2019美数学家发现目前已知最大质数 共1300万位精品教育.doc
什么事质数
质数(prime number)又称素数，有无限个。
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。
根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。
最小的质数是2。
目前为止，人们未找到一个公式可求出所有质数。
2016年1月，发现世界上迄今为止最大的质数，长达2233万位，如果用普通字号将它打印出来长度将超过65公里。
质数个数质数的个数是无穷的。
欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。
它使用了证明常用的方法：反证法。
具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn，那么，N+1是素数或者不是素数。
如果N+1为素数，则N+1要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。
如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。
因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。
所以原先的假设不成立。
也就是说，素数有无穷多个。
其他数学家给出了一些不同的证明。
欧拉利用黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，HillelFurstenberg则用拓扑学加以证明。
对于一定范围内的素数数目的计算尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100，000以下有多少个素数？”，“一个随机的100位数多大可能是素数？”。
素数定理可以回答此问题。
质数具有许多独特的性质：（1）质数p的约数只有两个：1和p。
（2）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。
关于质数问题的讨论
第1章前言质数在研究整数的过程中占有一个很重要的地位，它被称为自然数的“建筑的基石”．虽然有很多数学家和学者致力于对它的研究，但成果并不显著，仍有许多问题有待解决．例如，哥德巴赫猜想困扰了人们几百年，有很多数学家对它进行了多年的研究但并没有得到解决．我国数学家陈景润的“陈氏理论”是迄今为止世界上关于哥德巴赫猜想研究的最好成果．这一成果给后人很大鼓舞，似乎离最后结果仅一步之遥，但仍一直无进展．梅森质数是数论研究的一项重要内容，研究梅森质数具有重大的意义，也是当今科学探索的热点和难点之一．随着现代科学技术的迅速发展，也加快了对质数的研究．运用计算机能够较快的计算某自然数是否是质数，知道在某范围内质数的分布情况．由于质数的无穷性，要想计算更大的质数仅有计算机还远远不够，还需要有更高的理论要求．同时，质数在加密和解密技术中的应用有了更高的要求，求尽可能大的质数和大数分解引起了通讯界和数学界的极大兴趣．另外，质数在奥数中也屡屡出现，技巧性非常强，可以锻炼和提高学生的思维．所以有必要对质数的相关问题进行阐述．本文着重介绍质数相关问题，能够使读者形象、直观地目睹质数分布规律，了解有关质数问题．首先，在质数基本知识中介绍质数的定义、性质及算术基本定理，并讨论判定质数的两个定理一个是威尔逊定理和另一个判定定理；其次，研究质数个数问题，质数分布问题，得到质数个数有无穷多个，在某两个自然数之间大约有多少质数和两个相邻质数的间隙可以任意大等结论．还介绍用幼拉脱斯展纳筛法和质数辐射法来求从1到某自然数n之间所有的质数，进而分析质数的分布问题，并讨论它们的区别；最后，介绍有关质数的著名问题，如费马质数是否有有限，梅森质数是否有无穷多个，什么是孪生质数，并用聚数来研究孪生质数对一些性质，哥德巴赫猜想的由来、研究意义等问题，以及它们理论的推广与应用．第2章质数基本知识2.1 质数的定义及其性质在正整数里，1的正因数就只有它本身，因此在整数中间1占有特殊的地位．任一个大于1的整数，都至少有两个正因数，即1和它本身，把这些数加以分类，就得到下面的定义．定义2.1.1]1[一个大于1的整数，如果它的正因数只有1及它本身，就叫做质数（或素数）；否则就叫作合数．显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的且是惟一的偶质数．从小到大质数依次排列为：2，3，5，7，11，13，17，⋅⋅⋅根据质数的定义显然可以得到以下性质：1、如果ab mn=，其中a，b，m，n都是质数，那么a，b中必有一个等于m，另一个等于n；2、两个质数之和为奇数，则必有一个质数为2；3、两个质数之差为奇数，则必有一个质数为2；4、除了2之外的两个质数之和一定是偶数；5、除了2之外的两个质数之差一定是偶数；6、除了2之外的两个质数之积一定是奇数．例2.1.1 两个质数的和等于奇数a(5a≥)，求这两个数．解：因为两个质数的和等于奇数，所以必有一个是2，那么，所求的两个质数是2和2a-．例2.1.2 己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数．解：因为质数m只含两个正约数1和m，又由于(1)()m--=m，那么所求的两个整数是1和m或者1-和m-．例2.1.3]2[求满足方程组4423ab bcac bc+=⎧⎨+=⎩的正整数解a、b、c的值．解：先将方程+b =23ac c 的左边分解，得()23a b c +=，而23是一个质数，由“质数只有1和它本身两个质因数”求得1c =, 23a b +=,于是方程组可化为：(1)44124a b a b +=⎧⎨++=⎩ 解之得111=22a b =⎧⎨⎩或22212a b =⎧⎨=⎩． 故该题的解有两组： 1111221a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或2222121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．例2.1.4 已知方程2+(6)+=0(0)x a x a a -≠的两根都是整数，试确定a 的值．解：设12x x ，是该方程的两个根，利用根与系数的关系得126x x a +=-，12x x a ⨯=，把两个等式相加，可得12126x x x x ++⨯=．该等式可变形为12(1)(1)7x x ++=，而7是一个质数，由质数性质得： 1206x x =⎧⎨=⎩或者1228x x =-⎧⎨=-⎩． 再把1x 、2x 带入元方程可求得：10a =，216a =．2.2 质数基本定理质数在研究整数的过程中占有一个很重要的地位，本节的主要目的就是要证明任何一个大于1的整合数，如果不论次序，能唯一地表成质数的乘积．先介绍每一个大于1的整数有一个质因数．定理2.2.1]1[ 设a 是任一大于1的整数，则a 的除1外最小的正因数q 是一个质数，并且当a 是合数时，q ≥定理2.2.2]1[ 若p 是一个质数，a 是任一个整数，则a 能被p 整除或p 与a 互质．推论2.2.3]1[ 设1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅，n a 是n 个整数，p 是质数．若12|p a a ⋅⋅⋅n a ，则p 一定能整除某一k a ．定理2.2.4（算术基本定理）任一大于1的整数能表成质数的乘积，即任一大于1的整数12n a p p p =⋅⋅⋅，12n p p p ≤⋅⋅⋅≤， （2.2-1）其中12n p p p ⋅⋅⋅，，，是质数，并且若 12m a q q q =⋅⋅⋅，12m q q q ≤⋅⋅⋅≤，其中12m q q q ⋅⋅⋅，，，是质数，则m n =，i i q p =，12i n =⋅⋅⋅，，，．证明：用数学归纳法先证明（2.2-1）式成立．当2a =时，（2.2-1）式显然成立．假定对一切小于a 的正整数（2.2-1）式都成立，此时若a 是质数，则（2.2-1）式对a 成立；若a 是合数，则有两正整数bc 满足条件,1,1a bc b a c a =<<<<．由假定 12l b p p p '''=⋅⋅⋅，12l l n c p p p ++'''=⋅⋅⋅， 于是 1212l l l n a p p p p p p ++''''''=⋅⋅⋅⋅⋅⋅． 将'i p 的次序适当调动后既得（2.2-1）式，故（2.2-1）式对a 成立．由归纳法即知对任大于1的正整数，（2.2-1）式成立．若12m a q q q =⋅⋅⋅，12m q q q <<⋅⋅⋅<，则1212n m p p p q q q ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ （2.2-2）因此112|m p q q q ⋅⋅⋅，112|n q p p p ⋅⋅⋅．由推论2.1，有k j p q ，，使得1|j p q ，1|k q p ．但j k q p ，都是质数，故1j p q =，1k q p =．又1k p p ≥，1j q q ≥，故11j k q p p q =≤=，因而 11j p q q ==．由（2.2-2）式1212n m p p p q q q ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，同法可得22p q =．依次类推，最后即得n m =，i i p q =，12i n =⋅⋅⋅，，，．推论2.2.5 任一大于1的整数a 能惟一地写成1212012k a a a k i a p p p a i k =⋅⋅⋅>=⋅⋅⋅，，，，，， （2.2-3）其中()i j p p i j <<．（2.2-3）叫做a 的标准分解式．例2.2.1如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少? 解： 4875=355513⨯⨯⨯⨯， 有b a ⨯为4875的约数，且这两个数的和为64．发现39=3×13、25=5×5这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数．那么它们的差为39－25＝14．当两个数的和一定时，这两个数越接近，积越大．所以两个和为64的数的乘积最大为32×32=1024，而积最小为1×63=63．而4875在64～1024之间的约数有65，195，325，375，975等．再对65，195，325，375，975等一一验证：65513=⨯，1953513=⨯⨯；325=5513⨯⨯ 375=3555⨯⨯⨯，975=35513⨯⨯⨯．只有一种情况就是39、25，它们的差为39－25＝14．例2.2.2 三个质数的倒数之和是16611986，则这三个质数之和为多少? 解：设这三个质数从小到大为a b c 、、，它们的倒数分别为1a 、1b 、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为a b c ⨯⨯，求和得到的分数为F abc ，如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a 、b 、c 或它们之间的积． 现在和为16611986，分母1986=23331⨯⨯，所以一定是2a =，3b =，331c =，检验满足． 所以这三个质数的和为23331336++=．2.3 质数的判定定理2.3.1 威尔逊定理定理2.3.1]3[ 整数2≥p ，当且仅当）（p p mod 01)!1(≡+-时，p 是质数． 证明:（必要性）若p 不是质数，则必存在因子d 满足1 < d < p 且)(mod 0p d ≡，因此，)(mod 0)!1(p p ≡-，而不是)(mod 1)!1(p p -≡-．所以，假设不成立，即p 质数．（充分性）若p 是质数,取集合}1321{-=p A ，，，， ；则A 构成模p 乘法的缩系，即任意A i ∈，存在A j ∈使得)(mod 1)(p ij ≡那么A 中的元素是不是恰好两两配对呢? 不一定,但只需考虑这种情况)(m od 12p x ≡解得 )(mod 1p x ≡ 或 )(mod 1p p x -≡其余两两配对；故而)(mod 1)1()!1(p p p -≡-≡-若p 不是质数，则易知有p p p d =-=))!1(,(故而 )(mod 0)!1(p p ≡-．威尔逊定理给出了判定一个整数2≥p 是否为质数的基本定理．给定一个较大的整数p ，)!1(-p 是一个很大的数，利用威尔逊定理来判定p 是否为质数是不方便的；但可以利用定理的充要性及同余性质来解决一些实际问题．下面介绍威尔逊定理的两个推论及应用．推论2.3.2 p 为形如14+n 的质数时，)(mod 01])!2[(2p n ≡+．证明：p 为质数且14+=n p 时，(1)!1232(21)(2)(1)p n n p p -≡⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅--1232(2)(2)(1)n p n p p ≡⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--22(1)[123(2)](mod )n n p ≡-⋅⋅⋅⋅⋅由威尔逊定理，)(mod 01)!1(p p ≡+-及同余性质得：)(m od 01!11])!2[(2p p n ≡+-≡+）（．例2.3.1 p 为形如14+n 的质数,则p |n n n 42])!2[(+．证明：p 为形如14+n 的质数，14+=n p ，14-=p n ，1),(=p n ．由费马小定理 )(m od 011p n p ≡--，即 )(m od 014p n n ≡-，由推论2.3.2知)(mod 01])!2[(2p n ≡+，又)1(}1])!2{[(])!2[(4242-++=+n n n n n n故 p |n n n 42])!2[(+．推论2.3.3 p 为质数，若存在11-≤≤p r ，使得)(m od 0!)1(p r r ≡-，则)(mod 01)!1(p r p ≡+--．证明：对11-≤≤p r ，由同余性质，)(mod p k k p -≡-， (1,2,3,,)k r =所以 )(m od !)1()()2)(1(r r r p p p r -≡--- ．由)(mod 1!)1(p r r ≡-得：)(mod 1)()2)(1(p r p p p ≡--- ，p 为质数，由威尔逊定理，)(mod 01)!1(p p ≡+-及同余性质得：)(mod 1)!1)(()2)(1(p r p r p p p ≡----- ，即 )(mod 01)!1(p r p ≡+--．例2.3.2 证明(1))23(mod 01!14≡+；(2))71(mod 01!63≡+．证明：(1)因为175323403191!8)1(8⨯==--，所以)23(m od 1!8)1(8≡-，又因为23是质数，由推论2.3.4得：)23(mod 01!141)!1823(≡+≡+--．(2)因为717150411!7)1(7⨯-=-=--，所以)71(m od 1!7)1(7≡-，又因为71为质数，由推论2.3.4得：)71(mod 01!631)!1771(≡+≡+--．2.3.2 另一个判定定理前面介绍了威尔逊定理，但是用它来判别自然数n 是质数是非常困难的．例如，若n 是三位的自然数，那么(1)!1n -+就是超过了100位的数,计算量非常大．下面给出质数的另一判别法．先看两个引理：引理 2.3.4]4[ 设p 为自然数)2(≥n 的最小质因数，则)(mod )1(1n u p n p ⋅-≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，其中pu n =．证明：因为二项式系数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p n 是整数!))1(()2)(1(!))1(()2)(1(p p pu pu pu pu p p n n n n p n ----=----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)!1())1(()2)(1(-----=p p pu pu pu u 因p 是pu n =的最小质因数，故1),)!1((=-u p ．故有))1(()3)(2)(1(|!1------p pu pu pu pu p ）（．又有))1(()3)(2)(1(-----p pu pu pu pu)!1()1()()1()()()(12232211--+-+-+-=------p pu A pu A pu A pu p p p p p p )!1()1(])1([12234223112--+-+-+-=---------p u A u p A u p A u p p p p P p p p p p p因))1(()3)(2)(1(|!1------p pu pu pu pu p ）（，!1)1(|!11）（）（----p p p 故 !1）（-p |])1([2234223112u A u p A u p A u p p p p p p p p p p ---------+-+- ．由于 1),)!1((=-p p ,所以 !1）（-p |])1([2234223112u A u p A u p A u p p p p p p p p p ---------+-+- ． 设其商为M ，Z M ∈，于是有 u nM pM u p n P P 11)1(])1([---+=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，pu n =故 )(mod )1(1n u p n P --≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛． 引理2.3.5]4[ 设P 是自然数)2(≥n 的最小质因数．则)(mod 0n p n ≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，其中11-≤≤p k ． 证明：(1)当2=n 时，结论显然成立；(2)当3≥n 时，11-≤≤p k ．由于1),(=k n ，所以1)!,(=k n ．因为!)1()2)(1(k k n n n n k n +---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 是整数，且1)!,(=k n ，所以 )1()3)(2)(1(|!+----k n n n n k ． 设其商为M ，Z M ∈，故有 )(mod 0n nM k n ≡≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，其中11-≤≤p k ．定理2.3.6 ]4[ p 是质数的充要条件为)(mod 0n nM p n ≡≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，其中11-≤≤p k ．证明：（必要性）p 是质数，那么p 的最小质因数就是p ，于是应用引理 2.3.5(这时p n =)，得 )(mod 0p k p ≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，且11-≤≤p k ．（充分性）若)(mod 0p k p ≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，且11-≤≤p k ．要证p 是质数，采用反证法，若满足上述条件的p 是一个合数，那么p 一定会有一个最小质因数）（p <<λλ1，设u p λ=． 根据引理2.3.4得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λp ≡u 1)1(--λ)(mod 0p这与上述已知条件矛盾，故p 一定是质数． 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k p p k k p p k p k p k p !)!(!)!(!!，可得以下推论．推论2.3.7]4[ p 是质数的充要条件为)(mod 0p k p ≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，其中]2[1p k ≤≤． 推论2.3.8 p 是质数的充要条件为)(mod 0p k p ≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，其中p k ≤≤1．证明：若p 是质数，显然满足条件；反之，若p 满足条件)(mod 0p k p ≡⎪⎪⎭⎫⎝⎛，那么p 一定是质数．若不然，p 是合数，p 就有最小质因数）（][1p <<λλ，u p λ= )(mod )1(1p u p --≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ与已知矛盾． 推论2.3.9]4[ p 是质数的充要条件为11(mod )2111(mod )2p p k p p k -⎧⎛⎫≡- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨-⎛⎫⎪≡ ⎪⎪⎝⎭⎩，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤≤211p k ． 推论2.3.10 当p 是奇数时，p 是质数的充要条件为)(mod 012p k p ≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤21p k ． 证明：若p 是质数，显然满足推论2.3.10的条件，反之，若p 是奇数且满足条件，那么p 一定是质数．当p 是合数时，p 一定有一个最小质因数）（p <<λλ1．设u p λ=(1)当λ为偶质数，那么2=λ，u p 2=与p 是奇数矛盾； (2)若λ是奇质数，由引理2.3.5知)(mod )1(1p u p --≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ 这与条件矛盾．综合上述：当p 是奇数且满足条件的p 一定是质数． 由推论2.3.10和推论2.3.8得定理2.3.11．定理2.3.11]4[ 当p 是奇数时，p 是质数的充要条件为)(mod 012p k p ≡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，其中⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡≤≤21p k ．例2.3.3 若101=p ，试判断p 是否为质数．解：101=p 是奇数，52=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡p由定理2.3.11,只要检查⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3101，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5101，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7101，⎪⎪⎭⎫⎝⎛9101是否关于模101的余为0，显然）（101mod 01101≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛． ）（101mod 03350101321991001013101≡⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ）（101mod 0495339597101543219798991001015101≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 5716339597101765432195969798991001017101⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ）（101mod 0≡ 98654321939495969798991001019101⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ）（101mod 02571131949597101≡⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡ 由定理2.3.11得：101=p 是质数．若利用威尔逊质数判别法：1100+！是一个100多位的大数，计算量大，比上面的方法麻烦得多．第3章 质数分布问题3.1 质数个数和间隙问题3.1.1质数个数问题整数是有无穷多个的，但是分布在整数列中的质数究竟有多少个呢？ 定理3.1.1 质数的个数是无穷的[1]．证明：（反证法）假定正整数中只有有限个质数，设为12k p p p ⋅⋅⋅，，，． 令12p p ⋅⋅⋅1k p N +=，则1N >，且N 有一质因数p ，这里12i p p i ≠=，，，⋅⋅⋅，k ，否则12|k p p p p ⋅⋅⋅．又|p N ，因此|1p ，而与p 是质数矛盾． 故p 是上面k 个质数以外的质数，因此定理获证．以()x π表示不超过x 的质数的个数，那么(2)1(3)2(5)3πππ===，，，⋅⋅⋅．由定理3.1.1知道：当x →∞时，()x π→∞．虽然它给出了质数的个数是无穷多的，但是能否找到一个式子大约表示()x π呢？给出一个定理：定理3.1.2[5] 当2x ≥时，0.2()5ln ln x xx x xπ≤≤． 由定理可知在正整数列中质数的个数比起全体正整数的个数来说，是非常少的．更确切的说，就是下面的推论3.1.3．推论3.1.3[5] 几乎所有的正整数都是合数，即()lim0x x xπ→∞=．关于质数的个数的进一步结果是著名的质数定理：即()lim1ln x x xxπ→∞=．这样，欲知1~x （x 任意正整数）之间有多少质数时，即只需求出ln xx的值，也就找到了质数的大约个数．例3.1.1 现将100 000 000内质数的分布情况列出表3-1[5]如下．其中x 表示自然数，()x π表示x 内的质数个数．表3-1 100 000 000内质数的分布情况根据上表可知：1. 质数个数有无穷多个．2. x 中质数个数在x 中的比例，随x 的不断增大而逐渐减少．3. x 中质数个数在其合数中的比例，也随x 的不断增大而逐渐减少．4. x 内的质数个数与ln xx的值相当．3.1.2 质数间隙问题了解了质数的个数有关问题，那么质数在自然数列中的分布情况是怎么样的呢？相邻质数的间隙是多少呢？根据上节可知质数的个数是无穷的，但同时也知道在合数中的比例，也随x 的不断增大而逐渐减少．因此猜想相邻质数的间隙可以任意大．定理3.1.4 设K 是任一大于2的正整数，则在正整数列中一定有两个相邻的质数p 与p '（p p <'）使得K p p ≥'-．证明：令M K =+2!，则M |2，1|12++M ，⋅⋅⋅，2|-+K M K ，又2>M ,31>+M ，⋅⋅⋅，K K M >-+2，故M ，1+M ，⋅⋅⋅，2-+K M 都是合数．设p '是不超过M 的最大质数，则大于p '，而与p '相邻的质数p 必大于2-+K M ．因此1-≤'M p ，1-+≥K M p ．故K M K M p p =---+≥'-)1()1(．因为K 可以任意大，因此由定理知道相邻质数间的“距离”可以无限大．另一方面，存在着下列的质数对：2,3；3,5；5,7；7,11；29,31；41,43；⋅⋅⋅这些质数对都是正整数列中的相邻质数，而且它们之间的“距离”有的是1，有的是2，有的是4等等．如果间隙趋向越来越大，那么质数增长越来越快；而且质数的间隙可以任意大．但是如果小间隙，像2或4，出现非常频繁，那么质数增大得不会很快．查看所列的质数表就会发现间隙是毫无规律可言的．因此，在某范围内是否存在质数呢？先看下面引理．引理3.1.5 设5≥n ，则有nn n n n 222412221<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛< （3.1-1） 证明：由!!)!2(2n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛有nn n n n n n n n n n n 22221121222524131222>----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 即有（3.1-1）式左边成立；下面用反证法证明（3.1-1）式右边成立：令5=n ，即有102412562522=<=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 成立， 设k n =时，kk k 22412<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛成立，那么当1+=k n 时，)1(22224124)1)(1()!()22)(22()!2()2)(1()!()22)(12()!2(1)1(2+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++<++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++k k k k k k k k k k k k k k k k k 仍成立，引理得证．引理3.1.6[5] 设p 表示质数，则bbp p 2102<∏≤<． （3.1-2）定理3.1.7[5] 对任意自然数1≥n ，在n 与n 2之间必有一质数．证明：由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 2中不包含大于n 2得质数P 的平方2P 的因子，也不含适于n P n <<32的质数P 的因子，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n 2中i P 的方次为r P n P n rm mi m i ≤-∑=1])[2]2([, 则有∏∏∏∏∏∏≤<≤<≤≤<≤<≤≤≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nP n nP n nP nP n nP n nP rP P n P P P n n 2322223222)2(2 （3.1-3）根据（3.1-1）式和（3.1-2）式有∏∏∏∏∏≤<≤<+≤<≤<≤<≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛<nP n nP n n n P n nP n n P n P P n P P n n n n n 232212232222)2(22222）（（3.1-4）当102≥n )50(≥n 时（3.1-3）式由（3.1-4）式有∏∏∏≤<+<<≤<+<<nP n n n nP n nP n n nP n P P n 2341223221222)2(22）（（3.1-5）若在n 与n 2之间无质数存在的话，则由（3.1-5）式有n n nn 341222)2(2+<两边同时除以n 342有1232)2(2+<n n n ，取两端3次方有1232)2(2+<n n n （3.1-6）假若50,102≥≥n n ，解（3.1-6）式成立的范围： 取（3.1-6）式两边的对数有)12(3)2log(22log +⋅<⋅n n n ，即)2log(2log 2312n n n ⋅<+ （3.1-7）设0n 为（3.1-7）式化为等式时的n 值，即)2log(164.2)2log(2log 23120000n n n n ⋅=⋅=+ （3.1-8）令00n x =，将（3.1-8）式化为联立方程：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=+=)2log(164.212x y x x y （3.1-9） 在直角坐标系中，以（3.1-9）式中的两个方程分别作图像，可见两个图像相交于点0x 在465至470范围内，现取466=n 时有 932222=n ， （3.1-10） 和 586.94)1932(3)12(3932932)2(==++n n ，（3.1-11） 设 a 2932586.94=， 取该式两边对数有log2a log93294.586⋅=⋅ 108.9332log 932log 586.94=⋅=a ，则（3.1-11）式有108.933586.94)12(32932)2(==+n n ， （3.1-12）由（3.1-10）、（3.1-12）式有108.933)12(393322)2(22=<=+n n n ，（3.1-13） 当467=n 时，同样有369.934)12(393422)2(22=<=+n n n ， （3.1-14）当468=n 时，同样有63.935)12(393622)2(22=<=+n n n ， （3.1-15）⋅⋅⋅故由（3.1-13）至（3.1-15）式可知，当467<n 时（3.1-6）式成立；468≥n 时，（3.1-6）式不能成立，故当468≥n 时，必有质数P 适合于n P n 2<<； 当467≤n 时有如下质数：2，3，5，7， 13，23，43，83，163，317，631 （3.1-16）等，后者均小于前者2倍．令P '为小于n 的最大质数，P 为大于n 的最小质数，则对任一)4671(≤≤n n 均可在（3.1-16）中取得其质数P ，而适合于n P P n P 22≤'≤<≤'，即定理得证．3.2 幼拉托斯展纳筛法[1]任给一个正整数N ，可以按照下述方法求出一切不超过N 的质数：把不超过N 的一切正整数按大小关系排成一串1，2，3，4，⋅⋅⋅，N ．首先划去1，第一个留下的是2，它是一个质数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，⋅⋅⋅， N ．其次,从2起每隔一位划去一数,这样就划去了2的一切倍数,1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，⋅⋅⋅，N ．第一个留下未划去的是3，它不是2的倍数，因此是一个质数．然后从3起每隔两位划去一数，所划去的数是),2,1(33 =+m m ，它们是3的一切倍数（3本身除外）：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，⋅⋅⋅，N ．第一个留下未划去的是5，它不是小于它的质数（2及3）的倍数，因此它是质数．然后，从5起每隔415=-位划去一数，所划去的数是),3,2,1(55 =+m m ，也就是5的一切倍数（5本身除外）：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，⋅⋅⋅，N ．如此继续进行，所划去的都是合数，第一个留下的都不是比它小的质数的倍数，因此总是一个质数．用这种方法可以逐一地把质数求出来．这种方法是希腊时代幼拉托斯展纳发明的，它好像用筛子筛出质数一样，所以称为幼拉托斯展纳筛法．例3.2.1 9个连续的自然数（它们都大于80）中最多有多少个质数?解：大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9个连续的自然数中最多只有5个奇数，它们的个位应该为1，3，5，7，9．但是大于80且个位为5的数一定不是质数，所以最多只有4个数．验证101，102，103，104，105，106，107，108，109这9个连续的自然数中101、103、107、109这4个数均是质数．所以大于80的9个连续自然数中质数最多有4个．3.3 质数辐射法质数辐射法是为了制一个万以内的质数表，而不想用幼拉托斯展纳筛法而发现的一种更简单、更优越的方法．定义3.3.1[6] 为了求出自然数1至N 中的所有质数，先以最小的质数2为辐射源，乘以本身及辐射表里的存在数，其各个乘积的得数即为该质数2的辐射数，并把这些数从辐射表里去掉，质数2的辐射就算完成．然后，按顺序求出质数3，5，7，11，⋅⋅⋅等各质数的辐射数并相继从辐射表里去掉，直到满足需要为止．这种求质数的方法就叫质数辐射法．辐射表是以表格形式，其中每行中都有十个数，用 ，，21A A 表示；每列以B 标出，其标码是自然数个位数的数字．例如：1，11，21，31，41，51，⋅⋅⋅列入1B 列；2，12，22，32，42，52，⋅⋅⋅列入2B 列，以此类推．质数2的辐射表见表3-2[6]．表3-2 质数2的辐射数表质数辐射法是在一个辐射表里进行的，在划去几个质数的共同合数时，只在几个质数的最小质数中的辐射数中划去．例如：105这个数，它是质数3，5，7三个质数的辐射数，辐射法只在3的辐射数中划去就算完事．也就是说，105这个数只是3的辐射数，而不是5和7的辐射数．根据分别做出质数2，3，5，7，⋅⋅⋅的辐射表可以看出质数辐射数有以下性质： (1)质数2的辐射数全部集中在08642B B B B B ，，，，五个竖行里；质数3的辐射数在辐射表里是每隔两个数出现一次；质数5的辐射数只存在与5B 的竖行中；质数7的辐射数则是散落在辐射表里，以后各质数的辐射数则像质数7一样．只是随着质数的增大，辐射数间的间距也随之增大．(2)当质数2，3，5辐射后，辐射表里存留下来的数，除2B 中的2，5B 中的5外，全部集中在9731B B B B ，，，四个竖行里．(3)某质数的最小辐射数是该质数的平方数，最大辐射数是不存在的。
数学珍宝梅森素数：迄今人类仅发现47个
数学珍宝梅森素数：迄今人类仅发现47个10月13日消息，众所周知，素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。
这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
而17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2p-1”型的素数称为“梅森素数”。
迄今为止，人类仅发现47个梅森素数。
由于这种素数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。
梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
貌似简单探究极难梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。
它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
1772年，有“数学英雄”美名的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了231-1(即2147483647)是第8个梅森素数。
这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。
欧拉的顽强毅力与解题技巧令人赞叹不已；法国大数学家拉普拉斯说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”在“手算笔录”的年代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。
而计算机的产生加速了梅森素数探究进程。
1952年，美国数学家拉婓尔·鲁滨逊等人使用SWAC型计算机在短短的几个月内，就找到了5个梅森素数：2521-1、2607-1、21279-1、22203-1和22281-1。
探究梅森素数不仅极富挑战性，而且对探究者来说有一种巨大的自豪感。
1963年6月2日晚上8点，当第23个梅森素数211213-1通过大型计算机被找到时，美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。
人类迄今发现的最大素数，最纯粹的梅森素数
⼈类迄今发现的最⼤素数，最纯粹的梅森素数如果有⼈问，⼈类到⽬前为⽌研究进展最缓慢的领域是什么？别的学科，见仁见智。
但要是数学上的话，毫⽆疑问是对于素数的研究。
古⽼⽽⼜漫长，有⽆数⼈前赴后继去研究，然⽽，成果却真⼼是不多。
上古⼤神——欧⼏⾥得公元前300年，欧⼏⾥得最早研究了形如2N-1的素数，发现了这个性质：若2N-1是素数，则2N-1×(2N-1)是⼀个完全数。
这个性质⽤等⽐数列的求和公式很容易验证，也就是说只要找到新的梅森素数，新的完全数也就诞⽣了。
后来⼈们⼜发现了⼀个性质：若2N-1是素数，则N必定为素数。
我中学时代也曾经琢磨过这个问题，其实这个问题⽤因式分解就可以证明：这个命题的逆命题却不⼀定成⽴，事实上，假如逆命题也成⽴的话，那么素数的秘密恐怕在⼏百年前就基本上揭露殆尽了。
但是当N等于某⼀些素数的时候，2N-1却真的可以是素数。
马林·梅森（1588-1648）费马⼤法官在17世纪对于形如这样的素数做了不少研究，马林·梅森在欧⼏⾥得，费马的研究基础上对这样形式的素数做了⼤量系统性的研究，如此形式的素数也被称作梅森素数。
1644年，梅森在⼀本著作《物理数学随感》中⼤胆断⾔：在不⼤于257的素数中，当p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时，2N-1是素数，其它都是合数。
之前费马数的研究历史中，我们发现，历史上凡是关于可能构造出素数的猜想都会极⼤地吸引⼈们的研究热情，梅森素数也不例外。
⼏百年前，只能靠⼿算，这是要花费多⼤的⼼⾎！伟⼤的欧拉在1772年，时年65岁，在双⽬失明的情况下，⼼算验证了M(31)是素数，这个数有10位，是当时已知的最⼤素数。
梅森的猜想其实并不完全正确，⼈类在1922年终于⼿动验算了梅森提出的所有p值。
哪⾥都有你——欧拉⼤神⼿动验算的年代⾥发⽣过⼀件趣事，这是关于M(67)的素性检验。
1903年，美国数学家柯尔在美国数学家⼤会上做了⼀次简短，精彩的报告。
小学奥数质数与合数（一）精选例题练习习题（含知识点拨）
小学奥数质数与合数（一）精选例题练习习题（含知识点拨）1.掌握质数与合数的定义 2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题 3.能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用一、质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.二、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q (均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=?，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.模块一、判断质数合数【例 1】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【例2】著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。
五年级奥数.数论.质数与合数(A级).教师版
淘气的数字“3”小3 走路从都不好好走。
他走起路来连蹿带蹦，饿时身体往前走眼睛却往后瞧。
这一次，小3又歪着脑袋一溜烟地往前跑，“咚的一声和一位白胡子老爷爷撞了个满怀。
白胡子老爷爷于；“小3 ，你又到处乱跑，撞了车碰了人多不好。
”小3 不以为然地说：“撞一下没事，到处跑一跑多自地呀！”“没事？从现地起你再撞着谁，异将和谁作一次乘法，不信，你异撞去吧。
”白胡子老爷爷用手指了一下小3，异不见了。
“撞着谁就和谁作一次乘法？嘻嘻，这倒挺好玩，我要撞一撞，试一试。
”小3 说完就往前跑。
远远看见数2坐地一块石头上，小3低头朝数2猛撞过去。
只听“咚”的一声响，地上冒起一股白烟。
白烟过后数2没了，小3也没了，坐地石头上的却是数6，小3呢？原来小3和数2 被一个乘号“×”紧紧箍地一起，变到数6的肚子里去了，2×3=6.数6站起来拍了拍裤子上的土，朝偶数村走去。
小3 一看数6往偶数村走，就着急了。
他喊道：“不对，走错方向了，我不住地偶数村，我是奇数，我住地奇数村。
”数2说；'你嚷嚷什么！谁让你撞我，和我作乘法来着。
任何一个奇数只要和我数2相乘，立刻就变成偶数。
”小3 惊奇地说：“你那么厉害？如果偶数和你作乘法呢？”“偶数和我数2相乘，当然还是偶数。
一句话，任何一个自然数和我相乘，都将变成为偶数。
” 小3 唉求说：“数2帮帮忙，你是偶数，我是奇数，咱俩没关系，咱俩一起使劲，挣脱开这个乘号吧。
” 数2摇摇头说：“不对！谁说咱俩没关系？你好好想一想，你小3 除了是奇数，还是什么数？”课前预习质数合数小3 想了一下说：“我除了是奇数，还是个质数。
你知道什么是质数吗？质数就是除了能被1和它本身整除外，再不能被其他自然数整除的那种自然数。
1除外，1不算质数。
” 数2说？“我也是质数呀，和你是一家子。
”“骗人！我有许多质数朋友，比如5、7、11等等都是奇数。
你数2 是偶数，怎么会是质数呢?”“是不是质数，应该用质数的定义来衡量。
求证相对最大的质数
求证相对最⼤的质数求证相对最⼤的质数寻找最⼤质数越来越成为数学界的热点，科学家们认为，对于梅森素数的探寻能⼒如何，已在某种意义上标志着⼀个国家的科技⽔平。
成千上万的志愿者利⽤⾃⼰计算机的空余处理能⼒找到了迄今为⽌发现的最⼤质数。
这个数字的位数超过了630万个，它是“梅森质数⼤寻找”(GIMPS)项⽬寻找到的第6⼤数字，两年前，这个组织找到的最⼤的质数的位数有400多万个。
梅森质数⼤寻找组织透露，这个数字四由密歇根⼤学26岁的Michael Shafer的计算机发现的。
这台机器是⼀台配备了2GHzPentium 处理器的戴尔电脑，6万多名志愿者，21.1万台电脑参与了这个项⽬。
梅森质数⼤寻找和SETI@home侦查外星⽆线电信号的⼯作⽅式类似，都是利⽤个⼈计算机集中进⾏研究。
设在美国的电⼦新领域基⾦会为寻找梅森质数开出了“悬赏⾦”，最少也有10万美元——180多个国家和地区超过22万⼈参加了“因特⽹梅森质数⼤搜索”（GIMPS）国际合作项⽬，动⽤了40多万台计算机联⽹来进⾏⼤规模“搜捕”。
什么是梅森质数？梅森质数为何那样⽕爆？梅森数(Mersenne number)是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是质数，常记为Mp 。
若Mp是质数，则称为梅森质数(Mersenne prime)。
p＝2，3，5，7时，Mp都是质数。
已发现的最⼤梅森质数是p＝43,112,609的情形，此时 Mp 是⼀个12,978,189位数。
如果⽤普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公⾥！是否有⽆穷多个梅森质数是数论中未解决的难题之⼀。
没有⼀个确定的公式能够证明相对最⼤的质数，因为，如果有这样公式，我们就没有必要⽤那么细的筛算法处理那么多数去计算质数表了。
计算梅森质数表明：2^2―1=3, 2^3―1=7, 2^5―1=31, 2^7―1=127, 2^11―1=2047, 2^13―1=8191,2^17―1=131071, 2^19―1=524287, 2^23―1=8388607,……其中2047和8388607不是质数, 因为, 笔者⼿头只有100000000⾃然以内的质数表, 所以, 不能证明质数⼤于P>23的梅森质数都是质数. ⾄于那个12,978,189位的质数, 是没有确定的物理含义的质数。
为什么数学家们一直在寻找新的更大的质数
为什么数学家们一直在寻找新的、更大的质数？2021年，伟大的互联网梅森素数搜索有了一个标志性的发现——它发现了人类已知的最大素数，也就是23249425位长。
是的，最大的素数有2300万位！老实说，在写这篇文章之前，我不知道最大的素数是多大。
在我最初的震惊反应消退后，我想到的第一个问题是：怎么可能？然而，当我询问并询问周围时，我意识到这个问题毕竟不是那么愚蠢。
让我们从头开始吧。
什么是素数？您可能已经在小学学过素数，但我们快速回顾一下。
素数只有两个因子，即它可以完全除以两个数字：1和它自己。
例如，17是素数，因为在整个广义世界中只有两个数：1和17可以完美地除17，这是最小素数的列表：阴影框中的数字是素数。
确定给定数字是否为素数对于较小的数字来说相当简单，但随着数字越来越大，确定它是否为素数变得越来越困难。
对于非常大的数字，他们使用每秒运行数千次计算的特殊计算机来确定这些数字的“主要”状态。
考虑到这些，你有没有想过为什么数学家和数学爱好者继续寻找新的，更大的素数？这有什么意义呢？寻找新的方法和技术寻找新的、更大的素数，其最大的意义是它能够提供宝贵的学习经验。
不言而喻，编写程序和算法来发现新的素数并不是一件好事。
首先发现最大的素数需要很长时间。
找到最大的素数时，你一定会学到很多关于素数的新东西。
你最终可以发现的可能不仅仅是最大的素数！技术追求考虑一下：最大的素数是2300万位数。
现在，当你处理这么大的数字时，你必须开发出能够有效地操纵这些巨大数字的新算法。
一旦开发出这些新颖的程序和算法，它们就可以用于其他研究领域。
寻找最大的素数不是真正的数学追求，而是许多人的科学或技术追求。
如果你只考虑最大的素数本身并没有多大意义。
但是，如前所述，找到这个数字很困难……非常困难。
所以，如果你开发出一种可以做到这一点的“工具”，我敢打赌，这个工具可以完成许多其他令人惊奇的事情，这可能对更广泛的人类有很大的帮助。
兴趣这种追求和突破总是有助于引起在数学领域工作的普通民众的兴趣。
专题二 质数与合数
专题七 质数与合数姓名一、内容概述1.定义质数：只有1和其本身两个正因数的自然数称为质数（又称素数）。
例如：2，3，5等。
合数：正因数多于两个的自然数称为合数。
例如：4，6，8，9等。
这样，就可把全体非零自然数（正整数）分为三类：1，质数和合数。
2.性质1）质数的性质、结论a) 质数只有1和本身两个正约数；b) 2是质数中最小的一个，也是质数中唯一的一个偶数；小于100的质数有如下25个：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
c) 如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；d) 如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2；e) 质数必有无限个；f) 若质数p 满足p|ab ，则p|a 或p|b ；g) 若正整数a, b 的积为质数p ，则一定是p=a 或p=b ；h) 若a 是一个大于1的正整数，则a 的大于1的最小正因数p 一定是质数；i) 若p 是质数，则对任一正整数a ，或者p|a ，或者（p ，a ）=1；j) 形如4n-1（n 为正整数）的质数有无穷多个。
2）合数的性质a) 任何合数都可以分解为几个质数的积；b) 能写成几个质数的积的正整数就是合数。
c) 最小的合数是4。
3）算术基本定理每一个大于1的自然数n ，必能写成以下形式: A=p 1a1p 2a2…p r ar ，这里的p 1，p 2，…，p r是质数，a 1，a 2，…，a r 是自然数。
如果不考虑p 1，p 2，…，p r 的次序，那么这种形式是唯一的。
一、知识要点1、 完全平方数及其性质定义1 如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。
如：1、4、9、…等都是完全平方数，完全平方数有下列性质：性质1 任何完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9中的一个。
性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。
关于质数的冷知识
关于质数的冷知识质数是指除了1和自身之外没有其他因数的自然数。
在数学中，质数是一个重要的概念，它们具有许多有趣的性质和冷知识。
本文将带您探索一些关于质数的冷知识。
1. 质数的定义质数是指只能被1和自身整除的自然数。
例如，2、3、5、7、11等都是质数。
质数与合数相对，合数是指除了1和自身之外还有其他因数的自然数。
2. 质数的无穷性质数的数量是无穷的。
这一结论是由古希腊数学家欧几里得在公元前300年左右提出的。
欧几里得证明了如果假设质数的数量是有限的，那么就可以通过将所有质数相乘再加1得到一个新的质数，从而推翻了假设。
3. 孪生质数孪生质数是指相差2的一对质数，如(3, 5)、(11, 13)、(17, 19)等。
孪生质数之间的差恰好是2，但它们之间的质数对越往后越少。
至今为止，最大的已知孪生质数对是(2996863034895, 2996863034897)。
4. 质数的密度质数的密度是指在一定范围内质数的数量与该范围内的整数数量之比。
根据素数定理，当范围趋向无穷大时，质数的密度趋近于1/ln(n)，其中ln(n)是自然对数。
这意味着质数在整数中的分布是相对稀疏的。
5. 质数的分布规律质数的分布并不是完全随机的。
根据素数定理，质数在一定范围内的分布近似于n/ln(n)，其中n是该范围的上限。
这意味着较大的数中质数的间隔会越来越大。
6. 素数定理的推广素数定理是一个重要的数论定理，它描述了质数的分布规律。
然而，素数定理并不是唯一的关于质数分布的定理。
例如，黎曼猜想是一个更深入的猜想，它描述了质数分布中的更精确的模式。
7. Mersenne质数Mersenne质数是指形如2^n-1的质数，其中n是一个自然数。
这种形式的质数在数学中具有重要的地位。
截至目前，已知的最大Mersenne质数是2^82,589,933-1，它于2018年12月被发现。
8. 质数的应用质数在密码学、编码理论、随机数生成等领域有着广泛的应用。
质数有无穷多个证明
质数有无穷多个证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：质数是自然数中最基本的数，它只能被1和自身整除，而无法被其他数整除。
质数具有很多独特的性质，其中最为著名的就是质数有无穷多个这个性质。
这个性质是由希腊数学家欧几里德在公元前三世纪发现的，被称为欧几里德的证明。
今天我们来了解一下质数有无穷多个的证明方法。
欧几里德的证明方法是通过反证法来证明质数有无穷多个。
反证法是一种非常常用的数学证明方法，通常是假设所要证明的结论为假，然后推导出矛盾，从而证明所要证明的结论为真。
对于质数有无穷多个这个问题，我们可以假设质数只有有限个，然后推导出矛盾，从而证明质数有无穷多个。
假设质数只有有限个，那么我们可以将这有限个质数依次列出，比如2,3,5,7等等。
我们可以用这些质数来构造一个新的数，这个数是所有这些质数的乘积再加1，即2*3*5*7+1=211。
我们可以发现，这个新构造的数211，在质数列表中并不存在，因为它不能被任何一个质数整除。
接下来，我们考虑这个新构造的数211。
根据质数的定义，任何一个大于1的数，要么是一个质数，要么可以分解成若干个质数的乘积。
而这个新构造的数211不能被任何一个质数整除，说明它本身是一个质数。
这就导致了一个矛盾：我们设定质数有限个，但通过构造，我们却得到了一个新的质数211，这与我们的假设相矛盾。
通过上面的推导，我们可以得出结论：假设质数只有有限个是错误的，质数有无穷多个。
这就是欧几里德的证明方法。
这个证明方法简洁而又巧妙，展示了数学的美妙之处。
还有一些其他的方法可以证明质数有无穷多个。
其中比较著名的是基于素数定理的证明。
素数定理是数论中一个非常重要的定理，它描述了质数的分布规律，即随着数值的增大，质数的密度越来越小。
根据素数定理，我们可以证明质数有无穷多个。
这个证明方法更加直接和数学化，是数论中的一个重要成果。
质数有无穷多个这个定理是数学中一个重要而又经典的结论。
欧几里德的证明方法通过反证法展示了数学证明的精妙之处，而基于素数定理的证明则更加直接和严谨。
趣味数学故事：互联网梅森素数大搜索
趣味数学故事：互联网梅森素数大搜索趣味数学故事：互联网梅森素数大搜索2019年4月6日，住在美国密歇根州普利茅茨的那扬·哈吉拉特瓦拉(Nayan Hajratwala)先生得到了一笔五万美元的数学奖金，因为他找到了迄今为止已知的最大素数，这是一个梅森素数：26972593-1。
这也是我们知道的第一个位数超过一百万位的素数。
精确地讲，如果把这个素数写成我们熟悉的十进制形式的话，它共有两百零九万八千九百六十位数字，如果把它以这个形式写下来，大约需要150到200篇本文的篇幅。
可是哈吉拉特瓦拉先生并不是一个数学家，他甚至很可能对寻找素数的数学理论一无所知--虽然这使他赢得了这笔奖金。
他所做的一切，就是从互联网上下载了一个程序。
这个程序在他不使用他的奔腾II350型计算机时悄悄地运行。
在经过111天的计算后，上面所说的这个素数被发现了。
二、梅森素数我们把一个大于1的自然数叫作素数，如果只有1和它本身可以整除它。
如果一个比1大的自然数不是素数，我们就叫它合数。
1既不是素数，也不是合数。
比如说，你很容易就可以验证7是一个素数；而15是一个合数，因为除了1和15外，3和5都可以整除15。
根据定义，2是一个素数，它是唯一的偶素数。
早在公元前三百年完美数；我们只要找到所有形如2p-1的素数，也就找到了所有偶完美数。
所以哈吉拉特瓦拉先生不但找到了世界上已知的最大的素数，还找到了世界上已知的最大的偶完美数。
嗯，你要问，关于奇完美数又是怎么样的情况？回答是：我们现在连一个奇完美数也没有找到过，我们甚至根本不知道是不是有奇完美数存在。
我们只知道，要是有奇完美数存在的话，它一定是非常非常大的！奇完美数是否存在这个问题，也是一个上面所说的既简单又美丽，但是极为困难的著名数学问题。
有很长一段时间人们以为对于所有素数p，M_p=2p-1都是素数（注意到要使2p-1是一个素数，p本身必须是一个素数，想一想为什么？）但是在1536年雷吉乌斯(Hudalricus Regius)指出，M_11=211-1=2047=23*89不是素数。
质数概论
质数概论质数，又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1和本身两个因数的数）。
比1大但不是素数的数称为合数。
1和0既非素数也非合数。
素数在数论中有着很重要的地位。
基本介绍就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外没有别的约数，这种整数叫做质数，质数又叫做素数。
这终规只是文字上的解释而已。
能不能有一个代数式，规定用字母表示的那个数为规定的任何值时，所代入的代数式的值都是质数呢?质数的分布是没有规律的，往往让人莫名其妙。
如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301(7*43)和901(17*53)却是合数。
有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。
这个式子一直到n=39时，都是成立的。
但n=40时，其式子就不成立了，因为40^2+40+41=1681=41*41。
被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马，也研究过质数的性质。
他发现，设Fn=2^(2^n)，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大(F5=4292967297)，他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。
但是，就是在F5上出了问题!费尔马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=4292967297=641*6700417，并非质数，而是合数。
更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。
目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。
现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。
这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。
质数和费尔马开了个大玩笑!17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式，当p是质数时，2^p-1是质数。
质数有无穷多个证明-概述说明以及解释
质数有无穷多个证明-概述说明以及解释1.引言概述部分应该简要介绍本文的主题和内容，以及其在数学领域中的重要性。
以下是对1.1部分的一个概述示例：1.1 概述质数是自然数中的一个重要概念，它只能被1和自身整除的数。
质数的研究自古以来一直是数学领域的热门话题之一。
质数有无穷多个的问题，已经成为数论中的一个著名问题。
本文将深入探讨质数有无穷多个的证明方法，旨在为读者展示不同数学家们提出的证明思路和技巧。
本文的结构如下：首先，我们将从质数的定义与性质入手，回顾并理解质数的基本概念。
然后，我们将概述质数的历史发展，介绍一些重要的数学家对质数问题的贡献和思考。
接下来，我们将详细探讨质数无穷多个的证明方法，包括不同证明思路的比较和分析。
最后，我们将总结这些证明方法，讨论质数无穷多个的证明在数学领域中的意义与影响，并展望质数研究的未来发展方向。
通过阅读本文，读者将可以更全面地了解质数的定义、性质和历史发展，深入理解质数无穷多个的证明方法，并思考质数研究在数学领域中的重要性和未来的研究方向。
本文旨在为读者提供有关质数的基础知识和研究进展，激发他们对数学的兴趣和探索欲望。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行讨论和论证：（1）引言：在本部分中，将对质数的概念进行简要的概述，并介绍质数在数学中的重要性。
同时，也会介绍本文的结构和目的，为接下来的内容做出铺垫。
（2）正文：本部分将分为三个小节来进行讨论和论证。
- 2.1 质数的定义与性质：本小节将详细介绍质数的定义以及其基本性质，包括不能被其他数整除、只能被1和自身整除等。
这一部分将为后续的证明铺垫基础。
- 2.2 质数的历史发展：在本小节中，我们将回顾过去数学家们对质数无穷多个的讨论和证明。
从古希腊数学家欧几里得的证明方法到现代数学的发展，将展示质数无穷多个的证明在数学历史中的重要性。
- 2.3 质数无穷多个的证明方法：本小节将重点探讨现代数学家对质数无穷多个的不同证明方法。
质数的起源(Word最新版)
质数的起源通过整理的质数的起源相关文档，渴望对大家有所扶植，感谢观看！质数探祕前言在小学阶段，探讨最大公因子和最小公倍数的单元时，对于质数觉得很难推断，而且很简洁找错，所以想知道以前的人是用什么方法找出来的，而且渴望藉此可以让质数这个单元变得好玩一点，让学生学到质数的好玩及奥妙。
首先，会先介绍质数的起源，看质数是由谁发觉，以前的数学家对它有什么评价，渴望藉此让学生知道质数的重要性。
再来藉由介绍埃拉托散尼，让学生知道埃拉托散尼晚期因为无法忍受不能读书的苦痛，竟绝食而死，渴望藉此多激励学生要把握能够读书的时候，再来介绍埃拉托散尼独创找寻质数的方法---埃拉托散尼筛，介绍完毕也让小挚友学学他的作法去找找质数，并找找看有什么好玩的性质。
接着将介绍哥德巴赫的猜想--每一个偶数是两个质数之和（要依学生程度而确定是否是用此学习单），在介绍中国数学家陈景润于1966年证明的陈氏定理--任何特殊大的偶数都是一个质数与一个整数之和，而那个整数是两个质数的乘积，可表示为1 + 2 的形式，然后让孩子写出几个符合哥德巴赫猜想的式子，也可以利用此方式带孩子玩宾果嬉戏。
接着介绍质数好玩的现象，第一个：介绍孪生质数和三生质数（要依学生程度而确定是否是用此学习单），也可让学生找找孪生质数和三生质数；其次个：乌兰现象--质数犹如有一个规则的排列，（要依学生程度而确定是否是用此学习单），也让学生动手找找看是否有此规律；第三个：美丽的质数--介绍一些好玩的质数现象，也让学生在生活周遭看有没有发觉到什么状况也符合质数的规律。
教学探源单元逻辑：在此单元之前，须要娴熟基本的乘法，多位数乘以一位数且多位数除以一位数等，渴望藉由此单元相识质数，可以顺当判别质数，进而在以后的正整数的质因数分解会比较简洁理解，甚至运用至约分做最简分数的计算。
历史：中国古代数学家把质数叫做“数根”，意思是数的根本，渴望学生知道质数才是最基本的数，因为任何整数要不就是质数，要不然就是几个质数的积。
已知最大质数
已知最大质数
摘要：
一、质数的定义与性质
1.质数的定义
2.质数的性质
二、已知的最大质数
1.什么是已知的最大质数
2.为什么它是已知的最大质数
三、寻找更大的质数
1.为什么需要寻找更大的质数
2.目前寻找更大质数的方法和挑战
四、质数在数论中的应用
1.质数在密码学中的作用
2.质数在其他数论问题中的应用
正文：
一、质数的定义与性质
质数，又称素数，是大于1 的自然数中，除了1 和它本身以外不再有其他因数的数。
质数具有一些独特的性质，例如：所有的质数都是奇数或偶数，并且任意两个质数之间至少相差2。
二、已知的最大质数
目前已知的最大质数是2^77,232,917 - 1，这是一个拥有23,249,425
位数字的超级大质数。
这个数于2018 年2 月13 日由一个名为“GIMPS”的项目发现。
之所以说它是已知的最大质数，是因为至今还没有找到比它更大的质数。
三、寻找更大的质数
寻找更大的质数对于密码学和数论等领域具有重要意义。
例如，在密码学中，质数可以作为公钥和私钥的基础，实现安全通信。
然而，随着数字的增大，寻找质数的难度也越来越大。
目前，研究人员正在尝试使用分布式计算、人工智能等技术来加速寻找更大质数的进程。
四、质数在数论中的应用
质数在数论中有着广泛的应用，例如：质数在欧拉定理、费马小定理、拉格朗日插值法等问题中发挥着关键作用。
此外，质数在密码学中也具有重要意义，例如：RSA 加密算法就是基于质数的因式分解问题来实现的。
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美数学家发现目前已知最大质数共1300万位据国外媒体报道加州大学洛杉矶分校数学专家组发现
了长达1300万位数的质数，这个质数是目前已知的最大质数。
据报道，这个长期寻求的里程碑式的成就将使得他们有资格拿到10万美元的奖金。
这个数学研究小组在上个月用75台电脑同时联网运行，发现了第46个梅森素数。
这个数字通过另一台计算机用不同的算法得到验证。
“我们很高兴，”专家小组的组长爱得森史密斯说，“现在我们将寻找下一个最大的质数，不管成功的几率有多大。
”
这是在加州大学洛杉矶分校发现的第八个梅森素数。
质数就是那些只能被一和它们本身整除的数，象3，7，11这些数。
一个数只有1和它本身两个约数，叫质数，几个世纪以来，人们一直在不断寻找最大的质数。
1588年出生的一位法国神甫马丁梅森(MarinMersenne,)提出一个可能构成一部分质
数的公式：Mp＝2p-1，这里的p是个普通的质数。
就是形如2"p-1的正整数，其中p是素数。
新发现的素数，它的p值为43,112,609。
现在的质数大寻找项目就是以他的名字命名。
目前，全世界的很多人都已经加入到这项伟大的因特网梅森素数搜索或GIMPS(搜索梅森素数的分布式网络计算)中，GIMPS是一种合作社系统，在这个系统中，计算机的作用被
充分利用起来，用来发现和验证梅森素数。
这10万美元的奖金是由ElectronicFrontierFoundation(电子前沿基金会)给他们提供，因为他们发现了第一个超过1000万位数的梅森素数。
基金会为了促进人们利用网络联合起来计算而在网上支持个人权利并且设立了有关质数的奖金。
当新的质数被发现时，这笔奖金又会被获得，也许就在下一年。