-1)
n 1 n 1
因为每一次规模都减到原来的1/2，所以用换名的方法
= T(2k-1) + (2k-1)
=[T(2k-2) + (2k-1-1)]+ (2k-1) =… =[T(2k-k) + (21-1)] + … +(2k-1-1) +(2k-1) =T(1)+[(2k+1-2)-k]
=2n-logn-1
算法时间复杂度：O(n) 分析：
1 T (n) T (n / 2) (n 1) n 1 n 1
算法的复杂度有两部分决定：递归和合并， 递归的复杂度是：logn， 合并的复杂度是 n。
第三种递推关系式：
T (2) 1 T (n) 2T (n / 2) O(n)
T(n)=2T(n/2) +n 设n= 2k =2T(2k-1)+2k =2[2T(2k-2)+2k-1]+2k =22T(2k-2)+2*2k =… =2k-1T(2k-(k-1)) + (k-1)*2k =n/2 + (logn-1) *n
不失一般性，设规模为n的问题，每一次有 分解为m个子问题，设n =mk，则：
T (1) 1 T (n) mT(n / m) O(n)
T(n)=mT(n/m) +n =mT(mk-1)+mk =m[mT(mk-2)+mk-1]+mk =m2T(mk-2)+2*mk =… =mkT(2k-k) + k*mk =n + logn *n
算法时间复杂度：O(nlogn) 分析：
第一种递归关系式：
1 C ( n) C ( n / 2) 1
n 1 n 1
因为规模每一次递归调用后，缩减为原来的1/2，所以采用换 名方法求解，设 n = 2k：
C(n) = C(2k)= C(2k-1)+1 = C(2k-2) + 2 =… =C(2k-k)+k =C(1) + k = logn+1
递归复杂性的一般形式
• 一般的，递归复杂性可描述为递归方程： f(n) = 1 n=1 af(n ~ b) + D(n示递减方式， b是递减步长， D(n)是合成子问题的开销。 • 通常，递归元的递减方式~有两种： 递推法 1、减法，即n – b，的形式。 分治法 2、除法，即n / b，的形式；
例如，考虑如下递推式： X(n) = 2X(n-1) +1 n>1 X(1) = 1 x(1)=1 x(2)=2x(1)+1 = 2*1+1=3 x(3)=2x(2)+1=2*3+1=7 x(4)=2x(3)+1=2*7+1=15
X(n)=2^n-1
n>0
（2）反向替换法
例如：X(n)=x(n-1)+n 使用所讨论的递推关系，将x(n-1)表 示为x(n-2)得函数，然后把这个结果 代入原始方程，来把x(n)表示为x(n-2) 的函数。重复这一过程。