算法时间复杂度计算示例

基本计算步骤

示例一：

(1) int num1, num2;

(2) for(int i=0; i

(3) num1 += 1;

(4) for(int j=1; j<=n; j*=2){

(5) num2 += num1;

(6) }

(7) }

分析步骤

Step1.分析各条语句执行时间，得到算法（实际）复杂性

语句int num1, num2;的频度为1；

语句i=0;的频度为1；

语句i

语句j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log2n；

算法（实际）复杂性：T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n

step2. 计算渐进复杂性

忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数，得到

f(n) = n*log2n

{ 可省略：

lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)

= 2*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3

当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0，极限等于3。

}

T(n) = O(n*log2n)

简化的计算步骤

再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数最多的语句，这里是num2 += num1，一般也是最内循环的语句。

并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉？

于是，以上步骤可以简化为：

1. 找到执行次数最多的语句

2. 计算语句执行次数的数量级

3. 用大O来表示结果

继续以上述算法为例，进行分析：

1.

执行次数最多的语句为num2 += num1

2. T(n) = n*log2n

f(n) = n*log2n

3. // lim(T(n)/f(n)) = 1

T(n) = O(n*log2n)

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一些补充说明

最坏时间复杂度

算法的时间复杂度不仅与语句频度有关，还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。

求数量级

即求对数值(log)，默认底数为10，简单来说就是“一个数用标准科学计数法表示后，10的指数”。例如，5000=5x10 3 (log5000=3) ，数量级为3。另外，一个未知数的数量级为其最接近的数量级，即最大可能的数量级。

复杂度与时间效率的关系：

c < log2n < n < n*log2n < n2 < n3 < 2n < 3n < n! （c是一个常量）

|--------------------------|--------------------------|-------------| 较好一般较差

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复杂情况的分析

以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析，但实际上还可能有其他的情况，下面将例举说明。

1.并列循环的复杂度分析

将各个嵌套循环的时间复杂度相加。

例如：

for (i=1; i<=n; i++)

x++;

for (i=1; i<=n; i++)

for (j=1; j<=n; j++)

x++;

解：

第一个for循环

T(n) = n

f(n) = n

时间复杂度为Ο(n)

第二个for循环

T(n) = n2

f(n) = n2

时间复杂度为Ο(n2)

整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2) = Ο(n2)。

2.函数调用的复杂度分析

例如：

public void printsum(int count){

int sum = 1;

for(int i= 0; i

sum += i;

}

System.out.print(sum);

}

分析：

记住，只有可运行的语句才会增加时间复杂度，因此，上面方法里的内容除了循环之外，其余的可运行语句的复杂度都是O(1)。

所以printsum的时间复杂度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)

*这里其实可以运用公式 num = n*(n+1)/2，对算法进行优化，改为：

public void printsum(int count){

int sum = 1;

sum = count * (count+1)/2;

System.out.print(sum);

}

这样算法的时间复杂度将由原来的O(n)降为O(1)，大大地提高了算法的性能。

3.混合情况（多个方法调用与循环）的复杂度分析

例如：

public void suixiangMethod(int n){

printsum(n);//1.1

for(int i= 0; i

printsum(n); //1.2

}

for(int i= 0; i

for(int k=0; k

System.out.print(i,k); //1.3

}

}