算法的时间复杂性
常用算法时间复杂度
常用算法时间复杂度在计算机科学领域中，算法是解决问题的一种方法。
算法的好坏不仅与其解决问题的准确性相关，而且和其所需的时间和空间复杂度也有关。
时间复杂度是度量算法执行所需时间的数量级，通常用大O符号表示，因此也被称为大O复杂度。
下面介绍一些常用算法的时间复杂度。
1. 常数时间复杂度（O(1)）此类算法与输入规模大小无关，执行时间始终相同。
例如，访问数组的某个元素，可以通过索引直接访问，不需要循环遍历整个数组。
2. 线性时间复杂度（O(n)）此类算法的执行时间与输入规模成线性关系。
例如，遍历一个数组，需要循环访问每个元素一次，时间复杂度为O(n)。
3. 对数时间复杂度（O(logn)）此类算法的执行时间与输入规模成对数关系。
例如，二分查找算法，每次执行都能将待查找元素的搜索区间缩小一半，因此时间复杂度为O(logn)。
4. 平方时间复杂度（O(n^2)）此类算法的执行时间与输入规模的平方成正比。
例如，嵌套循环遍历二维数组，需要执行n*n次操作，时间复杂度为O(n^2)。
5. 立方时间复杂度（O(n^3)）此类算法的执行时间与输入规模的立方成正比。
例如，嵌套循环遍历三维数组，需要执行n*n*n次操作，时间复杂度为O(n^3)。
6. 指数时间复杂度（O(2^n)）此类算法的执行时间随着输入规模的增加呈指数级增长。
例如，求解某些NP问题（非确定性多项式问题）的暴力搜索算法，时间复杂度为O(2^n)。
7. 阶乘时间复杂度（O(n!)）此类算法的执行时间随着输入规模的增加呈阶乘级增长。
例如，通过枚举法求解某些问题，每次需要执行n!次操作，时间复杂度为O(n!)。
在实际应用中，时间复杂度是衡量算法效率的重要指标，因此开发人员需要在设计时考虑时间复杂度优化问题。
如果算法复杂度较高，可能会导致程序执行时间过长，甚至无法正常运行。
因此，开发人员需要根据具体情况来选择合适的算法，以达到更好的性能要求。
算法的时间复杂度是指什么
算法的时间复杂度是指什么时间复杂度通常用大O符号表示。
大O表示法表示算法运行时间的上界，即算法最坏情况下的运行时间。
时间复杂度可以分为几个级别，如常数时间O(1)、对数时间O(log n)、线性时间O(n)、线性对数时间O(n log n)、平方时间O(n^2)等。
这些时间复杂度级别代表了问题规模增长时算法所需时间的不同变化速度。
在分析算法的时间复杂度时，通常关注的是算法运行时间随问题规模n的增长而变化的趋势，而不关注具体的运行时间。
因此，时间复杂度是一种抽象的概念，用于比较不同算法的运行效率。
1.基本操作数计数法：通过统计算法执行的基本操作数来估计算法的时间复杂度。
基本操作就是算法中最频繁执行的操作，例如赋值、比较、加法、乘法等。
基本操作数计数法的思路是，通过对算法中的基本操作进行计数，然后选择基本操作数最大的那一部分作为算法的时间复杂度。
2.事后统计法：通过实际运行算法并统计其执行时间来估计算法的时间复杂度。
这种方法通常用于验证理论上估计的时间复杂度是否准确。
然而，事后统计法只能得到特定输入情况下的时间复杂度，不能推断出算法的一般情况下的时间复杂度。
3.算法复杂度分析法：通过对算法中各个语句进行分析，得出算法的时间复杂度。
这种方法可以用数学方法推导出时间复杂度的表达式，通常使用数学归纳法、递推关系、循环求和等方法进行分析。
算法的时间复杂度对于衡量算法的效率非常重要。
较低的时间复杂度意味着算法可以在更短的时间内处理更大规模的问题。
因此，选择合适的算法设计和算法优化可以提高程序的运行效率，并减少资源消耗，对于大规模数据处理和系统性能优化至关重要。
算法分类,时间复杂度,空间复杂度,优化算法
算法分类,时间复杂度,空间复杂度,优化算法算法 今天给⼤家带来⼀篇关于算法排序的分类,算法的时间复杂度,空间复杂度,还有怎么去优化算法的⽂章,喜欢的话,可以关注,有什么问题,可以评论区提问,可以与我私信,有什么好的意见,欢迎提出.前⾔: 算法的复杂度分为时间复杂度与空间复杂度,时间复杂度指执⾏算法需要需要的计算⼯作量,空间复杂度值执⾏算法需要的内存量,可能在运⾏⼀些⼩数据的时候,⼤家体会不到算法的时间与空间带来的体验. 优化算法就是将算法的时间优化到最快,将空间优化到最⼩,假如你写的mod能够将百度游览器的搜索时间提升0.5秒,那都是特别厉害的成绩.本章内容: 1,算法有哪些 2,时间复杂度,空间复杂度 3,优化算法 4,算法实例⼀,算法有哪些 常见的算法有冒泡排序,快排,归并,希尔,插⼊,⼆分法,选择排序,⼴度优先搜索,贪婪算法,这些都是新⼿⼊门必须要了解的,你可以不会,但是你必须要知道他是怎么做到的,原理是什么,今天就给⼤家讲⼀讲我们常⽤的冒泡排序,选择排序,这两个排序算法,1,冒泡排序(Bubble Sort), 为什么叫他冒泡排序呢? 因为他就像是从海底往海⾯升起的⽓泡⼀样,从⼩到⼤,将要排序的数从⼩到⼤排序,冒泡的原理: 他会⼀次⽐较两个数字,如果他们的顺序错误,就将其调换位置,如果排序正确的话,就⽐较下⼀个,然后重复的进⾏,直到⽐较完毕,这个算法的名字也是这样由来的,越⼤的数字,就会慢慢的'浮'到最顶端. 好了该上代码了,下⾯就是冒泡排序的代码,冒泡相对于其他的排序算法来说,⽐较的简单,⽐较好理解,运算起来也是⽐较迅速的,⽐较稳定,在⼯作中也会经常⽤到,推荐使⽤# 冒泡排序def bubble_sort(alist):n = len(alist)# 循环遍历，找到当前列表中最⼤的数值for i in range(n-1):# 遍历⽆序序列for j in range(n-1-i):# 判断当前节点是否⼤于后续节点，如果⼤于后续节点则对调if alist[j] > alist[j+1]:alist[j], alist[j+1] = alist[j+1], alist[j]if__name__ == '__main__':alist = [12,34,21,56,78,90,87,65,43,21]bubble_sort(alist)print(alist)# 最坏时间复杂度: O(n^2)# 最优时间复杂度: O(n)# # 算法稳定性:稳定2,选择排序(selection sort) 选择排序(selection sort)是⼀种简单直观的排序⽅法, 他的原理是在要排序的数列中找到最⼤或者最⼩的元素,放在列表的起始位置,然后从其他⾥找到第⼆⼤,然后第三⼤,依次排序,依次类,直到排完, 选择排序的优点是数据移动, 在排序中,每个元素交换时,⾄少有⼀个元素移动,因此N个元素进⾏排序,就会移动 1--N 次,在所有依靠移动元素来排序的算法中,选择排序是⽐较优秀的⼀种选择排序时间复杂度与稳定性:最优时间复杂度: O(n2)最坏时间复杂度:O(n2)算法稳定性 :不稳定(考虑每次升序选择最⼤的时候)# if alist[j] < alist[min_index]:# min_index = j## # 判断min_index索引是否相同,不相同，做数值交换# if i != min_index:# alist[i],alist[min_index] = alist[min_index],alist[i]### if __name__ == '__main__':# alist = [12,34,56,78,90,87,65,43,21]# # alist = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]# select_sort(alist)# print(alist)# O(n^2)# 不稳定def select_sort(alist):"""选择排序"""n = len(alist)for i in range(n - 1):min_index = i # 最⼩值位置索引、下标for j in range(i+1, n):if alist[j] < alist[min_index]:min_index = j# 判断min_index ,如果和初始值不相同，作数值交换if min_index != i:alist[i], alist[min_index] = alist[min_index],alist[i]if__name__ == '__main__':alist = [8,10,15,30,25,90,66,2,999]select_sort(alist)print(alist)这是⼀些算法的时间复杂度与稳定性时间复杂度,空间复杂度 接下来就要来说说时间复杂度与空间复杂度: 时间复杂度就是假如你泡茶,从开始泡,到你喝完茶,⼀共⽤了多长时间,你中间要执⾏很多步骤,取茶叶,烧⽔,上厕所,接电话,这些都是要花时间的,在算法中,时间复杂度分为 O(1)最快 , O(nn)最慢,O(1) < O(logn) <O(n)<O(n2)<O(n3)<O(2n) <O(nn) ⼀般游览器的速度都在O(n),做我们这⼀⾏,要注意客户体验,如果你程序的运⾏特别慢,估计别⼈来⼀次,以后再也不会来了下⾯给⼤家找了张如何计算时间复杂度的图⽚: 空间复杂度(space complexity) ,执⾏时所需要占的储存空间,记做 s(n)=O(f(n)),其中n是为算法的⼤⼩, 空间复杂度绝对是效率的杀⼿,曾经看过⼀遍⽤插⼊算法的代码,来解释空间复杂度的,觉得特别厉害,我就⽐较low了,只能给⼤家简单的总结⼀下我遇到的空间复杂度了, ⼀般来说,算法的空间复杂度值得是辅助空间,⽐如:⼀组数字,时间复杂度O(n),⼆维数组a[n][m] :那么他的空间复杂度就是O(n*m) ,因为变量的内存是⾃动分配的,第⼀个的定义是循环⾥⾯的,所以是n*O(1) ,如果第⼆个循环在外边,那么就是1*O(1) ,这⾥也只是⼀个了解性的东西,如果你的⼯作中很少⽤到,那么没有必要深究,因为⽤的真的很少优化算法这边带来了代码,你们在复制下来了python上运⾏⼀下,看⼀下⽤的时间与不同, ⾃然就懂了,这是未优化的算法''已知有a,b,c三个数,都是0-1000之内的数,且: a+b+c=1000 ⽽且 a**2+b**2=c**2 ,求a,b,c⼀共有多少种组合'''# 在这⾥加⼀个时间模块,待会好计算出结果import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):for b in range(1001):for c in range(100):# 判断他主公式第⼀次,并未优化if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :# 打印print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 156.875001秒这是第⼀次优化import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):# 这⾥改成1001-a之后,他就不⽤再循环b了for b in range(1001-a):for c in range(100):# 判断他主公式第⼆次,优化了b,if a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 50.557070秒最后⼀次优化import time# 记录开头时间start_time=time.time()# 把a,b,c循环出来for a in range(1001):for b in range(1001-a):c=1000 - a - b# 判断他主公式第三次,优化了b和cif a+b+c==1000 and a**2 + b**2 == c**2 :print("a=" ,a)print("b=" ,b)print("c=" ,c)else:passstop_time = time.time()print('⼀共耗时: %f'%(stop_time-start_time))# ⼀共耗时 2.551449秒从156秒优化到l2秒, 基本运算总数 * 基本运算耗时 = 运算时间这之间的耗时和你的机器有着很⼤的关系今天是12⽉30⽇,明天就要跨年了,祝⼤家2019年事业有成,⼯资直线上升,早⽇脱单,。
算法的时间复杂度实验报告
实验一算法的时间复杂度一、实验目的与要求熟悉C/C++语言的集成开发环境；通过本实验加深对算法分析基础知识的理解。
软件环境：操作系统：windows7 旗舰版集成开发环境：visual studio 2010 旗舰版硬件环境：处理器：因特尔Core i3 M 380内存：2GB二、实验内容:掌握算法分析的基本方法，并结合具体的问题深入认识算法的时间复杂度分析。
三、实验题定义一个足够大的整型数组，并分别用起泡排序、简单选择排序、快速排序和归并排序对数组中的数据进行排序（按从小到大的顺序排序），记录每种算法的实际耗时，并结合数据结构中的知识对算法的时间复杂度分析进行说明。
实验数据分两种情况：1、数组中的数据随机生成；2、数组中的数据已经是非递减有序。
四、实验步骤理解算法思想和问题要求；编程实现题目要求；上机输入和调试自己所编的程序；验证分析实验结果；整理出实验报告。
五、实验程序#include<>#include<>#include<iostream>#include<> 组大小ARRAY_MAXSIZE为10000如下：2.数组大小ARRAY_MAXSIZE为8000如下3.数组大小ARRAY_MAXSIZE为5000如下：六、实验分析1、各算法时间时间消耗图2、各算法时间性能分析表：3、分析与说明：由算法时间复杂度表分析，起泡排序在最好情况下时间性能好，最坏情况和平均情况和选择排序一样，选择排序的时间性能都不高，均为O(n２)，根据平均情况来看，快速排序和归并排序的时间性能一样，且最坏情况时归并排序优于快速排序。
对于随机数组序列，数组大小为10000，8000，5000时候，归并排序算法执行时间和快速排序时间都相对较短，简单选择排序缓慢，而起泡排序则是最耗时的。
但是当数组由10000变到5000时，归并排序的时间性能变化不大，而快速排序时间性能提高很多，起泡排序时间性能下降慢，所以起泡排序在随机序列中的性能不高。
算法的时间复杂度和空间复杂度-总结
算法的时间复杂度和空间复杂度-总结通常，对于一个给定的算法，我们要做两项分析。
第一是从数学上证明算法的正确性，这一步主要用到形式化证明的方法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。
而在证明算法是正确的基础上，第二部就是分析算法的时间复杂度。
算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣与否。
因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析方法是很有必要的。
算法执行时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。
而度量一个程序的执行时间通常有两种方法。
一、事后统计的方法这种方法可行，但不是一个好的方法。
该方法有两个缺陷：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，必须先依据算法编制相应的程序并实际运行；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优势。
二、事前分析估算的方法因事后统计方法更多的依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优劣。
因此人们常常采用事前分析估算的方法。
在编写程序前，依据统计方法对算法进行估算。
一个用高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：(1). 算法采用的策略、方法；(2). 编译产生的代码质量；(3). 问题的输入规模；(4). 机器执行指令的速度。
一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。
为了便于比较同一个问题的不同算法，通常的做法是，从算法中选取一种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执行的次数作为算法的时间量度。
1、时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
时间的复杂度详解
时间的复杂度详解时间复杂度是衡量算法运行时间的一种度量方式，用大O符号（O）来表示。
它描述了算法所需的计算步骤数随问题规模的增长率。
在计算机科学中，时间复杂度主要关注的是算法在处理大规模问题时所需的时间。
为了更好地理解时间复杂度，我们需要先了解一些基本概念。
1.基本操作在算法中，基本操作是指运算的最小单位。
它们通常是赋值、比较、运算、访问数组元素等。
基本操作的数量是衡量算法运行时间的关键。
2.渐近表示法时间复杂度使用大O符号来表示，表示算法运行时间的上界。
例如，如果一个算法的时间复杂度为O(n)，意味着算法的运行时间最多是输入规模n的某个常数倍。
大O符号忽略了低阶项和常数项，只关注随问题规模增长最快的那一项。
下面我们来详细讨论几个常见的时间复杂度。
1.常数时间复杂度O(1)无论输入规模大小，常数时间复杂度的算法都具有固定的运行时间。
例如，访问数组元素或者执行一个赋值语句。
常数时间复杂度通常是最理想的情况，但在实际中很难实现。
2.线性时间复杂度O(n)线性时间复杂度表示随着输入规模n的增长，算法的运行时间也会线性增长。
例如，遍历一个数组或者链表中的所有元素。
每个元素都需要进行常数次的基本操作，所以总的时间复杂度为O(n)。
3.对数时间复杂度O(log n)对数时间复杂度通常出现在数据规模减半的情况下。
例如，在二分查找算法中，每次查找都可以将问题规模减半。
对数时间复杂度的算法是非常高效的，因为随着问题规模的增长，算法的运行时间只会以对数方式增长。
4.平方时间复杂度O(n^2)平方时间复杂度表示随着输入规模n的增长，算法的运行时间会呈平方级别增长。
例如，嵌套循环中的每次迭代都需要进行常数次的基本操作。
平方时间复杂度的算法常常效率较低，通常不适用于处理大规模问题。
5.指数时间复杂度O(2^n)指数时间复杂度表示随着输入规模n的增长，算法的运行时间呈指数级别增长。
例如，在TSP（旅行商问题）的暴力求解方法中，对于每个城市，旅行商都需要选择下一个未访问的城市，因此总的时间复杂度会呈指数级别增长。
KMP算法的时间复杂度
KMP算法的时间复杂度KMP算法是一种字符串匹配算法，它可以在一个主串中高效地查找所有匹配某个模式串的位置。
在计算机科学中，算法的时间复杂度是衡量算法执行时间与输入规模之间关系的度量。
在本文中，我们将深入探讨KMP算法的时间复杂度。
KMP算法的时间复杂度可通过三个方面来分析：预处理阶段的时间复杂度、匹配阶段的时间复杂度以及总体时间复杂度。
1. 预处理阶段的时间复杂度在KMP算法中，要先对模式串进行预处理，生成部分匹配表（Partial Match Table），也称为最长公共前后缀表（Longest Proper Prefix which is also Sufix，简称为LPS表）。
这个过程的时间复杂度是O(m)，其中m是模式串的长度。
在生成部分匹配表的过程中，KMP算法利用了前缀与后缀的性质，通过动态规划的方式计算每个位置的最长匹配长度。
虽然这个过程需要遍历整个模式串，但是每次计算的操作都具有重叠子问题的性质，因此可以通过状态转移方程高效地计算出来。
2. 匹配阶段的时间复杂度在匹配阶段，KMP算法将主串与模式串进行逐个字符的比较，并利用已经生成的部分匹配表来决定下一次比较的位置。
这个过程的时间复杂度是O(n)，其中n是主串的长度。
在匹配过程中，KMP算法利用了部分匹配表的信息，根据当前位置的匹配长度来确定下一次比较的位置。
通过避免无效的比较，KMP 算法可以在最坏情况下实现线性的时间复杂度。
3. 总体时间复杂度KMP算法的总体时间复杂度是预处理阶段的时间复杂度与匹配阶段的时间复杂度之和。
即O(m) + O(n) = O(m + n)。
从总体时间复杂度可以看出，KMP算法的执行时间与主串和模式串的长度之和成正比。
相比于朴素的字符串匹配算法，KMP算法可以大大提高匹配的效率，尤其是在模式串较长的情况下。
总结：KMP算法的时间复杂度是O(m + n)，其中m是模式串的长度，n是主串的长度。
通过对模式串进行预处理并利用部分匹配表的信息，KMP算法可以高效地在主串中查找所有匹配模式串的位置。
算法时间复杂度怎么算
算法时间复杂度怎么算一、概念时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)比如：一般总运算次数表达式类似于这样：a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+fa ！=0时，时间复杂度就是O(2^n);a=0,b<>0 =>O(n^3);a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推eg:(1) for(i=1;i<=n;i++) //循环了n*n次，当然是O(n^2)for(j=1;j<=n;j++)s++;(2) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)for(j=i;j<=n;j++)s++;(3) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2) for(j=1;j<=i;j++)s++;(4) i=1;k=0;while(i<=n-1){k+=10*i; i++; }//循环了n-1≈n次，所以是O(n)(5) for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)for(k=1;k<=j;k++)x=x+1;//循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的二、计算方法1.一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
信息学竞赛中的算法优化与时间复杂度分析
信息学竞赛中的算法优化与时间复杂度分析信息学竞赛是一项以计算机算法为核心的竞技活动，旨在培养学生的计算机思维和解决问题的能力。
在这个竞赛中，算法的优化和时间复杂度的分析都是非常重要的方面。
本文将针对信息学竞赛中的算法优化和时间复杂度分析进行探讨。
一、算法优化1. 理解问题：在信息学竞赛中，首先要对问题进行全面的理解。
只有准确地理解了问题的要求和限制，才能设计出有效的算法。
2. 选择适当的数据结构：不同的问题可以使用不同的数据结构来表示和处理数据。
选择适当的数据结构可以降低算法的复杂度，提高效率。
3. 时间复杂度分析：通过对算法的时间复杂度进行分析，可以了解算法在不同情况下的运行时间。
这样可以找到算法中的瓶颈，进行进一步的优化。
4. 贪心算法：贪心算法是一种简单而有效的算法思想，在某些情况下可以取得最优解。
贪心算法通过每一步都选择当前最优解，最终得到全局最优解。
5. 动态规划：动态规划是一种将问题划分为多个子问题，通过解决子问题来求解原问题的方法。
动态规划可以避免重复计算，提高效率。
6. 剪枝：剪枝是一种通过提前终止无效的计算分支，减少计算量的方法。
剪枝可以在搜索算法中大大提高效率。
二、时间复杂度分析1. 时间复杂度：时间复杂度是衡量算法运行时间随问题规模增加而增加的程度。
常见的时间复杂度有常数阶O(1)、对数阶O(logn)、线性阶O(n)、平方阶O(n^2)等。
2. 最坏情况时间复杂度：最坏情况时间复杂度是指在算法的所有输入中，具有最长运行时间的情况下的时间复杂度。
对算法的时间性能进行最坏情况分析可以保证算法的稳定性。
3. 平均情况时间复杂度：平均情况时间复杂度是对算法在所有输入情况下运行时间的平均值的估计。
对算法的平均情况进行时间复杂度分析可以更好地反映算法的性能。
4. 最优时间复杂度：最优时间复杂度是指在所有可能输入情况下的最短运行时间。
最优时间复杂度一般只关注算法的上界，不常用于实际问题。
如何进行算法分析和复杂性分析
如何进行算法分析和复杂性分析算法分析和复杂性分析是计算机科学中非常重要的一部分，它们帮助我们评估和理解算法的效率和性能。
本文将介绍算法分析和复杂性分析的概念、方法和常见的计算复杂性类别。
一、算法分析算法分析是对算法性能的评估和比较。
它提供了对算法资源使用情况的度量，例如时间复杂性和空间复杂性。
1.时间复杂性：时间复杂性是算法运行时间相对于输入规模的度量。
我们通常关注最坏情况下的运行时间，即最长时间。
常用的表示方式有大O表示法。
例如，如果一个算法的时间复杂度是O(n)，表示算法的运行时间与输入规模n成正比。
当n变大时，运行时间也会相应增长，但增长的速度是线性的。
2.空间复杂性：空间复杂性是算法运行时所需的额外内存的度量。
同样，通常关注最坏情况下的额外内存使用。
也可以使用大O表示法表示空间复杂性。
算法分析的目标是找到高效的算法来解决问题。
通过对不同算法的复杂性进行度量和比较，我们可以选择最适合特定问题的算法，或者优化现有算法以获得更好的性能。
二、复杂性分析复杂性分析是一种对问题复杂性进行分类和比较的方法。
它研究了问题的难度和所需的计算资源。
根据问题的性质和计算资源的限制，我们可以将问题分为不同的复杂性类别。
1. P类问题（多项式类问题）：这些问题可以在多项式时间内解决，即随着输入规模的增加，算法的运行时间以多项式速度增长。
最常见的例子是排序和搜索问题。
2. NP类问题（非确定性多项式类问题）：这些问题可以在多项式时间内验证解的正确性。
虽然我们目前无法在多项式时间内找到解，但一旦解被提供进来，我们可以在多项式时间内验证它们的正确性。
最著名的例子是旅行商问题和背包问题。
3. NP-完全问题（非确定性多项式完全问题）：这是一类特殊的NP问题，它被认为是NP问题中最困难的一类。
这些问题在NP类中是最难解决的，目前还没有发现多项式时间内的解决方法。
代表性的例子有布尔可满足性问题和子集和问题。
通过对问题的复杂性进行分析，我们可以确定是否存在有效的算法来解决问题，或者将问题归类为NP完全问题。
第一章数据结构和算法简介—算法的时间复杂度和空间复杂度-总结
第⼀章数据结构和算法简介—算法的时间复杂度和空间复杂度-总结算法的时间复杂度和空间复杂度-总结通常，对于⼀个给定的算法，我们要做两项分析。
第⼀是从数学上证明算法的正确性，这⼀步主要⽤到形式化证明的⽅法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。
⽽在证明算法是正确的基础上，第⼆部就是分析算法的时间复杂度。
算法的时间复杂度反映了程序执⾏时间随输⼊规模增长⽽增长的量级，在很⼤程度上能很好反映出算法的优劣与否。
因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析⽅法是很有必要的。
算法执⾏时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运⾏时所消耗的时间来度量。
⽽度量⼀个程序的执⾏时间通常有两种⽅法。
⼀、事后统计的⽅法这种⽅法可⾏，但不是⼀个好的⽅法。
该⽅法有两个缺陷：⼀是要想对设计的算法的运⾏性能进⾏评测，必须先依据算法编制相应的程序并实际运⾏；⼆是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本⾝的优势。
⼆、事前分析估算的⽅法因事后统计⽅法更多的依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本⾝的优劣。
因此⼈们常常采⽤事前分析估算的⽅法。
在编写程序前，依据统计⽅法对算法进⾏估算。
⼀个⽤⾼级语⾔编写的程序在计算机上运⾏时所消耗的时间取决于下列因素：(1). 算法采⽤的策略、⽅法；(2). 编译产⽣的代码质量；(3). 问题的输⼊规模；(4). 机器执⾏指令的速度。
⼀个算法是由控制结构（顺序、分⽀和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。
为了便于⽐较同⼀个问题的不同算法，通常的做法是，从算法中选取⼀种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执⾏的次数作为算法的时间量度。
1、时间复杂度（1）时间频度⼀个算法执⾏所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运⾏测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量
算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量，算法的计算工作量是用算法所执行的基本运算次数来度量的
算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量，它与使用的计算机、程序设计语言以及算法实现过程中的许多细节无关，B选项正确，D选项错误。
最坏情况下的时间复杂度可以与平均情况的时间复杂度相同
369可以用无符号整数来表示和存储
线性结构应满足：有且只有一个根结点与每个结点最多有一个前件，也最多有一个后件
循环链表和双向链表都是线性结构的数据结构
只有一个根结点的数据结构不一定是线性结构
线性结构又称线性表，采用顺序存储和链接存储，链接存储在空间上不连续
顺序存储结构中可能根节点不唯一，故可能不是线性结构
栈是所有的插入与删除都限定在表的同一端进行的线性表；队列是指允许在一端进行插入，而在另一端进行删除的线性表。
循环队列是队列的一种顺序存储结构
二叉树通常采用链式存储结构，双向链表为顺序存储结构如果有两个节点的同一个指针域的值相等，说明一个节点有两个前件，属于非线性结构。
shor算法时间复杂度的证明
Shor算法是一种量子算法，用于大数质因数分解和离散对数问题，是现代密码学和许多其他数学问题的重要工具。
下面是Shor算法时间复杂度的证明过程。
Shor算法主要利用了量子态的叠加性和量子门操作来加速计算。
具体来说，Shor算法将一个n位数的分解问题转化为寻找一个周期为N的函数f(x)的问题，其中N是n位数的质因数分解结果。
然后利用量子相位估计和量子傅里叶变换来计算函数的周期，从而找到
n位数的质因数。
证明过程如下：
1. 利用经典方法求解N的因子分解需要的时间为O(N^1/3)，而Shor算法的时间复杂度为O(log N)。
2. 假设存在一个经典算法可以在O(N^1/2)时间内分解N，那么可以利用这个算法来求解一个指数方程，从而在O(N^1/4)时间内求解一个离散对数问题。
3. 离散对数问题是NP-hard问题，因此如果存在一个经典算法可以在多项式时间内求解离散对数问题，那么可以构造一个多项式时间经典算法来求解所有NP问题，这与已知事实矛盾。
4. 因此，Shor算法的时间复杂度为O(log N)。
算法的时间复杂度是指
算法的时间复杂度是指
常见的时间复杂度包括：
1.常数时间复杂度：表示算法的执行时间恒定不变，即与输入数据量
无关。
常数时间复杂度的算法用O(1)表示。
2.线性时间复杂度：表示算法的执行时间与输入数据量成正比。
线性
时间复杂度的算法用O(n)表示，其中n表示输入数据的规模。
3. 对数时间复杂度：表示算法的执行时间与输入数据量的对数关系。
对数时间复杂度的算法用O(log n)表示。
4.平方时间复杂度：表示算法的执行时间与输入数据量的平方关系。
平方时间复杂度的算法用O(n^2)表示。
5.指数时间复杂度：表示算法的执行时间与指数函数相关，通常为
O(2^n)。
指数时间复杂度的算法通常非常低效，不适用于处理大规模数据。
当算法的时间复杂度越高，表示算法的执行时间越长。
在设计算法时，我们通常希望选择时间复杂度较低的算法来提高效率。
快速幂算法时间复杂度
快速幂算法时间复杂度咱们得明白，快速幂算法的巧妙之处在于它的分治思想。
就像切水果一样，不是一次性把一个大西瓜咬下去，而是把它切成小块，一口一口地吃。
这样不仅快，而且还不容易噎到。
在快速幂算法里，当你想算 ( x^n ) 的时候，假设 n 是偶数，这时候你可以把它变成 ( (x^{n/2)^2 )。
哎，这一转变就让计算变得轻松多了，心里乐开了花。
若是 n 是奇数，那就变成 ( x times x^{n1 )。
虽然这还是需要计算，但比起原来的方式可省了不少力气，真是让人感叹智慧的力量。
再说时间复杂度，大家都知道，时间就是金钱，快一点就能省不少时间。
快速幂算法的时间复杂度是O(log n)，这可不是随便说说的，得意得跟个小朋友炫耀新玩具一样。
想想看，假如你用的是传统的方法，时间复杂度可是O(n)，这简直是慢得像蜗牛一样，估计连你自己都等得不耐烦了。
这个O(log n) 的复杂度就像一阵风，嗖一下就过去了，爽快得让人想鼓掌。
用个形象的比喻，传统方法就像是你在大街上找一个你想吃的餐馆，东奔西跑，问来问去，累得够呛。
而快速幂算法就像你用手机直接搜索，立刻就能找到位置，简单又方便。
就这点儿小巧思，就能让你在数学的海洋中遨游得心应手，真是聪明人做的聪明事儿！很多人可能会问，这样的算法在什么地方用得上呢？嘿嘿，想必你们都听过“兵马未动，粮草先行”这句话吧。
快速幂算法的应用可广泛得很。
比如在计算机科学、密码学、图形处理等等领域，它都能大显身手。
你要是用过编程语言，肯定知道很多时候都需要用到大数计算，尤其是加密算法，快速幂算法就是那种让你在短时间内完成大数运算的超级英雄。
你知道吗？这算法还有个特别之处，就是可以通过递归或者迭代的方式来实现。
就像你要决定晚上吃什么，直接想好或者问朋友，都是可以的。
用递归方法会让人感觉特别优雅，像一首优美的乐曲。
而迭代则是更直接，像是做家务，动手就能搞定。
两种方式各有千秋，关键在于你怎么选择，选对了，效果杠杠的。
密码学中的复杂度类
密码学中的复杂度类
密码学中的复杂度类主要涉及两个概念：算法的复杂性和密码的复杂性。
1.算法的复杂性：这主要包括时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度是指从输入数据到计算出结果所需的时间，它是k的函数。
空间复杂度是指为完成算法最多需要的计算机存储量，也是k的函数。
为了表示算法的时间复杂度和空间复杂度，通常会引入一些数学记号，例如O、Ω、θ、o，这些记号用于描述算法的渐近性能。
2.密码的复杂性：这主要涉及密码的长度和组成。
密码长度通常是指密码中字符的数量，它直接影响到密码的强度和安全性。
密码的组成则包括字母、数字、符号等，它们的组合方式会影响到密码的复杂性和安全性。
在密码学中，算法的复杂性和密码的复杂性都是非常重要的因素，它们直接影响到系统的安全性和效率。
因此，在设计和实施密码系统时，需要对这两方面进行仔细的考虑和权衡。
如果一个算法在平均情况下的计算时间复杂性
如果一个算法在平均情况下的计算时间复杂性
算法的时间复杂度也就是算法的时间度量，记作：t(n) = o(f(n))。
它表示随问题规
模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
t(n)表示一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。
时间频度t(n)中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度t(n)也会不断变化。
资料开拓：
常见的时间复杂度量级有：
常数阶$o(1)$；
线性阶$o(n)$；
平方阶$o(n^2)$；
立方阶$o(n^3)$；
对数阶$o(logn)$；
线性对数阶$o(nlogn)$；
指数阶$o(2^n)$。
1、常数阶$o(1)$，表示该算法的执行时间（或执行时占用空间）总是为一个常量，
不论输入的数据集是大是小，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都
是o(1)。
2、线性阶$o(n)$，则表示一个算法的性能可以随着输出数据的大小变化而线性变化。
3、平方阶$o(n^2)$，表示一个算法的性能将会随着输入数据的增长而呈现出二次增长。
最常见的就是对输入数据进行嵌套循环。
如果嵌套层级不断深入的话，算法的性能将
会变为立方阶$o(n3)$。
4、指数阶$o(2^n)$，则表示一个算法的性能可以随着输出数据的每次减少而减小两倍，典型的方法就是裴波那契数列的递归计算同时实现。
算法时间复杂度的计算公式
算法时间复杂度的计算公式算法时间复杂度是算法效率的一种度量方式，通常用大O符号来表示，例如O(1)、O(n)、O(n^2)等。
在计算算法时间复杂度时，需要考虑算法中各种操作的时间复杂度，并将它们合并为总时间复杂度。
以下是常见的算法操作时间复杂度：1. 常数级别：O(1)2. 对数级别：O(logn)3. 线性级别：O(n)4. 线性对数级别：O(nlogn)5. 平方级别：O(n^2)6. 立方级别：O(n^3)7. 指数级别：O(2^n)计算总时间复杂度的公式如下：1. 顺序执行的操作，时间复杂度直接相加。
例如，若有操作A、B、C，它们的时间复杂度分别为O(a)、O(b)、O(c)，则总时间复杂度为O(a + b + c)。
2. 嵌套执行的操作，时间复杂度取最大值。
例如，若有操作A、B，操作A执行了n次，每次的时间复杂度为O(n)，操作B的时间复杂度为O(nlogn)，则总时间复杂度为O(n*nlogn)，即O(n^2logn)。
3. 分支语句的时间复杂度为其中时间复杂度最大的分支的时间复杂度。
例如，若有分支语句，分别包含操作A和操作B，它们的时间复杂度分别为O(a)、O(b)，则分支语句的时间复杂度为O(max(a,b))。
4. 循环结构的时间复杂度为循环次数乘以循环体的时间复杂度。
例如，若有循环结构，循环次数为n，循环体包含操作A和操作B，它们的时间复杂度分别为O(a)、O(b)，则循环结构的时间复杂度为O(n*max(a,b))。
综上所述，计算算法总时间复杂度需要考虑各个操作的时间复杂度以及它们的执行顺序、嵌套关系、分支和循环结构。
时间复杂度的几种计算方法
时间复杂度的计算方法在计算机科学中，时间复杂度是一个用来评估算法执行时间如何随着输入数据规模的增长而变化的度量。
了解算法的时间复杂度对于我们选择和使用适当的数据结构和算法，以及优化代码的效率至关重要。
下面，我们将介绍计算时间复杂度的几种方法：1. 确定基本操作首先，我们需要确定算法中的基本操作。
这些操作通常是算法中最耗时的部分，例如循环、递归、查找、排序等。
了解这些基本操作可以帮助我们更好地理解算法的执行流程。
2. 计算操作次数接下来，我们需要计算基本操作在算法中的执行次数。
这通常涉及到对输入数据进行遍历、迭代或比较等操作。
通过计算操作次数，我们可以了解算法的执行效率。
3. 分析操作之间的关系操作之间的关系决定了算法的时间复杂度。
如果一个操作的执行次数与输入数据规模呈线性关系，则时间复杂度为O(n)；如果一个操作的执行次数与输入数据规模呈对数关系，则时间复杂度为O(logn)；如果一个操作的执行次数与输入数据规模呈平方关系，则时间复杂度为O(n^2)。
通过对操作之间的关系的分析，我们可以得到算法的时间复杂度。
4. 确定时间复杂度确定了基本操作、操作次数和操作之间的关系后，我们可以确定算法的时间复杂度。
时间复杂度通常用大写的O表示，表示算法在最坏情况下的执行时间。
根据实际情况，我们还可以考虑平均情况和最好情况下的时间复杂度。
5. 比较时间复杂度最后，我们需要比较不同算法的时间复杂度。
通过比较时间复杂度，我们可以评估算法的效率，选择更适合的算法来解决特定的问题。
在实际应用中，我们还需要考虑空间复杂度、可读性和可维护性等因素，以便综合评估不同算法的优劣。
总之，计算时间复杂度是评估算法效率的重要手段。
通过确定基本操作、计算操作次数、分析操作之间的关系、确定时间复杂度和比较时间复杂度等方法，我们可以更好地理解算法的性能和效率，从而在实际应用中选择更合适的算法来解决问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
算法的时间复杂度计算
定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。
当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。
我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。
大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。
此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。
“大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。
这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。
这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。
例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。
当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。
O(1)
Temp=i;i=j;j=temp;
以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。
算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。
如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。
此类算法的时间复杂度是O(1)。
O(n^2)
2.1. 交换i和j的内容
sum=0；（一次）
for(i=1;i<=n;i++) （n次）
for(j=1;j<=n;j++) （n^2次）
sum++；（n^2次）
解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)
2.2.
for (i=1;i<n;i++)
{
y=y+1; ①
for (j=0;j<=(2*n);j++)
x++; ②
}
解：语句1的频度是n-1
语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1
f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2
该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).
O(n)
2.3.
a=0;
b=1; ①
for (i=1;i<=n;i++) ②
{
s=a+b; ③
b=a; ④
a=s; ⑤
}
解：语句1的频度：2,
语句2的频度： n,
语句3的频度： n-1,
语句4的频度：n-1,
语句5的频度：n-1, T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).
O(log2n )
2.4.
i=1; ①
while (i<=n)
i=i*2; ②
解：语句1的频度是1,
设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
取最大值f(n)= log2n,
T(n)=O(log2n )
O(n^3)
2.5.
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).
我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。
如快速排序的最坏情况运行时间是O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。
通过每次都仔细地选择基准值，我们有可能把平方情况(即O(n^2)情况)的概率减小到几乎等于 0。
在实际中，精心实现的快速排序一般都能以(O(nlogn)时间运行。
下面是一些常用的记法：
访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。
一个算法如果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。
用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。
常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。
指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。
例如，n个元素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。
指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。
不幸的是，确实有许多问题 (如著名的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。
如果我们真的遇到这种情况，通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。