2015年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及答案
2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及解答2
2016年清华大学领军计划数学测试题1．椭圆22221x y a b +=，两条直线1l ：12y x =，2l ：12y x =-，过椭圆上一点P 作两条直线的平行线，分别与两条直线交于M ，N 两点，若||MN =（ ）.A .B .C 2 .D2．已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程11112x y z ++=的解有（ ）组 .A 8 .B 10 .C 11 .D 123．将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入44⨯的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有______种填法.接下来填数，故共有887844⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭种填法.4．对于复数(0)z z ≠，10z 和40z的实部和虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形面积为_______.5．下列计算正确的是（ ）.A tan1tan 61tan1213tan1tan 61tan121++=.B tan1tan 61tan1213tan1tan 61tan121++=-.C tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++= .D tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++=-6．从1~14的正整数中任选出若干数构成一个集合，该集合中任3个数不构成等差数列，求元素最多的集合的元素个数.7．已知3tan 4α=，求值sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos ααααααααααα+++.8．一堆数乘在一起有很多种乘的顺序，如三个数,,a b c 可以有()ab c ，()ba c ，()c ab ，()c ba 四种不同的乘法，记n 个数的乘法为n I ，则（ ）.A 22I = .B 312I = .C 496I = .D 5120I =9．,,a b c R ∈，22211a b c a b c ⎧++=⎨++=⎩，那么（ ）.A max 23a =.B max ()0abc = .C min 13a =- .D max 4()27abc =-10．AB 为圆O 的一条弦，P 为圆O 上一点，OC AB ⊥，PA OC M =，PB 交OC 延长线于N ，则以下结论正确的是（ ）.A OMBP 共圆 .B AMBN 共圆 .C AOPN 共圆 .D AOBN 共圆11．F 为BC 中点，1114A E AA =，正方体1111ABCD ABCD -棱长为1，中心为O ，则O BEF V -=（ ）.A 17144 .B 1738 .C 11144 .D 113812．问一个正2016边形，任选顶点顺序相连构成的凸多边形中，正多边形有（ ）个 .A 6552 .B 4536 .C 3528 .D 2016O PAMBN13．求不定方程26152yx +=*(,)x y N ∈解的个数（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 314．O 在ABC ∆内，::4:3:2S AOB S BOC S AOC ∆∆∆=，AO AB AC λμ=+，则λ=____，μ=_____.15．22cos sin 33z i ππ=+，求2322z z z z +=++_______.16．在N 项有穷数列{}n a 中，满足①1i j N ≤<≤时，i j a a <；②1i j k N ≤<<≤时，i j a a +，i k a a +，j k a a +至少有一项在{}n a 中，则N 的最大值为______.17．22120()(1sin )n n x x dx ππ--+=⎰______.18．2|1|||z z +=，求||z 的范围和arg z 的范围.19．在正三棱锥P ABC -中，ABC ∆的边长为1，设P 到平面ABC 的距离为h ，当h 趋近于正无穷时，异面直线AB 与CP 之间的距离为_____.20．,,x y z 均为非负实数，满足2221327()(1)()224x y z +++++=，则x y z ++的最大值为______，最小值为______.21．实数22322()4x y x y +=，则22x y +的最大值为______.22．2()()xf x x a e =+有最小值，则220x x a ++=的解的个数为______.23．11a =，22a =，216n n n a a a ++=-，下列叙述正确的是（ ）.A 212n n n a a a ++-为定值 .B 2(mod 9)n a lor ≡.C 147n n a a +-为完全平方数 .D 187n n a a +-为完全平方数24．已知抛物线E ：24y x =，(1,0)F ，过F 作弦交E 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）.A 以AB 为直径的圆与32x =-始终相离 .B ||AB 的最小值为4.C ||AM 的最小值为2 .D 以BM 为直径的圆与y 轴有且仅有一个交点25.对于函数21y x =-和ln y x =，下列说法正确的事 .A .二者在(1,0)处有公切线B .二者存在平行切线C .两者只有一个交点D .两者有两个交点26.p 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ,2F 为左右焦点，下列说法正确的是 .A .a =时，满足1290F PF ∠=的p 点有2个B .a >时，满足1290F PF ∠=的p 点有4个C .124PF F C a <D .1222PF F a S ≤27.随机变量ξ的分布列为()(1,2,,10)k P k a k ξ===，则下列说法正确的是 .A .若1210,,,a a a 成等差数列，则5615a a += B .若1210,,,a a a 满足1(1,2,,9)2n na n ==，则10912a =C .若2()k P k k a ξ≤=，则11(1,2,,10)10(1)n na n n ==+D .若1(1)n n na n a +=+，则1110(1)n na n =+28.甲，乙，丙，丁四人参加比赛并有两个获奖，以下是四人对获奖人的猜测： 甲：获奖者在乙，丙，丁中 乙：我未获奖，丙获奖 丙：甲丁有一人获奖丁：乙说的是正确的已知四人中有两个人的猜测是正确的那么获奖人是 . 解析，若乙对，则丁对，甲对，故乙错，29.下列能够成唯一ABC ∆的是 .A .1a =，2b =，c Z ∈B .150A =，sin sin 2sin sin a A cC a C b B ++= C .cos sin cos cos()cos sin 0A B C B C B C ++=D .3a = ，1b =，60A =30甲，乙，丙，丁四个人进行网球赛规定甲乙一组，丙丁一组先打，胜者再打决胜局，四人相互对战对战时胜率如图，求甲获胜的概率为 .31.已知实数a ，b ，c 满足1a b c ++=414141a b c ++++间（ ）..A (11,12) .B (12,13) .C (13,14) .D (14,15)32. sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++为ABC 为锐角形的（ ）..A 充要非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件33.已知集合12{,,,}n A a a a =，任取1i j k n ≤<<≤，i j a a A +∈，j k a a A +∈，k i a a A +∈这三个式中至少有一个成立，则n 的最大值（ ）..A 6 .B 7 .C 8 .D 92016年清华大学领军计划数学测试题解答1．椭圆22221x y a b +=，两条直线1l ：12y x =，2l ：12y x =-，过椭圆上一点P 作两条直线的平行线，分别与两条直线交于M ，N 两点，若||MN=（ ） .A .B .C 2 .D 【解析】C法1：设(cos ,sin )P a b θθ，OP ON NP =+，MN ON NP =-,1l 方向向量11(1,)2e =，21(1,)2e =-，1ON ne =，2NP me =，12OP ne me ∴=+cos sin 22n m a n mb c θ-=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩ (,)(2sin ,cos )21222n m a aMN m n b b θθ-=+=⇒== 法2：设00(,)P x y ，可得0000111(,)242M x y x y ++，0000111(,)242N x y x y --+，||MN =为定值，所以2241614a b==2=. 注（1）若将这两条直线的方程改为y kx =±1k=； （2）两条相交直线上各取一点M ，N ，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或者椭圆. 2．已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程11112x y z ++=的解有（ ）组 .A 8 .B 10 .C 11 .D 12【解析】法1、列举法.○111112666=++，○211131212++，○3 111488++，○41111055++，○51113918++ ○61113824++，○71113742++，○81114612++，○91114520++，○1011131015++ 法2、x 最小，1x∴最大，36x ∴≤≤，x 以3,4,5,6分类讨论当3x =时，可得11111236y z +=-=，通分可得66y z yz +=，因式分解可得(6)(6)36y z --=，此时需要对36进行分解，则361362183124966=====，故可得37423824(,,)39183101531212x y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，同理当4x =时，4520(,,)4612488x y z ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当5x =时，[](,,)5510x y z = 当6x =时，[](,,)666x y z =3．将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入44⨯的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有______种填法.【解析】我们将题目稍作变形，将本题变为①在44矩阵中染色，黑白二色，要求每行每列正好有两个黑色；②将数字填入这些色块第一步，我们在第一列涂上两个黑色，为方便起见，我们用#代表黑色，用O 代表白色第一列涂两个黑色如图所示##O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样有42⎛⎫ ⎪⎝⎭种涂法，接下来我们研究第二层，分三种情况涂色：第一种####O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样的涂法有1种，并且下面两行只有########O O O O O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这1种涂法、 第二种####O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样的涂法有4种，下面的话有########O O O O O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦、########O O O O O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这2种，所以第二种共有42种涂法第三种####O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样的涂法有1种，下面的涂法有224=种，所以第三种有14种涂法， 故共有78种涂法接下来填数，故共有887844⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭种填法.方法二、首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有24C 种选择，下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填一个偶数，设为a ，b 情形一：若a ，b 位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定.情形二：若a ，b 位于不同的两行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择.所以偶数的不同位置数为24(362)90C ⋅+⋅=种，因此总的填法数位为448890441000C C ⋅⋅=.4．对于复数(0)z z ≠，10z 和40z 的实部和虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形面积为_______. 【解析】(田)z 与1z的角相等，设为θ，设||z r =，则cos sin 101010z r ri θθ=+⋅，404040cos sin i z r r θθ=+⋅，(cos ,sin )P r r θθ，令cos a r θ=，sin b r θ=，则有10a ≥，0b ≥○1，22140a a b ≥+，22140b a b ≥+222(20)20a b ⇒-+≤○2，222(20)20a b +-≤○3 即为阴影面积S ，1002(503150)3S π=+-(第一可以用积分的方法，第二可以用面积的方法)方法二：设z x yi =+，其中,x y R ∈.由于24040||zz z =，于是 22221,1101040401,1x y y x y x y ⎧≥≥⎪⎪⎨⎪≥≥++⎪⎩如图 弓形面积为2110020(sin )1002663πππ⋅⋅-=-，四边形ABCD 的面积为 12(10310)1010031002⋅⋅-⋅=-，于是所求面积为 1002002(100)(1003100)100330033ππ-+-=+-5．下列计算正确的是（ ）.A tan1tan 61tan1213tan1tan 61tan121++=.B tan1tan 61tan1213tan1tan 61tan121++=-.C tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++= .D tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++=-【解析】BD3tan1tan13tan 61,tan12113tan113tan1+-==-+，故28tan1tan 61tan12113tan 1+=-，22tan 13tan 61tan12113tan 1-=-，由此可证 6．从1~14的正整数中任选出若干数构成一个集合，该集合中任3个数不构成等差数列，求元素最多的集合的元素个数.【解析】(田)列举1,2,4,5,10,11,13,14（从1~14中删去公差为1时的等比数列，然后相继删去公差为2公差为3，为47．已知tan 43α=，求值sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos ααααααααααα+++. 【解析】裂项求和，sin(84)sin(42)tan8cos8cos 4cos 4cos 2ααααααααα--++=8．一堆数乘在一起有很多种乘的顺序，如三个数,,a b c 可以有()ab c ，()ba c ，()c ab ，()c ba 四种不同的乘法，记n 个数的乘法为n I ，则（ ）.A 22I = .B 312I = .C 496I = .D 5120I =【解析】AB根据卡特兰数的定义，可得11121221!(1)!nn n n n n n n I C A C n n C n-----=⋅=⋅⋅=-⋅ 9．,,a b c R ∈，22211a b c a b c ⎧++=⎨++=⎩，那么（ ）.A max 23a =.B max ()0abc = .C min 13a =- .D max 4()27abc =- 【解析】数形结合2221a b c ++=，表示半径为1的球，1a b c ++=表示一个平面2222222211()(1)122a b c a b ca b c a b c ⎧⎪+=-⎪+=-⎨⎪+-⎪+≥⇒-≥⎩，所以c 范围出来. 222222()()(1)(1)ab a b a b c c =+-+=---，所以ab 范围出来.（法3）由1x y z ++=，2221x y z ++=，可知0xy yz zx ++=.设xyz c =，则x ，y ，z 是关于t 的方程320t t c --=的三个实根.令32()f t t t c =--，利用导数可得(0)024()0327f c f c =-≥⎧⎪⎨=--≤⎪⎩，所以4027c xyz -≤=≤，等号显然可以取到.故选项A ,B 都对，因为 22222()(1)2()2(1)x y z x y z +=-≤+=-，所以113z -≤≤，等号显然取到.故选项C 错，选项D 对.10．AB 为圆O 的一条弦，P 为圆O 上一点，OC AB ⊥，PA OC M =，PB 交OC 延长线于N ，则以下结论正确的是（ ）.A OMBP 共圆 .B AMBN 共圆 .C AOPN 共圆 .D AOBN 共圆【解析】P选项A ：首先连接OP 、MB ，即让证明POM PBM ∠=∠，则延长BM 交O 于P '，延长NO 交O于点E ，则易知PBM POE ∠=∠，故四点共圆选项B ，由选项A 可看出，当P 在BPE 上从B 向E 运动时，MBA PAB ∠=∠在逐渐增大，而MBN ∠也在逐渐增大，故MBN ∠并不恒等于2π，故四点并不共圆. 选项C ，连接OA 、AN ，则我们要证AOPN 四点共圆，即要证OPB OAN ∠=∠，而,OAN OBN OPN OBP ∠=∠∠=∠，故四点共圆选项D ： OAB 三点不动，显然不共圆 11．F 为BC 中点，1114A E AA =，正方体1111ABCD ABCD -棱长为1，中心为O ，则O BEF V -=（ ）O PAMBNO PAMBNEP '.A 17144 .B 1738 .C 11144 .D 1138【解析】196. 如图111111221696O EBF G EBF E BCC B V V V ---=⋅=⋅=12．问一个正2016边形，任选顶点顺序相连构成的凸多边形中，正多边形有（ ）个 .A 6552 .B 4536 .C 3528 .D 2016【解析】选C .找2016的约数，若/2016n ，则有n 多边形2016n个，则分解522016237=⨯⨯，2016201620162016481632∴++++，即1111111132016(1)(1)(1)201624816323972=++++++++-⨯3528=13．求不定方程26152yx +=*(,)x y N ∈解的个数（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 326152y x +=⇒2y 层数为6,4，故y 为偶数，设2y n =， 22615(2)(2)(2)6153541n n n x x x +=⇒-+=⇒⨯⨯，252123n n x x ⎧-=⎪∴⎨+=⎪⎩或215241n n x x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩或232205n n x x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 解得59x =，12y =14．O 在ABC ∆内，::4:3:2S AOB S BOC S AOC ∆∆∆=，AO AB AC λμ=+，则λ=____，μ=_____. 【解析】奔驰定理得29，4915．22cos sin 33z i ππ=+，求2322z z z z +=++_______. 【解析】原式21z z +=-=132i -，132z i =-+ 16．在N 项有穷数列{}n a 中，满足①1i j N ≤<≤时，i j a a <；②1i j k N ≤<<≤时，i j a a +，i k a a +，j k a a +至少有一项在{}n a 中，则N 的最大值为______.【解析】假设该数列包含正数并且正数项大于3，则取12,,n n n a a a --三项，由②可知12n n n a a a --+=，而假设有第四个正数3n a -出现时，取13,,n n n a a a --，则同理可得31n n n a a a --+=矛盾，故正项至多有三项，同理负项至多有三项，而零当然可以加进来，故至多有七项 17．22120()(1sin )n n x x dx ππ--+=⎰______.【解析】22122120()(1sin )(1sin )0n n n n x x dx x x dx ππππ----+=+=⎰⎰18．2|1|||z z +=，求||z 的范围和arg z 的范围.OZ z =,22,1OA z OB z ==+,则在OAB ∆中，2A πθ∠=-，2,OZ OB r OA r ===可得221,1r r r r ->+>r <<，再根据余弦定理求出θ的范围 19．在正三棱锥P ABC -中，ABC ∆的边长为1，设P 到平面ABC 的距离为h ，当h 趋近于正无穷时，异面直线AB 与CP 之间的距离为_____. 【解析】2. 当h →+∞时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC 中AB 边上的高，为220．,,x y z 均为非负实数，满足2221327()(1)()224x y z +++++=，则x y z ++的最大值为______，最小值为______. 【解析】32，32-.222274x y z ⇒++=，求3x y z ++-的最值. 方法二、由柯西不等式可知，当且仅当1(,,)(1,,0)2x y z =时，x y z ++取到最大值32.根据题意，有22213234x y z x y z +++++=，于是213()3()4x y z x y z ≤+++++，解得32x y z -++≥，于是x y z ++的最小值当3(,,))2x y z -=时取到，为32- 21．实数22322()4x y x y +=，则22x y +的最大值为______.【解析】.不等式22223222()44()2x y x y x y ++=≤⋅，221x y ∴+≤ 22．2()()xf x x a e =+有最小值，则220x x a ++=的解的个数为______.【解析】2'(2)xf x a x e ++有最小值，0∴∆>，个数为223．11a =，22a =，216n n n a a a ++=-，下列叙述正确的是（ ）.A 212n n n a a a ++-为定值 .B 2(mod 9)n a lor ≡.C 147n n a a +-为完全平方数 .D 187n n a a +-为完全平方数【解析】验证，11a =，22a =，311a =，464a =，5a =因为22222231221122112211(6)6(6)n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++++-=--=-+=-+ 21.2n n n a a a ++=-，所以A 正确，由于311a =，故2222121111(6)67n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ++++++-=--=-+=-，对任意正整数恒成立，所以21147()n n n n a a a a ++-=-，21187()n n n n a a a a ++-=+，故C ，D 正确.24．已知抛物线E ：24y x =，(1,0)F ，过F 作弦交E 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）.A 以AB 为直径的圆与32x =-始终相离 .B ||AB 的最小值为4.C ||AM 的最小值为2 .D 以BM 为直径的圆与y 轴有且仅有一个交点【解析】ABCD25.对于函数21y x =-和ln y x =，下列说法正确的事 .A .二者在(1,0)处有公切线B .二者存在平行切线C .两者只有一个交点D .两者有两个交点 解析：BD26.p 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ,2F 为左右焦点，下列说法正确的是 .A .a =时，满足1290F PF ∠=的p 点有2个B .a >时，满足1290F PF ∠=的p 点有4个C .124PF F C a <D .1222PF F a S ≤ 【解析】焦点三角形，2tan p S C y S bc θ=⋅=≤，p 为椭圆上下顶点时，12PF F C 最大，22222b c a S bc +≤≤=，12224PF F C a c a =+<.27.随机变量ξ的分布列为()(1,2,,10)k P k a k ξ===，则下列说法正确的是 .A .若1210,,,a a a 成等差数列，则5615a a += B .若1210,,,a a a 满足1(1,2,,9)2n n a n ==，则10912a =C .若2()k P k k a ξ≤=，则11(1,2,,10)10(1)n na n n ==+D .若1(1)n n na n a +=+，则1110(1)n na n =+28.甲，乙，丙，丁四人参加比赛并有两个获奖，以下是四人对获奖人的猜测： 甲：获奖者在乙，丙，丁中 乙：我未获奖，丙获奖 丙：甲丁有一人获奖 丁：乙说的是正确的已知四人中有两个人的猜测是正确的那么获奖人是 . 解析，若乙对，则丁对，甲对，故乙错， 29.下列能够成唯一ABC ∆的是 .A .1a =，2b =，c Z ∈B .150A =，sin sin sin sin a A cC C b B +=C .cos sin cos cos()cos sin 0A B C B C B C ++=D .a =，1b =，60A =【解析】A .2c =，正确；B .正弦定理，余弦定理，135B =，错误；C .cos sin()0A B C -=，60C =，所以为直角或等边三角形，错误；D .显然成立，30B ∠=，正确.30.甲，乙，丙，丁四个人进行网球赛规定甲乙一组，丙丁一组先打，胜者再打决胜局，四人相互对战对战时胜率如图，求甲获胜的概率为 .【解析】0.165根据概率的乘法公式，所求概率为0.3(0.50.30.50.8)0.165⋅⋅+⋅=.31.已知实数a ，b ，c 满足1a b c ++=414141a b c ++++间（ ）..A (11,12) .B (12,13) .C (13,14) .D (14,15)32. sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++为ABC 为锐角形的（ ）..A 充要非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 【解析】B .必要性：由于sin sin sin sin()sin cos 12B C B B B B π+>+-=+>，类似的有sin sin 1A C +>,sin sin 1A B +>，于是sin sin sin sin()sin()sin()A B C B C C A A B ++=+++++(sin sin )cos cos cos cos cycB C A A B C =+>++∑.不充分性：当2A π=，4B C π==时，不等式成立，而ABC 并非锐角三角形.33.已知集合12{,,,}n A a a a =，任取1i j k n ≤<<≤，i j a a A +∈，j k a a A +∈，k i a a A +∈这三个式中至少有一个成立，则n 的最大值（ ）..A 6 .B 7 .C 8 .D 9 【解析】B . 不妨设12n a a a >>>.若集合A 中的正数的个数大于等于4，由于23a a +和24a a +均大于2a ，于是有23241a a a a a +=+=，所以34a a =，矛盾.所以集合A 中至多有3个正数，同理可知集合A 至多有3个负数.取{3,2,1,0,1,2,3}A =---，满足题意，所以n 的最大值为7.。
清华大学2015年自主招生数学试题及答案解析
绝密★启用前清华大学2015年自主招生考试数学试题一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π,则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列,p,q,k,l 为正整数,则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点,O 是坐标原点,若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1),且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x y f xy++,x 、y ∈(-1,1),则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图,已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点,则F(x)=f (x)−kx 有（ ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2,∠C=3π,且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ）(A)b=2a (B)△ABC 的周长为 (C)△ABC (D)△ABC 的外接圆半径为7.设函数2()(3)x f x x e =-,则（ ）(A)()f x 有极小值,但无最小值 (B) ()f x 有极大值,但无最大值(C)若方程()f x =b 恰有一个实根,则b>36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根,则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=},B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=,已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )},则（ ）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-=(C)12x x +=a ,12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3,则5x+4y+3z 的最小值为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ,若对任意正整数n,总存在正整数m,使得n S =m a ,则（ ）（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n,总存在正整数m,使得n a =m S11.运动会上,有6名选手参加100米比赛,观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是（ ）(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中,AB=2,AD=A 1A =1,则A 到平面1A BD 的距离为（ ）。
2016年清华大学领军计划自招(数学+物理)试题
2016年清华大学领军计划测试题（数学+物理）特别说明：1、2016年清华领军计划测试为机考，全卷共100分。
2、考试时间：数学+物理共180分钟。
3、所有考题为不定项选择题。
以下内容为回忆版本，部分题改编成填空题。
4、物理测试共35题，回忆版中共26题，供大家参考。
A 、 数学部分1、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，两条直线1211:,:22l y x l y x ==-，过椭圆上一点P 作两条直线12,l l 的平行线，又分别交两条直线于,M N 两点，若||MN 为定值，则ab= （ ）A 、2 D 、42、已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程11112x y z ++=的解的组数为 ( ) A 、8 B 、10 C 、11 D 、123、将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入一个44⨯的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有___________种填法。
4、已知O 为ABC ∆内一点，且满足::4:3:2AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=，AO AB AC λμ=+， 则λ=___________，μ=_________。
5、“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”是“ABC ∆为锐角三角形”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6、各项均不相同的数列{}n a 中，1i i k N ≤<<≤，,,i j j k k i a a a a a a +++至少有一项在{}n a 中，N 的最大值为 （ ）A 、6B 、7C 、8D 、97、已知实数,,x y z 满足22211x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，则 （ ） A.max ()0xyz = B.min 4()27xyz =- C.min 23z =- D.以上都不对B、物理部分1、友谊的小船说翻就翻，假如你不会游泳，就会随着小船一起沉入水底。
清华2015 清华领军计划与答案
2015年清华大学领军计划测试物理学科注意事项：1.2016清华领军计划测试为机考，全卷共100分，考试时间与数学累计120分钟；2.考题全部为不定项选择题，本试卷为回忆版本，故有些问题改编为填空题。
1、（2015领军）在康普顿散射，以下1到5五个区域哪个可能是中心原子存在的区域？（曲线为光子径迹）解：康普顿散射是一个有心力场的运动，与天体运动不同的是其受到的是斥力的作用。
由轨迹我们可知在距离中心原子最近的地方散射粒子的速度不为零，即其角动量不为零。
由角动量守恒知中性粒子只能处于3,4,5三个区域中。
又由对称性可知，中心粒子必处于4区域中。
（2015领军）2、质量为m ，电阻为R 的圆环在如图的磁场磁场中下落，稳定时速度为v 。
求匀速下落时电动势，有以下两种计算方案。
方法一：由受力平衡22B L v mg R= BLv ε=有结论：ε方法二：由功能关系R P mgv =2R P R ε=有结论：ε问：关于以上哪种方案说法正确的是？（ ）A.都正确B.都不正确C.只有方案一正确D.只有方案二正确解：当速度达到稳定时，必然存在受力平衡。
同时功能平衡也是受力平衡的必然要求。
因此两种方案都是正确的。
注：第一方案应说明B 指B 的水平分量（2015领军）3、理想气体做p kV =的准静态过程，已知定容比热v C 和R ，求该过程的比热C（2015领军）4、如图所示，光滑且不计电阻的导轨上有一金属棒，金属棒电阻为R ，初速度为01/v m s =，空间中有恒定的垂直于导轨平面的磁场，磁感应强度为B ，当金属棒减速到010v 时，用时1s 。
速度识别器最低记录是0.001/m s ，求总共记录的该导体棒运动时间为多少？所以2133t t s ==（2015领军）5、高为H 出平抛一物体，同时在其正下方水平地面斜抛一物体，二者同时落到同地，则斜抛物体的射高为______6、（2015领军）有一厚度为D 的透明玻璃砖，一束白光以入射角60︒角射入。
2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何
专题之7、解析几何一、选择题。
1．(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是2．(2009年复旦大学)平面上三条直线x−2y+2=0,x−2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是A.只有唯一值B.可取二个不同值C.可取三个不同值D.可取无穷多个值3．(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足0<k1<k2,k1k2=1.设C1和C2分别是以y=±k1(x−1)+1和y=±k2(x−1)+1为渐近线且通过原点的双曲线,则C1和C2的离心率之比等于5．(2011年复旦大学)A.ρsin θ=1B.ρcos θ=−1C.ρcos θ=1D.ρsin θ=−1 6．(2011年复旦大学)设直线L过点M(2,1),且与抛物线y2=2x相交于A,B两点,满足|MA|=|MB|,即点M(2,1)是A,B的连接线段的中点,则直线L的方程是A.y=x−1B.y=−x+3C.2y=3x−4D.3y=−x+5 7．(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足A.a2(1−b2)≥1B.a2(1−b2)>1C.a2(1−b2)<1D.a2(1−b2)≤1 8．(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5B.ρ2−6ρcos θ−4ρsin θ=0C.ρ2−ρcos θ=1D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=19.10.(2012年复旦大学)B.抛物线或双曲C.双曲线或椭圆D.抛物线或椭圆A.圆或直线线11．(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y−20=0,则抛物线方程为A.y2=16xB.y2=8xC.y2=−16xD.y2=−8xA.2B.2C.4D.413．(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为14．(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x−4)2+(y−1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是二、解答题。
2015年全国重点高中阶段自主招生考试数学模拟试题(一)(历年真题汇总)
2015年全国重点高中阶段自主招生考试数学模拟试题（一）（历年真题汇总）数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）学校 班级 姓名 号数 准考证号亲爱的同学：欢迎你参加本次考试！请细心审题，用心思考，耐心解答．祝你成功！答题时请注意：请将答案或解答过程写在答题卡．．．的相应位置上，写在试卷上不得分． 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分．每小题只有．．一个．．正确的选项，请把正确答案的代号填写在答题．．卡．中相应的表格内） 1．下列计算正确的是A ．32a a a =•B ． 523)(a a = C ． 32a a a =+ D ． 326a a a =÷ 2．不等式组⎩⎨⎧≥->+0401x x 的解集是A ．41≤≤-xB ．41≥-<x x 或C ．41<<-xD ．41≤<-x3．一组数据：3，4，5，x ，7的众数是4，则x 的值是A ．3B ．4C ．5D ．6４．下列图案中，既是中心对称又是轴对称的图案是A B C D５．已知两圆的半径分别为6和1，当它们外切时，圆心距为A ．5B ．6C ．7D ．8６．如果一个定值电阻R 两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流I随它的两端电压U 变化的图像是7．下列事件是必然事件的是A ．直线b x y +=3经过第一象限；B ．方程0222=-+-x x x 的解是2=x ；C ．方程34-=+x 有实数根；D ．当a 是一切实数时，a a =2．8．如图示，将矩形纸片ABCD 沿虚线EF 折叠，使点A 落在点G 上，点D 落在点H 上；然后再沿虚线GH 折叠，使B 落在点E 上，点C 落在点F 上；叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为9．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC=4 ，BD 为⊙O 的直径，则BD 等于A.4B.6C.8D.1210．如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为A ．41-n cm 2B ．4n cm 2C ．41cm 2D ．n)41( cm 2二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分．请将答案填在答题卡．．．的相应位置上）11．2009-的相反数是 ．12．分解因式:222-m = ．13．生物学家发现目前备受关注的甲H1N1病毒的长度约为0.000056毫米，用科学记数法表示为毫米．14．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB= ．15．海峡两岸血浓于水，“两岸三通”有了新发展，最近大陆与台湾的包机航班改为定期航班，受到两岸人民的欢迎．如图是我国政区图，根据图上信息，台北与北京的实际距离<直线距离>约是 千米（精确到千米）．A B D C H G E F F BCG(A) H(D) E G(A)H(D)F(C) E(B) B DC A A B C O A 'B 'C '北京* 台北 * 600千米 O DCBA 第９题 第１０题第第１4题 第１5题16．如图，菱形OABC 中，120A =o ∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90o，则图中由弧,,A B B B '''C ，A '弧CB 围成的阴影部分的面积是 ．(结果保留根号) 17．若方程组⎩⎨⎧=-=+a by x b y x 2的解是⎩⎨⎧==12y x ，那么b a -= ．18．从1-，1，2这三个数中，任取两个不同的数作为一次函数y ax b =+的系数,a b ，则一次函数y ax b =+的图象不经过第三象限的概率是 ． 三、解答题(共8小题，满分78分. 请将答案写在答题卡．．．的相应位置上) 19．（满分8分）计算：20)2(30sin 2)23(-+--ο20．（满分8分）小明和小颖在玩“石头、剪刀、布”的一次游戏中，他们平局的概率是多少？（请列表或画树状图分析）21．（满分8分）如图, 将矩形EFBC 一条对角线FC 向两端延伸，使AF=DC ，连接AB 、ED ．求证：AB ∥ED ．22．（满分10分）2009年10月1日是中华人民共和国成立六十周年纪念日，某中学举行了一次“建国知识竞赛”，并从中抽取了部分学生成绩（得分取整数，满分为100分）作为样本，绘制了如下的统计图．请根据图中的信息回答下列问题：（1）此样本抽取了多少名学生的成绩？（2）此样本数据的中位数落在哪一个范围内？(请直接写出该组的分数范围）（3）若这次竞赛成绩高于80分为优秀，已知该校有900名学生参加了这次竞赛活动，请估计该校获得优秀成绩的学生人数约为多少名？23．（满分8分）为了更好地宣传“2010年上海世博会”，“和谐之旅”号京沪城际铁路于2009年5月1日正式开通运营，预计高速列车在北京、上海间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到上海的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由上海返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由上海返回北京比去上海时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由上海返回北京的平均速度是每小时多少千米？24．（满分10分）阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过点A作AD ⊥BC 于点D （如图）， 则 sin B =c AD ，sin C =bAD ，即AD =c sin B ，AD =b sin C ， 于是c sin B =b sin C ，即C c B b sin sin =． A B C D E F 第21题 第22题 学生数50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 222 28 0 32 36同理有A a C c sin sin =，Bb A a sin sin =． 所以 Cc B b A a sin sin sin ==………(*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠B ，运用上述结论．．．．(*)．．．和有关定理．．．．．就可以求出其余三个未知元素c 、∠A 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件 a 、b 、∠B∠A ； 第二步：由条件 ∠A 、∠B ∠C ； 第三步：由条件 c ．（2）如图，已知：∠A =60°，∠C =75°，a =6，运用上述结论(*)试求b ．25．（满分12分）如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴交于点），（、08)0,2(B A ，OBC OCA ∠=∠。
14-18年北清自招龅牙领军数学真题-函数的性质与图像
清华领军2015.4.设函数()f x 的定义域为（-1，1），且满足：①()0,(1,0)f x x >∈-；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，(1,1)x y ∈-、，且()f x 为（ ）A.奇函数B.偶函数C.减函数D.有界函数清华领军2015.5.如图，已知直线y kx n =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ）A.2个极大值点B.3个极大值点C.2个极小值点D.3个极小值点 同时分入了导数类清华领军2015.23.设函数2sin π()1xf x x x =-+，则（ ）A.4()3f x ≤B.|()|5||f x x ≤C.由线()y f x =存在对称轴D.曲线()y f x =存在对称中心清华领军2015.30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)0y x y x x +++-=，则（ ） A.L 是轴对称图形 B.L 是中心对称图形 C.22{(,)|1}L x y x y ⊂+≤ D.11(,)|22L x y y ⎧⎫⊂-≤≤⎨⎬⎩⎭同时分入函数的极值类清华领军2017.15.已知2()f x x ax b =++在(1,1)x ∈-上有两个零点。
求22a b -的取值范围。
A.(0,)+∞B.(0,2)C.(,2)-∞D.(2,2)-清华领军2017.21.满足35(3)40x y x x y ++++=的(,)x y （ ） A.在一条直线上 B.在一条抛物线上 C.为有限个 D.为无限个 分类存疑北大自招2016.1. 求()212log 2x x -++的单调增区间。
1.【解答】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭要求()212log 2x x -++的单调增区间，由12log x 是在()0,+∞上的减函数，故即解2201,2122x x x x ⎧-++>⎪⎛⎫⇒∈⎨ ⎪>⎝⎭⎪⎩北大自招2016.5. 设x ，y ，z 3R ∈，求方程381nnnx y z ++≤，当n →+∞时确定的几何体的体积为________。
2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列与极限
专题之6、数列与极限一、选择题。
如果a0=0,a1=1,且{b n}是公比为1．(2009年复旦大学)设数列{a n},{b n}满足b n=a n-a n-1,n=1,2,3,…，2的等比数列,又设S n=a1+a2+…+a n,A.0B.C.1D.22．(2009年复旦大学)已知x2-(tan θ+cot θ)x+1=0(0<θ<π),且满足x+x3+…+x2n-1+…3．(2009年复旦大学)设实数a,b,c都不为0,则下列不等式一定成立的是4．(2011年复旦大学)设有4个数的数列为a1,a2,a3,a4,前3个数构成一个等比数列,其和为k,后3个数构成一个等差数列,其和为9,且公差非零.对于任意固定的k,若满足条件的数列的个数大于1,则k应满足A.12k>27B.12k<27C.12k=27D.其他条件5．(2011年复旦大学)设n为一个正整数,记则P(n)是n的一个多项式.下面结论中正确的是6．(2011年复旦大学)A.0<a+b≤10B.0<a+b<10C.a+b>0D.a+b≥107．(2011年复旦大学)A.数列{x n}是单调增数列B.数列{x n}是单调减数列C.数列{x n}或是单调增数列,或是单调减数列D.数列{x n}既非单调增数列,也非单调减数列8．(2012复旦大学)二、填空题。
9．(2009年华中科技大学) . 10．(2012年清华大学等七校联考).三、解答题。
11．(2009年华南理工大学)已知a2+a-1=0,b2+b-1=0,a<b,设a1=1,a2=b,a n+1+a n-a n-1=0(n≥2),b n=a n+1-a·a n.(1)证明数列{b n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项;(3)设c1=c2=1,c n+2=c n+1+c n,证明:当n≥３时,(-1)n(c n-2a+c n b)=b n-1.12．(2009年华中科技大学)已知数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列,在平面直角坐标系xOy 中,直线x=a n与x轴和函数f(x)=2x的图象分别交于点A n(a n,0)和B n(a n,b n).(Ⅰ)记直角梯形A n A n+1B n+1B n的面积为S n,求证数列{S n}是等比数列;(Ⅱ)判断△B n B n+1B n+2的形状(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形),并予以证明;(Ⅲ)对于给定的正整数n,是否存在这样的实数d,使得以b n,b n+1,b n+2为边长能构成一个三角形?如果存在,求出d的取值范围;如果不存在,请说明理由.13．(2009年中国科技大学)已知A={x|x=n!+n,n∈N*},B是A在N*上的补集.(1)求证:无法从B中取出无限个数组成等差数列;(2)能否从B中取出无限个数组成等比数列?试说明理由.15．(2010年浙江大学)16．(2011年同济大学等九校联考)设数列{a n}满足a1=a,a2=b,2a n+2=a n+1+a n.(1)设b n=a n+1-a n,证明:若a≠b,则{b n}是等比数列;(2)若(a1+a2+…+a n)=4,求a,b的值.17．(2009年清华大学)证明:正整数数列a1,a2,…,a2n+1是常数列的充分必要条件是其满足性质P:对数列中任意2n项,存在一种方法将这2n项分为两类(每类n个数),使得两类之和相等. 18．(2009年清华大学)已知数列{a n},且S n=na+n(n-1).19．(2009年清华大学)请写出所有三个数均为质数,且公差为8的等差数列,并证明你的结论.22．(2009年北京大学)已知由整数组成的无穷等差数列中有三项:13,25,41.求证:2 009为其中一项.23．(2011年北京大学等十三校联考)等差数列a1,a2,…满足a3=-13,a7=3.这个数列的前n项和为S n,数列S1,S2,…中哪一项最小?并求出这个最小值.24.1.D【解析】通过叠加的方法求出数列{a n}的通项,再求出其前n项和,根据极限的运算法则进行计算.根据b1=1,b n=2n-1,得a n-a n-1=2n-1,令n=1,2,…,n,得n个等式,叠加得a n=1+2+…+2n-1=2n-1,从而S n=2n+1-2-n..选D.4.A。
2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面几何
专题之8、平面几何一、选择题。
1．(2009年复旦大学)一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k∶1(k>1),则这个菱形的一个等于A.arctan(k)B.arctanC.arctanD.arctan2．(2009年复旦大学)用同样大小的一种正多边形平铺整个平面(没有重叠),有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙?A.2种B.3种C.4种D.5种3．(2012年复旦大学)设S是平面上的一个六边形,不是凸的,且它的任意3个顶点都不共线,称一个以S的某些顶点为顶点的多边形为一个S多边形,则下面的结果一定不对的是A.每个S四边形都是凸四边形B.存在S五边形为凸五边形C.每个S五边形都不是凸五边形D.至少有两个S四边形是凸四边形4．(2011年同济大学等九校联考)如图,△ABC内接于☉O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交☉O于G,F,交☉O在A点处的切线于P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为5．(2010年清华大学等五校联考)如图,△ABC的两条高线AD,BE交于H,其外接圆圆心为O,过O作OF垂直BC于F,OH与AF相交于G,则△OFG与△GHA面积之比为A.1∶4B.1∶3C.2∶5D.1∶26．(2012年清华大学等七校联考)已知锐角△ABC,BE垂直AC于E,CD垂直AB于D,BC=25,CE=7,BD=15,BE,CD交于H,连接DE,以DE为直径画圆,与AC交于另一点F,则AF 的长为A.8B.9C.10D.11二、解答题。
7．(2009年华中科技大学)由图1,得4(ab)+c2=(a+b)2,①可推得勾股定理a2+b2=c2.则由图2,可得一个类似于①的等式:.从而推得一个重要的三角公式:.8．(2009年中国科技大学)如图所示,已知D、E、F分别为BC、AC、AB的三等分点,并且EC=2AE,BD=2CD,AF=2BF,若S△ABC=1,试求S△PQR.9．(2012年同济大学等九校联考)如图,AB是圆O的直径,CD⊥AB于H,且AB=10,CD=8,DE=4,EF是圆的切线,BF交HD于G.(1)求GH;(2)连接FD,判断FD与AB的关系,并加以证明.10．(2009年北京大学)如图,圆内接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求圆的半径.11．(2010年北京大学等三校联考)A,B为边长为1的正五边形边上的点.证明:AB最长为. 12．(2011年北京大学等十三校联考)在△ABC中,a+b≥2c,求证:∠C≤60°．13．(2011年北京大学等十三校联考)已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5,一条对角线长是6,求另一条对角线长.14．(2012年北京大学等十一校联考)求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.A1A4A5A6都是凸四边形,故选项D正确;如图③,选项C正确.4.B【解析】因为AC∥PF,所以∠HAC=∠APE,又PA是☉O的切线,可得∠HAC=∠B,故∠APE=∠B,又因为∠PEA=∠BED,所以△BED∽PEA,故=,因为PE=3,ED=2,BE=AE,所以BE=AE=,再由相。
清华大学领军计划物理2015
2015年清华大学领军计划测试物理学科注意事项：1.2016清华领军计划测试为机考，全卷共100分，考试时间与数学累积120分钟：2.考题全部为不定项选择题，本试卷为回忆版霜天，故有些问题改编为填空题。
1.在a 粒子散射实验中，以下1到5五个区域哪个可能是中心原子存在的区域？2.质量为m ，电阻为R 的圆环在如图的磁场中下落，稳定时速度为v 。
求匀速下落时电动势，有以下两种计算方案。
方法一：由受力平衡22B L v mg R= BLv ε=有结论 ε方法二：由功能关系k P mgv =2R P R ε=有结论 ε问：关于以上哪种方案说法正确的是（ ）A.都正确B.都不正确C.只有方案一正确D.只有方案二正确3.理想气体做p kV =的准静态过程，已知定容比热0C 和R ，求该过程的比热C 。
4.如图所示，光滑且不计电阻力的导轨上有一金属棒，金属棒电阻为R ，初速度为01m/s V =，空间中有恒定的垂直导轨平面的磁场，磁感应强度为B ，当金属棒减速到010v 时，用时1s 速度识别器最低记录是0.001m/s ，求总共记录的该导体棒运动时间为多少？5.高为H 出平抛一物体，同时在其正下方水平地面斜抛一物体，二者同时落到同地，则斜抛物体的射高为______.6.有一厚度为D 的透明玻璃砖，一束白光以入射角60︒角射入。
（1）求最早射出色光的折射率（玻璃折射最小值为min n ）；（2）若白光只有红黄绿三种颜色（并给出折射率）问那种色光最先射出？7.小磁铁在铝制空心杆中运动（无裂缝、有裂缝、有交错的矩形裂孔），则先落地的一个是哪一个？8.均匀带电半圆环，一半带正电，一半带负电，电荷密度为λ，求P 点的场强和电势。
9.一个人在岸上以速度v 平拉船，岸高度为h ，绳子与河夹角为θ，此时船的速度和加速度为？。
2015年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率
专题之5、概率一、选择题。
1、(2009年华中科技大学)从0,1,2,…,9这十个数码中不放回地随机取n(2≤n≤10)个数码,能排成n位偶数的概率记为Pn,则数列{Pn}A.既是等差数列又是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.是等差数列但不是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列2、(2009年华中科技大学)5张票中有1张奖票,5个人按照排定的顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票,且后抽的人不知道先抽的人抽出的结果,则第3个人抽到奖票的概率是A. B. C. D.3、(2009年复旦大学)某种细胞如果不能分裂则死亡,并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为,现有两个这样的细胞,则两次分裂后还有细胞存活的概率是A. B. C. D.4、(2012年复旦大学)随机任取一个正整数,则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是A. B. C. D.二、填空题。
5、(2009年南京大学)有一个1,2,…,9的排列,现将其重新排列,则1和2不在原来位置的概率是.三、解答题。
6、(2010年中南财经政法大学)某市在36位“政协委员”候选人中任选2名,其中来自教育界的候选人共有6人,求:(1)至少有1名来自教育界的人当选的概率是多少?(2)候选人中任何人都有当选的可能性,若选得同性别委员的概率等于,则男女候选人相差几名?(注:男候选人多于女候选人)7、(2011年同济大学等九校联考)一袋中有a个白球和b个黑球,从中任取一个球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在进行n次这样的操作后,记袋中白球的个数为Xn.(1)求E;(2)设P(=a+k)=,求P(=a+k),k=0,1,…,b;(3)证明:EX n+1=(1)EX n+1.8、(2009年清华大学)12名职工(其中3名为男性)被平均分配到3个部门.(1)试求3名男员工分配到不同部门的概率;(2)试求3名男员工分配到相同部门的概率;(3)试求1名男员工指定到某一部门,另两名不在同部门的概率.9、(2009年清华大学)M为三位的自然数,求:(1)M含因子5的概率;(2)M中恰有两位数码相同的概率.10、(2010年清华大学)12个人玩一个游戏,游戏开始后每个人被随机地戴上红、黄、蓝、绿四种颜色之一的帽子,每个人都可以看到其余11个人帽子的颜色,游戏开始后12个人不能再交流,并被要求猜出自己帽子的颜色,请为这12个人在游戏前商定一个方案,使得他们同时猜对自己帽子的颜色的概率尽可能大.11、(2010年清华大学等五校联考)假定亲本总体中三种基因型式:AA,Aa,aa的比例为u∶2v∶w(u>0,v>0,w>0,u+2v+w=1)且数量充分多,参与交配的亲本是该总体中随机的两个.(1)求子一代的三种基因型式的比例;(2)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗?并说明理由.12、(2011年清华大学等七校联考)将一枚均匀的硬币连续抛掷n次,以表示未出现连续三次正面的概率.(1)求、、和;(2)探究数列{}的递推公式,并给出证明(3)讨论数列{}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义.13、(2012年清华大学等七校联考)系统内有2k−1(k∈N*)个元件,每个元件正常工作的概率为p(0<p<1),各个元件独立工作.若系统有超过一半的元件正常工作,则系统正常工作,系统正常工作的概率称为系统的可靠性.(1)求该系统正常工作的概率;(2)试讨论的单调性,并讨论增加两个元件后,能否提高系统的可靠性.因此两次分裂后还有细胞存活的概率为1−P(E)=.4.D【解析】首先,一个正整数的3次方的个位数是1,则这个正整数的个位数也必须是1.其次可试得1~100中只有71符合要求,而且末两位是71的均符合要求.故选D.5..【解析】2+=57×或+7×7×,∴P=.6.(1) . (2) 6【解析】(1)任意选取2人的选法为,其中2人都不是来自教育界的选法为,因此所求概率为p==.(2)设男候选人为x(x>18)人,则女候选人为36−x人,选出两人都是男性的概率为p 1=,选出两人都是女性的概率为=,+=,∴x2−36x+35×9=0,∴x=21(x>18),p2∴男女相差6人.=a+k)=p k·+p k−1·(k≥1).7.(1) . (2) P(X(3)第n次白球个数的数学期望为EX n,由于白球和黑球的总个数为a+b,则将第n+1次白球个数的数学期望分为两类:第n+1次取出来的是白球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数为EX n;第n+1次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是EX n+1,数的数学期望分为两类:第n+1次取出来的是白球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数为EX n ;第n+1次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是EX n +1, 故EX n+1=EX n +·(EX n +1)=+(1)(EX n +1)=+EX n+1=(1)EX n +1. 8.(1(2)(3)【解析】(1)P 1==;(2)P 2==;(3)P3==.9.(1) (2).【解析】(1)当个位数字为0时,有9×10=90个符合题意的三位数;当个位数字为5时,有9×10=90个符合题意的三位数,故M含因子5的概率为=.(2)当M中含有数字0,且0是重复数码时,有9个符合题意的三位数;当M中含有数字0,且0不是重复数码时,有9×=18个符合题意的三位数;当M中不含数字0时,有9×8×3=216个符合题意的三位数,故M中恰有两位数码相同的概率为=.10.12个人同时猜对的概率一定不大于单独一个人猜对的概率,即.【解析】首先将问题数学化,将红、黄、蓝、绿四种颜色分别用数字0、1、2、3代表.策略是每个人将其余11人的帽子的颜色所对应的数字求和,记为S,S除以4的余数设为d,(4−d)对应的颜色即为他所猜的颜色.例如,若12个人都戴黄帽子,每个人看到其余11个人的帽子颜色对应数字和均为11,11除以4余3,4−3=1对应黄色,全都猜对.这样的策略使得同时猜对头上帽子颜色的概率为.当且仅当12个人的帽子颜色所对应数字之和为4的倍数时,12个人能够同时猜对.不然,12个人会同时猜错.这12个人或者同时猜对,或者同时猜错,同时猜对的概率与一个人随机猜测正确的概率相等,为.而多个人猜测时,由于不能由他人的帽子颜色推断出有关自己帽子颜色的信息,因此12个人同时猜对的概率一定不大于单独一个人猜对的概率,即.因此上述方案是最优的.11.(1)AA,Aa,aa的比例为p2∶2pq∶q2.(2) 相同可知子二代的基因型式AA,Aa,aa的比例为α2∶2αβ∶β2,其中α=p2+pq,β=pq+q2.由p+q=1,可得α=p,β=q.故子二代的三种基因型式AA,Aa,aa的比例为p2∶2pq∶q2,与子一代的三种基因型式的比例相同.【解析】(1)参与交配的两个亲本(一个称为父本,一个称为母本)的基因型式的情况,及相应情p 1=u2×1+2uv×+2uv×+4v2×=(u+v)2.由对称性知子一代的基因型式为aa的概率为p3=(v+w)2.子一代的基因型式为Aa的概率为p 2=2uv×+uw×1+2uv×+4v2×+2vw×+uw×1+2vw×=2(uv+uw+v2+vw)=2(u+v)(v+w).若记p=u+v,q=v+w,则p>0,q>0,p+q=1,子一代的三种基因型式AA,Aa,aa的比例为p2∶2pq∶q2.(2)由(1)可知子二代的基因型式AA,Aa,aa的比例为α2∶2αβ∶β2,其中①×②,有p=p n−1p n−4(n≥5).(3)n≥4时,{p n}单调递减.又p1=p2>p3>p4,∴n≥2时,数列{p n}单调递减,且有下界0.∴p的极限存在记为a,对p n=p n−1p n−4两边同时取极限可得a=a a,a=0,故p n=0.其概率意义:当投掷的次数足够多时,不出现连续三次正面的概率非常小.【解析】(1)显然p 1=p2=1,p3=1=;又投掷四次出现连续三次正面的情况只有:正正正正或正正正反或反正正正,故p 4=1=.(2)共分三种情况:1)如果第n次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n−1次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是×p n−1;2)如果第n次出现正面,第n−1次出现反面,那么前n次不出现连续三次正面和前n−2次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是×p n−2;增加两个元件时,系统可靠性降低;当p>时,P k+1>P k,函数P k单调递增,增加两个元件时,系统可靠性提高.【解析】(1)当系统有2k−1(k∈N*)个元件时,恰有k个元件正常工作的概率为·p k(1−p)k−1,恰有k+1个元件正常工作的概率为·p k+1(1−p)k−2,…,恰有2k−1个元件正常工作的概率为·p2k−1(1−p)0,P k=·p k(1−p)k−1+·p k+1(1−p)k−2+…+·p2k−1(1−p)0。
清华大学2016年自主招生与领军计划数学试题
清华大学2016年自招、领军试题选择题：本卷共40小题，共100分。
在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是正确的。
（1）若函数()y f x =具有下列两个性质：①在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；②其图像关于3x π=对称.则()f x =（ ）（A ）5sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭ （B ）cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （C ）sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ （D ）2cos 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】CD解析：由②可知13f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，再结合①可知13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由①还可知22T π≥，即T π≥，而选项中所有函数的周期都是π，可知此题最好的方法是代入法. 因此只需要检验四个选项中哪个符合这个条件即可. （A ）132f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；（B ）13f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（C ）13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；（D ）13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. 因此答案为CD.（2）曲线21y x =-与ln y x =（ ）ACD（A ）在点(1,0)处相交 （B ）在点(1,0)处相切 （C ）存在相互平行的切线 （D ）有两个交点 【答案】ACD解析：令2()1f x x =-，()ln g x x =，2()ln 1h x x x =--，()2f x x '=，1()g x x '=，1()2h x x x'=-. 其中()g x 和()h x 的定义域都是(0,)+∞.对于（A ）（B ），(1)(1)0f g ==，(1)2f '=，(1)1g '=，可知两条曲线在点(1,0)处相交. （A ）正确.令()()f x g x ''=，可得2x =；122f ⎛=- ⎝⎭，1ln ln 2g ==->-=-⎝⎭，所以f g ≠⎝⎭⎝⎭，因此两条曲线在2x =处存在相互平行的切线.令()0h x '=，可得x =()h x '和()h x 的变化如下表：由上述分析可知()h x 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，且02h ⎛< ⎝⎭，2110h e e ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，并且12e <，可知()h x 在⎛ ⎝⎭上只有有一个零点，因此两条曲线在⎛ ⎝⎭上只有一个交点.而()h x 在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，并且(1)0h =，()h x 在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上只有一个零点1，可知两条曲线在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上只有一个交点.因此答案为ACD.（3）“ABC 为锐角三角形”是“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”的（ ）（A ）充分不要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A解析：若ABC ∆为锐角三角形，则222A B A C B C πππ⎧+>⎪⎪⎪+>⎨⎪⎪+>⎪⎩， 且0,,2A B C π<<，可得022022022A B C A B C ππππππ⎧>>->⎪⎪⎪>>->⎨⎪⎪>>->⎪⎩，又()sin f x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以sin cos sin cos sin cos A B C A B C >⎧⎪>⎨⎪>⎩， 因此可得sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++，所以“ABC 为锐角三角形”是“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”的充分条件.考虑直角ABC ∆，其中,,236A B C πππ===，则1sin sin sin 122A B C ++=++，1cos cos cos 2A B C ++=+，则sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++，而显然ABC ∆是不是锐角三角形，因此“ABC ∆为锐角三角形”不是“sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++”的必要条件.（4）设函数()f x 在区间(1,1)-内有定义，则（ ）（A ）当导数(0)f '存在时，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处存在切线 （B ）当曲线()y f x =在点(0,(0))f 处存在切线时，导数(0)f '存在 （C ）当导数(0)f '存在时，函数2()f x 在0x =时的导数等于零 （D ）当函数2()f x 在0x =时的导数等于零时，导数(0)f '存在 【答案】ABC解析：（A ）显然正确；（B ）函数13()f x x =，在在点(0,(0))f 处的切线为y 轴，但是231()3f x x -'=-， (0)f '不存在；（C ）()22()2()f x xf x ''=，因为(0)f '存在，所以()20()20(0)0x f x f =''=⨯⨯=，所以(C)正确；（D ）令 ()f x x =，则222()f x x x ==，所以函数2()f x 在0x =时的导数等于零，但是()f x x =在0x =处的导数(0)f '不存在，因此（D ）错误. （5）设22cos sin 33z i ππ=+，则2322z z z z +=++（ ） （A）122-+ （B）122i -（C）122- （D）122i -+【答案】C解析：易得31z =，2z z =，210z z ++=，23211111212222z z z z i z z +=+=+=--=-++，因此答案选C.（6）甲、乙、丙、丁四人进行网球比赛，首先是甲与乙比，丙与丁比，这两场比赛的胜者再争夺冠军. 他们之间相互获胜的概率如下：则甲获得冠军的概率为（ ）（A ）0.165 （B ）0.245（C ）0.275 （D ）0.315 【答案】A解析：甲与乙比甲获胜为事件A ，则()0.3P A =， 丙与丁比，丙获胜为事件B ，则()0.5,P B =()0.5,P B = 甲与丙比甲获胜为事件C ，则()0.3,P C = 甲与丁比甲获胜为事件D ，则()0.8,P D = 甲获胜的概率为()()()P ABC ABD P ABC P ABD +=+ ()()()()()()P A P B P C P A P B P D =+0.30.50.30.30.50.80.165=⨯⨯+⨯⨯=. 因此答案选A.（7）设函数2()()x f x x a e =+在R 上存在最小值，则函数2()g x x x a =++的零点个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）无法确定 【答案】C解析：2()(2)x f x x x a e '=++①当1a ≥时，220x x a ++≥在R 上恒成立，所以()0f x '≥在R 上恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增，因此()f x 在R 上无最小值；②当1a <时，令()0f x '=，则11x =，21x =，且21x x <，()f x '和()f x 的变化情况如下表：x →-∞时，()0f x →，因为()f x 在2(,)x -∞上单调递增，在21(,)x x 上单调递减，在1(,)x +∞上单调递增，所以若()f x 有最小值，只需要1()0f x ≤.11()(2)0x f x e =-≤2⇔≤11a ⇔≤-0a ⇔≤. 20x x a ++=的判别式为141a ∆=-≥，所以()g x 有两个零点. 因此选C.（8）设随机变量ξ的分布列如下：则 （ ）（A ）当{}n a 为等差数列时，5615a a += （B ）数列{}n a 的通项公式可能为1110(1)n a n n =+（C ）当数列{}n a 满足12n n a =(1,2,,9)n =时，10912a =（D ）当数列{}n a 满足2()k P k k a ξ≤=(1,2,,10)k =时，1110(1)n a n n =+【答案】ABCD解析：由题目可知12101a a a +++=；（A ）若{}n a 为等差数列，1210565()1a a a a a +++=+=，所以5615a a +=； （B ）11111110(1)101n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则0n a ≥，且121011111111111111022310111011a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，符合分布列的定义，因此B 正确； （C ）129991111222a a a +++=++=-，又由分布列的定义可知12101a a a +++=，所以10912a =，C 正确； （D ）2()k P k k a ξ≤=，则10(10)1001P a ξ≤==，所以10111100101011a ==⨯⨯，满足题意， 当2k ≥时，221()(1)(1)k k k a P k P k k a k a ξξ-=≤-≤-=--，则221(1)(1)(1)(1)k k k k a k a k k a --=-=-+，因为2k ≥，所以1(1)(1)k k k a k a --=+，即111k k k a a k -+=-. 91011111119910010910a a ==⋅=⨯⨯，满足题意. 当29n ≤≤时，1110112121110111111119(1)10010(1)n n n n n n n n a a a a n n n n nn n n n-++++++⨯==⋅=⋅⋅=⋅=-----则当18n ≤≤时，1110(1)n a n n =+. 因此D 正确.（9）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，E 在11B C 上，11113B E BC =，F 在1AA 上，1114A F AA =，则四面体B EFO -的体积为（ ）（A ）11144 （B ）17144（C ）1138 （D ）1738【答案】A解析：以A 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，111(,,)222O ，(1,0,0)B ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(1,,1)3E ,3(0,0,)4F ,则111(,,)222BO =-,1(1,0,)4BF =-,1(0,,1)3BF =,四面体B EFO -的体积为111222131110641441013--=（10）设定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①(0)1g =；②对任意实数12,x x ，121212()()()()()g x x f x f x g x g x -=+；③存在大于零的常数λ，使得()1f λ=，且当(0,)x λ∈时，()0f x >，()0g x > 则（A ）()(0)0g f λ== （B ）当(0,)x λ∈时，()()1f x g x +> （C ）函数()f x ()g x 在R 上无界 （D ）任取x R ∈，()()f x g x λ-= 【答案】ABD解析：令120x x ==，代入②得22(0)(0)(0)g f g =+，因为(0)1g =，所以(0)0f =；令12x x λ==，代入②得22(0)()()g f g λλ=+，因为()1f λ=，所以()0g λ=，因此()(0)0g f λ==；A 正确对于任意实数x ，令12x x x ==代入②得22(0)()()1g f x g x =+=，可得2()1f x ≤，2()1g x ≤，进而()1f x ≤，()1g x ≤，因此C 错误；当(0,)x λ∈时，()0f x >，()0g x >，所以20()1f x <<，20()1g x <<，进而0()1f x <<，0()1g x <<，故22()(),()()f x f x g x g x <<，因此22()()()()f x g x f x g x +<+，又22()()1f x g x +=，故()()1f x g x +>，所以B 正确；令1x λ=，2x x λ=-，代入②得()()()()()g x f f x g g x λλλλ=-+-，又()(0)0g f λ==，()1f λ=，所以()()g x f x λ=-，故D 正确.（11）设,,A B C 是随机事件，A 与C 互不相容，1()2P AB =，1()3P C =，则()P AB C = （ ） （A ）16 （B ）12（C ）13 （D ）34【答案】D解析：因为A 与C 互不相容，所以A C ⊂，则AB C ⊂，因此ABC AB =，可得1()()32()2()()43P ABC P AB P AB C P C P C ====，所以该题选D.（12）甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖； 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的.成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符. 另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（ ）（A ）甲和丁 （B ）乙和丁 （C ）乙和丙 （D ）甲和丙 【答案】B解析：因为乙和丁的预测一样，则根据题干可知四人的猜测有两种情况：①乙和丁的预测与结果相符，甲和丙的预测与结果不相符，那么丙获奖，因为丙的预测与结果不相符，所以丙和乙获奖，与甲的预测相符了，矛盾；②乙和丁的预测与结果不相符，甲和丙的预测与结果相符，那么乙获奖，丙不获奖，结合甲预测可知丁获奖，与丙的预测相符，因此获奖者是乙和丁.该题选B. （13）设24πα=，则sin sin sin sin cos 4cos3cos3cos 2cos 2cos cos ααααααααααα+++=（A）6 （B）3 （C）2 （D ）12【答案】B 解析：sin sin((1))cos cos(1)cos cos(1)n n n n n n ααααααα--=--sin cos(1)cos sin(1)tan tan(1)cos cos(1)n n n n n n n n αααααααα---==---所以sin sin sin sin cos 4cos3cos3cos 2cos 2cos cos ααααααααααα+++tan 4tan3tan3tan 2tan 2tan tan ααααααα=-+-+-+tan 4tan63πα===. 因此该题选B（14）设正三棱锥P ABC -的高为h ，底面三角形的边长为1. 设异面直线AB 与PC 的距离为()d h ，则lim ()h d h →∞=（A ）1 （B ）12（C （D ）【答案】C解析：在APC ∆内，过A 向PC 做垂线，垂足为Q ，即AQ PC ⊥，连结BQ ，根据对称性，显然BQ PC ⊥，且BQ AQ =，取AB 中点D ，连结DQ ，DQ ⊂平面AQBAQ PC BQ PC ⊥⎫⇒⎬⊥⎭PC ⊥平面AQB ，又DQ ⊂平面AQB DQ PC ⇒⊥，在AQB 中，BQ AQ =，D 为AB 中点，所以DQ AB ⊥， 因此DQ 为AB 与PC 的公垂线；设点P 在平面ABC 的投影为O ，则AO BO CO ===,AP BP CP ===在APC 中，112APCS=⋅=又12APCSPC AQ AQ =⋅⋅=，所以AQ =，在等腰三角形AQB ∆中，DQ ===()d h =lim ()h h h d h →∞====（15）设,,αβγ分别为1,61,121︒︒︒，则（A ）tan tan tan 3tan tan tan αβγαβγ++=- （B ）tan tan tan tan tan tan 3αββγγα++=-（C ）tan tan tan 3tan tan tan αβγαβγ++=- （D ）tan tan tan tan tan tan 3αββγγα++=【答案】AB解析：22tan (tan 3)tan(60)tan tan(60)tan (13tan )βββββββ--︒+︒==-tan(60)tan tan(60)tan ββββ-︒+++︒=+3228tan 9tan 3tan tan tan 13tan 13tan βββββββ-=+=+=-- 223tan (3tan )13tan βββ-=- 所以tan tan tan tan(60)tan tan(60)3tan tan tan tan(60)tan tan(60)αβγβββαβγβββ++-︒+++︒==--︒+︒，A 正确.tan tan tan tan tan tan αββγγα++tan(60)tan tan tan(60)tan(60)tan(60)ββββββ=-︒++︒++︒-︒tan (tan(60)tan(60))tan(60)tan(60)βββββ=+︒+-︒++︒-︒ tan (tan(60)tan(60))tan(60)tan(60)βββββ=+︒+-︒++︒-︒22228tan tan 313tan 13tan ββββ-=+-- 229tan 313tan ββ-=- 3=-. 所以B 正确.（16）设函数7(,)6()22f x y xy x y =-++-，则[0,1][0,1]max{min{(,)}}y x f x y ∈∈=（A ）0 （B ）124（C ）124- （D ）[0,1][0,1]min{max{(,)}}y x f x y ∈∈【答案】BD解析：77(,)6222f x y x y x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭求[0,1]min{(,)y f x y ∈把(,)f x y 看成y 的一次函数，[0,1]77(,0) 2 212min (,)357(,1) 2212y f x x x f x y f x x x ∈⎧⎛⎫=-≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-> ⎪⎪⎝⎭⎩则[0,1]min (,)y f x y ∈在[0,1]x ∈上的最大值在712x =处取得， 所以[0,1][0,1]771max{min{(,)}}221224y x f x y ∈∈=⨯-=. 选项B 正确.[0,1]357(1,) 2212max{(,)}77(0,) 2 212x f y y y f x y f y y y ∈⎧⎛⎫=-≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-> ⎪⎪⎝⎭⎩， 则[0,1]max{(,)}x f x y ∈在[0,1]y ∈的最小值在712y =处取得， 所以[0,1][0,1]771min{max{(,)}}221224y x f x y ∈∈=⨯-=，故[0,1][0,1][0,1][0,1]max{min{(,)}}min{max{(,)}}y y x x f x y f x y ∈∈∈∈=.所以D 正确.（17）椭圆2222:1x y C a b+=的左、右焦点分别为1F 和2F ，P 为C 上的动点，则（A）当a =时，满足1290F PF ∠=︒的点P 有两个 （B）当a <时，满足1290F PF ∠=︒的点P 有四个（C ）12F PF 面积的最大值为22a（D ）12F PF 的周长小于4a 【答案】AD解析：求满足1290F PF ∠=︒的点的个数只需要求22222221x y a b x y c ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩的交点的个数，将222y c x =-代入椭圆可得222221x c x a b -+=，化简得22222222221c c b a x a b b b --=-=，即222222a b x a c-=.当a =时，0x =，因此满足1290F PF ∠=︒的点P 有两个，为短轴两个端点，A 正确；当a <时，20x <，因此满足1290F PF ∠=︒的点P 不存在，B 错误； 显然，当点P 位于短轴端点时，12F PF 面积最大，此时12122F PF Sc b bc =⋅⋅=，C 错误； 12F PF 的周长为224a c a +<，D 正确.（18）设复数z 使得10z 及10z的实部和虚部都是小于1的正数. 记z 在复平面上对应的点的集合是图形C ，则C 的面积是（A ）25752π- （B ）25702π- （C ）15752π- （D ）15702π-【答案】A解析：令z x iy =+，则101010z x y i =+，22101010()x iy z x iy x y ==+-+由题意可知22220,1101010100,1x y x y x y x y ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<++⎪⎩，则22220,101010x y x y x x y y <<⎧⎪+>⎨⎪+>⎩，图中的阴影部分就是所求的图形C ，两圆相交部分的面积为252542π-，所以 C 的面积是25252510025275422S πππ⎡⎤⎛⎫=---⨯=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 选A. （19）设n 是正整数，则定积分22120()(1sin )d n n x x x ππ--+⎰的值（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于π （D ）与n 的取值有关 【答案】A解析：令x y π-=，则22122120()(1s i n )d (1s i n )d n nn nx x x y yyππππ----+=+⎰⎰，因为212(1sin )n n y y -+是奇函数，则积分的上下限关于原点对称，所以212(1sin )d 0n n y y y ππ--+=⎰.（20）过点(1,0)F 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，则（A ）以AB 为直径的圆与直线32x =-没有公共点（B ）以FB 为直径的圆与y 轴只有一个公共点（C ）AB 的最小值为4（D ）AF 的最小值为2【答案】ABC解析：AB 时抛物线的焦点弦，焦点弦与准线1x =-相切，与32x =-相离，A 项正确；由抛物线定义知B 项也正确；当AB 垂直x 轴时，其长度最短为2p=4（此时称为通径），C 正确；||||1AF AO >=，即AF 可无限接近于1，最小值不存在，D 错误。
2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题-历年自主招生考试数学试题大全
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1 .已知函数f(x) (x2 a)e x有最小值，则函数g(x) x2 2x a的零点个数为( )A . 0 B. 1 C. 2 D.取决于a的值【答案】C【解析】注意f/(x) e x g(x)，答案C.2.已知ABC的三个内角代B,C所对的边为a, b,c .下列条件中，能使得ABC的形状唯一确定的有( )A. a 1,b 2, c ZB . A 150°, asi nA csi nC、2asi nC bsin BC . cos A si n BcosC cos(B C) cosBsi nC 0,C 60°D . a 3,b 1, A 600【答案】AD .【解析】对于选项魚由=f\a-b\<c<a±b ,于是匸有唯一取値芻符合題青；对于选项场宙正$蛙理，有/十匚’ +血心二沪，可得8汀二-芈上=1芳S无網对于选项G条件即co S Jsm(5-C) = 0;于是3主0艸叮贰60°)：(60"化訂几不符合题就对于选项D,由正弓握理，有岡占又-4 = 60%于&-S=30\C = 90%符台題意・3.已知函数f(x) x2 1,g(x) In x ,下列说法中正确的有( )A. f(x), g(x)在点(1,0)处有公切线B .存在f (x)的某条切线与g(x)的某条切线平行C . f (x), g(x)有且只有一个交点D . f (x), g(x)有且只有两个交点2【答案】BD【解析】 注意到y x 1为函数g(x)在(1,0)处的切线，如图，因此答案BD .24 •过抛物线y 4x 的焦点F 作直线交抛物线于 A, B 两点，M 为线段A.以线段AB为直径的圆与直线x2 一定相离B . | AB |的最小值为4C . |AB|的最小值为2【答案】ABPF 1F 2的面积小于等于AB 的中点.下列说法中正确的有D •以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切【解析】对于选项A ，点M的圆与直线x 1 一定相切,1 到准线x 1的距离为一(| AF || BF |)31 1进而与直线x 一定相离；对于选项B,C ，设A(4a 2,4a)，则B( 2，)，4a a1 | AB |，于是以线段 AB 为直径2是 | AB | 4a 2丄2,4a ，最小值为 4.也可将| AB|转化为AB 中点到准线的距离的 2倍去得到最小值;对于选项D ，显然 BD 中点的横坐标与 1-|BM |不一定相等，因此命题错误22x已知F 1,F 2是椭圆C^Ta2笃 1(a b 0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点.下列说法中正确的有b2b 时，满足F 1PF 2 900的点P 有两个 、2b 时，满足F 1PF 2900的点P 有四个PF i F 2的周长小于 4aC .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【答案】ABCD .!|PF 1| | PF 2 | sin F 1PF 2 2 26.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖 .比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测:甲：两名获奖者在乙、丙、丁中; 乙：我没有获奖，丙获奖了; 丙：甲、丁中有且只有一个获奖; 丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（【答案】AC【解析】 对于选项A ,B ，椭圆中使得 F 1PF 2最大的点P 位于短轴的两个端点；对于选项 C , F 1PF 2的周 长 为 2 a 2c 4a ； 选 项F 1PF 221 |PF 1| |PF 2|A •甲B .乙C .丙D •丁【答案】BD 【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可, 答案: BD .7 .已知 AB 为圆0的一条弦（非直径），0CAB 于C , P 为圆0上任意一点，直线 PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线0C 相交于点N .以下说法正确的有（A . 0,M ,B,P 四点共圆B . A,M , B, N 四点共圆C . A,O,P,N 四点共圆【解析】对于选项A , OBM OAM OPM 即得；对于选项B ，若命题成立，则 MN 为直径，必然有 MAN 为直角，不符合题意；对于选项C , MBN MOPMAN 即得.答案：AC .8 . sin A si nB sinC cos A cosBcosC 是 ABC 为锐角三角形的（A .充分非必要条件B .必要非充分条件A . tan tan tan tan tan tan【答案】B【解析】必要性：由于 sinB sinC sinB sin(— B) sinB COSB 1 , 2类似地，有 si nC si nA 1,s in B si nA 1 ，于是 sin A sin B sinC cosA COS B COS C .少有一个成立，则 n 的最大值为（【答案】B不妨假设珂:沐若集合/中的正数的个数大于等于4,由于七—旳和辺十丐均大于 碍,于是有砒十碍勺：十仇 f 从而巧三吋 矛盾！所以集合A 中至多有3个正数.同理可知集合/ 中最梦有工个员数-= 满足题意』所以"的最大值为答案11.已知 10,610, 1210，则下列各式中成立的有（）不充分性：当 AC时，不等式成立，但4ABC 不是锐角三角形.9 .已知 x, y, z 为正整数，且x y z ，那么方程1-的解的组数为（211D . 12【答案】 B【解析】由于11 1 1 3 ，故3 x2xy z x若x 3, 则（y 6)(z 6) 36 , 可得 (y,z)若x 4, 则（y 4)(z 4) 16 , 可得 (y,z)(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12); 答案:35，则—106，则（y 1 1 2,y z y20T ,y5,6，进而解得(x, y, z) (5,5,10);3)( z 3） 9，可得 (y,z)(6,6)).10.集合A ｛印忌,,a n ｝，任取1k n,a i a j Ra j a k Ra k a i A 这三个式子中至A . 8B . 106.(5,20),(6,12),(8,8);B . tan tan tan tan tan tan31 x【解析】设函数 f (x)、,4x 1，则其导函数f /(x)角，作出f(x)的图象，函数f(x)的图象在x的切线以及函数f(x)的图象过点(4,0)和(|八7)的—x —，如图，于是可得47x14x 1 4(x 丄)4，左侧等号当x -7 7 3 33时取得； 右侧等号当x 丄时取得.因此原式的最大值为21，当a b c -时取得；最小值为2 33tan tan tan tan tan tan【答案】B【答案】 BD【解析】令x tan , y tan , ztan ，则 y x z y x z.3，所以1 xy 1 yz 1 zxy z3(1 xy), z y3(1 yz), x z .3(1 zx),以上二式相加，即有 xy yz zx 3 .类似地，有11：3(丄 1),- — .3(- 1 1), 1 1「3(丄 1)，以上二式相加， 即有x y xyy z yzz xzx1 1 1x y z 3 .答案BD .xy yz zxxyz12 .已知实数 a,b, c 满足a b c 1，则 4a 1 .4b 1 ■, 4c 1的最大值也最小值乘积属于区间D .()tan tan tan tan tan tan (11,12)B . (12,13)D . (14,15)C . (13,14)114.数列｛a n ｝满足 a 11,a 22, a n 2 6a n 1a n (n N ),对任意正整数n ,以下说法中正确的有 ()2A.an 1a n 2 a n 为定值a n1(mod 9)或 a n 2(mod 9)C . 4a n 1a n7为完全平方数 8a n 1a n 7为完全平方数【答案】 A CD 【解析】 因为2 a n 3an 1 a n 2(6anan 1)an 1a n 26a n 2an 12 an 1a n 2(a n 2 6a n i ) 2an 12a n 1 an2a n ， 选项A 正确；由于 a 311，故2 an 1a n 2a n2a n 1 (6a n 1 a n ) a n2a n 12 6a n 〔a n an7,又对任意正整数恒成立，所以4a n 1a n 7(a n 1a n )2,8a n 1a n 7 (a n1 a n )2，故选项C 、D 正确.计算前几个数可判断选项B 错误.说明：若数列｛a n ｝满足a n 2pa n 1a n ，则a ； 1 a n 2a n 为定值.15 •若复数z 满足z 1，贝y z 可以取到的值有( 3—时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为7 3 ( .144, 169).答案B .2f 解析】由工+ y+ z = 1,' +$' + ' =1可得>z + zx -0・ig xy'z^c f 则X ,T ,2是关于F 的方程一岂百"叩e 等号显然可以取到.雌顷A ; B 都对.因7*5(x + v>2 = <1 -z)2 <2(^ + >2) = 2(1 -z 2),所以一严注1,尊号显瞪可次取到“故选项C 错误.13.已知 x, y,z R, x/ 2 2 2y z 1, x y z 1，则下列结论正确的有(A . xyz 的最大值为02C . z 的最大值为-3【答案】ABD4xyz 的最大值为 -27 1z 的最小值为 -3=0的三个根-令/("二"一 F - G 贝闲用耳数可得/(0) = >0膚=弓心严11c V5 1A .—B .—C .-22 2【答案】CD取得.答案CD .16.从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（）1; （2）两条相交直线上各取一点 M , N ，使得| MN |b k为定值，则线段 MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆18.关于x, y 的不定方程x 2 165 2y 的正整数解的组数为（）【解析】 因为|z|1FZ|1，故互」|z| — 1，等号分别当z2 2A . 6552B . 4536C . 3528D . 2016【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1 , 2，其余的约数均可作为正多边形的边数 构成正多边形，这样的正多边形有2016个，因此所求的正多边形的个数就是k和1008.考虑到2016 25 32 7，因此所求正多边形的个数为.设从2016个顶点中选出k 个 2016的所有约数之和减去 2016(1 2 4 8 16 32)(1 3 9)(17) 2016 1008 3528 . 答案C .17.已知椭圆2当 1(a b 0)与直线l 1 : y b12: y1x ，过椭圆上一点 P 作l 1,l 2的平行线,2分别交|1,|2于 M , N 两点.若|MN |为定值，则【答案】B . .3..5【解析】 1设点 P （x 0，y 0），可得 M x1 y 0, X 0 4 1 1 2y 0),N Jy 。
2015年北京大学清华大学自主招生高中数学试题汇编之清华大学自主招生暨领军计划试题
设
f (m) = p ，其中
m ∈ (0, 1) ，令
h1(x) =
1
2x + x2
，
hn+1(x)
=
h(hn(x))
(
n
=
1,
2,
··
·
)，则
f (hn(m)) = 2n · p, n = 1, 2, · · · ,
因此 f (x) 无界．
5. 如图，已知直线 y = kx + m 与曲线 y = f (x) 相切于两点，则 F (x) = f (x) − kx 有 ( )
A. |OA| · |OB| ⩾ 2
√ B. |OA| + |OB| ⩾ 2 2
C. 直线 AB 过抛物线 y = x2 的焦点
D. O 到直线 AB 的距离小于等于 1
解析 ABD．
设 A(x1, x21) ， B(x2, x22) ，则根据题意，有 x1x2 + x21x22 = 0 ，从而 x1x2 = −1 ．
y
y = kx + m
O
x
y = f (x)
A. 2 个极大值点 解析 BC．
B. 3 个极大值点
C. 2 个极小值点
D. 3 个极小值点
相当于以直线 y = kx + m 为 x 轴观察函数 y = f (x) 的图象的极值点．
6. △ABC 的三边分别为 a, b, c ．若 c = 2 ， ∠C = π ，且满足 sin C + sin(B − A) − 2 sin 2A = 0 ，则 ( 3
A∩B
= {(x1, y1), (x2, y2)} ，
则( )
A. 0 < a2 + b2 < 2r2 C. x1 + x2 = a ， y1 + y2 = b 解析 BCD．
2015年清华大学自主招生数学试题
2015年清华大学自主招生试题注所有选择题均为不定项选择题．1、已知非负实数\(x,y,z\)满足\(4x^2+4y^2+z^2+2z=3\)，求\(5x+4y+3z\)的最大值．2、已知\(x^2+y^2\leqslant 1\)，求\(\left|x^2+2xy-y^2\right|\)的最大值．3、如图所示，已知函数\(f(x)\)与直线\(y=kx+m\)有两个切点，则\(g(x)=kx-f(x)\)有（）A．\(3\)个极大值点B．\(2\)个极小值点C．\(2\)个极大值点D．\(4\)个极小值点4、已知\(x,y,z\in\mathcal Z\)，且\(xy+yz+zx=1\)，则\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)\)的值可能是（）A．\(16900\)B．\(17900\)C．\(18900\)D．以上都不对5、一个以\(O\)为圆心的圆上的整数格点（横纵坐标都是整数）的点的个数可能是（）A．\(4\)B．\(6\)C．\(8\)D．\(12\)6、已知\(2x+y=1\)，求\(x+\sqrt{x^2+y^2}\)的最值．7、\(50\)个黑球和\(49\)个白球排成一排，则（）A．必有一个黑球右侧白球的数量等于黑球的数量B．必有一个白球右侧白球的数量等于黑球的数量C．必有一个黑球右侧黑球的数量比白球的数量多\(1\)D．必有一个白球右侧黑球的数量比白球的数量多\(1\)8、已知\(P=\left\{(x,y)\left|x^2+y^2=r^2\right.\right\}\)，\(Q=\left\{(x,y)\left|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\right.\right\}\)，已知\(P\capQ=\left\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\right\}\)，则（）A．\(a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)=0\)B．\(2ax_1+2by_1=a^2+b^2\)C．\(0<a^2+b^2<2r^2\)D．\(x_1+x_2=a\)，\(y_1+y_2=b\)9、一个正十五边形，任取其三个顶点构成三角形，可构成多少个钝角三角形？10、已知\(\overrightarrow{a}=\left(m\cos\theta_1,m\sin\theta_1\right)\)，\(\overrightarrow{b}=\left(m\cos\theta_2,m\cos\theta_2\right)\)，定义\(\overrightarrow{a}^{\frac 12}=\left(\sqrt m\cos\dfrac{\theta_1}{2},\sqrt m\sin\dfrac{\theta_1}{2}\right)\)，\(\overrightarrow{b}^{\frac12}=\left(\sqrt m\cos\dfrac{\theta_2}{2},\sqrtm\sin\dfrac{\theta_2}{2}\right)\)，则（）A．\(\left|\overrightarrow{a}^{\frac 12}\cdot \overrightarrow{b}^{\frac 12}\right|\)B．\(\left|\overrightarrow{a}^{\frac 12}+\overrightarrow{b}^{\frac12}\right|\geqslant 4\sqrt{mn}\cos^2\dfrac{\theta}{2}\)C．\(\left|\overrightarrow{a}^{\frac 12}-\overrightarrow{b}^{\frac12}\right|\geqslant 4\sqrt{mn}\sin^2\dfrac{\theta}{2}\)D．11、一个抛物线\(y^2=2px\)上有两个点\(A\)、\(B\)，则（）A．\(AB\)过抛物线焦点B．\(OA\cdot OB\leqslant ?\)C．\(OA^2+OB^2\leqslant ?\)D．\(O\)到\(AB\)的距离小于\(1\)12、点集\(A=\left\{(x,y)\left|\dfrac{\sin\pi x}{x^2-x+1}=y\right.\right\}\)，则（）A．曲线有对称轴B．\(A\subseteq \left\{(x,y)\left|-\dfrac 12\leqslant y\leqslant \dfrac12\right.\right\}\)C．曲线有对称中心。
2016清华大学自主招生暨领军计划数学试题(精校word版,带解析)-历年自主招生考试数学试题大全
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．取决于a 的值 【答案】C【解析】注意)()(/x g e x f x=，答案C ．2． 已知ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ∆的形状唯一确定的有（ ）A ．Z c b a ∈==,2,1B ．B bC a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+=C ．060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A D ．060,1,3===A b a【答案】AD ．3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2=-=，下列说法中正确的有（ ） A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点【答案】BD【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线23-=x 一定相离 B ．||AB 的最小值为4 C ．||AB 的最小值为2D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切 【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为||21|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2a a A ，则)1,41(2a a B -，于是2414||22++=aa AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等，因此命题错误．5．已知21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有（ ） A ．b a 2=时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B ．b a 2>时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个C ．21F PF ∆的周长小于a 4D ．21F PF ∆的面积小于等于22a【答案】ABCD ．【解析】对于选项A ，B ，椭圆中使得21PF F ∠最大的点P 位于短轴的两个端点；对于选项C ，21PF F ∆的周长为ac a 422<+；选项D ，21PF F ∆的面积为22212121212||||21sin ||||21a PF PF PF F PF PF =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∠⋅． 6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测： 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中； 乙：我没有获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个获奖； 丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD ．7．已知AB 为圆O 的一条弦（非直径），AB OC ⊥于C ，P 为圆O 上任意一点，直线PA 与直线OC 相交于点M ，直线PB 与直线OC 相交于点N ．以下说法正确的有（ ） A ．P B M O ,,,四点共圆 B ．N B M A ,,,四点共圆 C ．N P O A ,,,四点共圆D ．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A ，OPM OAM OBM ∠=∠=∠即得；对于选项B ，若命题成立，则MN 为直径，必然有MAN ∠为直角，不符合题意；对于选项C ，MAN MOP MBN ∠=∠=∠即得．答案：AC ． 8．C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++是ABC ∆为锐角三角形的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】必要性：由于1cos sin )2sin(sin sin sin >+=-+>+B B B B C B π，类似地，有1sin sin ,1sin sin >+>+A B A C ，于是C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++． 不充分性：当4,2ππ===C B A 时，不等式成立，但ABC ∆不是锐角三角形．9．已知z y x ,,为正整数，且z y x ≤≤，那么方程21111=++z y x 的解的组数为（ ） A ．8B ．10C ．11D ．12【答案】B 【解析】由于xz y x 311121≤++=，故63≤≤x ． 若3=x ，则36)6)(6(=--z y ，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(=z y ； 若4=x ，则16)4)(4(=--z y ，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(=z y ； 若5=x ，则6,5,320,211103=≤≤+=y y y z y ，进而解得)10,5,5(),,(=z y x ； 若6=x ，则9)3)(3(=--z y ，可得))6,6(),(=z y ． 答案：B ．10．集合},,,{21n a a a A =，任取A a a A a a A a a n k j i i k k j j i ∈+∈+∈+≤<<≤,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B11．已知000121,61,1===γβα，则下列各式中成立的有（ ） A ．3tan tan tan tan tan tan =++αγγββαB ．3tan tan tan tan tan tan -=++αγγββαC ．3tan tan tan tan tan tan =++γβαγβαD ．3tan tan tan tan tan tan -=++γβαγβα【答案】BD 【解析】令γβαtan ,tan ,tan ===z y x ，则3111=+-=+-=+-zxzx yz y z xy x y ，所以)1(3),1(3),1(3zx z x yz y z xy z y +=-+=-+=-，以上三式相加，即有3-=++zx yz xy ．类似地，有)11(311),11(311),11(311+=-+=-+=-zxx z yz z y xy y x ，以上三式相加，即有3111-=++=++xyzzy x zx yz xy ．答案BD ． 12．已知实数c b a ,,满足1=++c b a ，则141414+++++c b a 的最大值也最小值乘积属于区间（ ）A ．)12,11(B ．)13,12(C ．)14,13(D ．)15,14(【答案】B【解析】设函数14)(+=x x f ，则其导函数142)(/+=x x f ，作出)(x f 的图象，函数)(x f 的图象在31=x 处的切线321)31(7212+-=x y ，以及函数)(x f 的图象过点)0,41(-和)7,23(的割线7174+=x y ，如图，于是可得321)31(7212147174+-≤+≤+x x x ，左侧等号当41-=x 或23=x 时取得； 右侧等号当31=x 时取得．因此原式的最大值为21，当31===c b a 时取得；最小值为7，当23,41=-==c b a 时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37∈．答案B ．13．已知1,1,,,222=++=++∈z y x z y x R z y x ，则下列结论正确的有（ ） A ．xyz 的最大值为0 B ．xyz 的最大值为274- C ．z 的最大值为32D ．z 的最小值为31-【答案】ABD14．数列}{n a 满足)(6,2,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++，对任意正整数n ，以下说法中正确的有（ ）A ．n n n a a a 221++-为定值 B ．)9(mod 1≡n a 或)9(mod 2≡n aC ．741-+n n a a 为完全平方数D ．781-+n n a a 为完全平方数 【答案】ACD 【解析】因为2112221122213226)6(++++++++++++-=--=-n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a nn n n n n n a a a a a a a 22121122)6(++++++-=+-=，选项A 正确；由于113=a ，故76)6(2121121221-=+-=--=-++++++n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ，又对任意正整数恒成立，所以211211)(78,)(74n n n n n n n n a a a a a a a a +=--=-++++，故选项C 、D 正确．计算前几个数可判断选项B 错误．说明：若数列}{n a 满足n n n a pa a -=++12，则n n n a a a 221++-为定值．15．若复数z 满足11=+zz ，则z 可以取到的值有（ ） A ．21B ．21-C ．215-D ．215+ 【答案】CD 【解析】因为11||1||=+≤-zz z z ，故215||215+≤≤-z ，等号分别当i z 215+=和i z 215-=时取得．答案CD ．16． 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ） A ．6552 B ．4536 C ．3528 D ．2016 【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个顶点中选出k 个构成正多边形，这样的正多边形有k2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．考虑到732201625⨯⨯=，因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(=--++++++++．答案C ．17．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与直线x y l x y l 21:,21:21-==，过椭圆上一点P 作21,l l 的平行线，分别交21,l l 于N M ,两点．若||MN 为定值，则=ba（ ） A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C【解析】设点),(00y x P ，可得)2141,21(),2141,21(00000000y x y x N y x y x M +--++，故意2020441||y x MN +=为定值，所以2,1641422===b a b a ，答案：C ．说明：（1）若将两条直线的方程改为kx y ±=，则kb a 1=；（2）两条相交直线上各取一点N M ,，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或椭圆．18． 关于y x ,的不定方程y x 21652=+的正整数解的组数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数c b a ,,相乘的时候，可以有 ),(),(,)(,)(ca b ab c c ba c ab 等等不同的次序．记n 个实数相乘时不同的次序有n I 种，则（ ）A ．22=IB ．123=IC ．964=ID ．1205=I 【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得1121221)!1(!1------=⋅==n n n n nn n n C n n C nA C I ．答案：AB ． 关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是 ． 【答案】0.165【解析】根据概率的乘法公式 ，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0=⨯+⨯．21．在正三棱锥ABC P -中，ABC ∆的边长为1．设点P 到平面ABC 的距离为x ，异面直线CP AB ,的距离为y ．则=∞→y x lim ．【答案】23 【解析】当∞→x 时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC ∆中AB 边上的高，为23． 22．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，中心为A A E A BC BF O 1141,21,==，则四面体OEBF 的体积为 ．【答案】196【解析】如图，EBF G EBF O OEBF V V V --==21961161212111=⋅==--B BCC E GBF E V V ．23．=+-⎰-dx x x n n )sin 1()(22012ππ ．【答案】0【解析】根据题意，有0)sin 1()sin 1()(21222012=+=+-⎰⎰---dx x x dx x x n n n n ππππ．24．实数y x ,满足223224)(y x y x =+，则22y x +的最大值为 ． 【答案】1【解析】根据题意，有22222322)(4)(y x y x y x +≤=+，于是122≤+y x ，等号当2122==y x 时取得，因此所求最大值为1．25．z y x ,,均为非负实数，满足427)23()1()21(222=+++++z t x ，则z y x ++的最大值与最小值分别为 ． 【答案】2322- 【解析】由柯西不等式可知，当且仅当)0,21,1(),,(=z y x 时，z y x ++取到最大值23．根据题意，有41332222=+++++z y x z y x ，于是,)(3)(4132y z y x z y x +++++≤解得2322-≥++z y x ．于是z y x ++的最小值当)2322,0,0(),(-=yz x 时取得，为2322-． 26．若O 为ABC ∆内一点，满足2:3:4::=∆∆∆COA BOC AOB S S S ，设AC AB AO μλ+=，则=+μλ ．【答案】23【解析】根据奔驰定理，有329492=+=+μλ． 27．已知复数32sin32cos ππi z +=，则=+++2223z z z z ． 【答案】1322i - 【解析】根据题意，有i i z z z z z z 232135sin 35cos 122223-=+=-=+=+++ππ． 28．已知z 为非零复数，zz 40,10的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形的面积为 . 【答案】20010033003π+-【解析】设),(R y x yi x z ∈+=，由于2||4040z z z =，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥,140,140,110,1102222y x y y x x y x 如图，弓形面积为1003100)6sin 6(20212-=-⋅⋅πππ，四边形ABCD 的面积为100310010)10310(212-=⋅-⋅. 于是所示求面积为30031003200)1003100()1003100(2-+=-+-ππ. 29．若334tan =x ，则=+++xx x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin ． 【答案】3【解析】根据题意，有xx x x x x x x x x x cos sin cos 2cos sin 2cos 4cos 2sin 4cos 8cos 4sin +++ 38tan tan )tan 2(tan )2tan 4(tan )4tan 8(tan ==+-+-+-=x x x x x x x x ．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个44⨯的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法．【答案】44100031．设A 是集合}14,,3,2,1{ 的子集，从A 中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A 中元素个数的最大值为 ．【答案】8【解析】一方面，设},,,{21k a a a A =，其中141,*≤≤∈k N k ．不妨假设k a a a <<< 21．若9≥k ，由题意，7,33513≥-≥-a a a a ，且1335a a a a -≠-，故715≥-a a ．同理759≥-a a ．又因为1559a a a a -≠-，所以1519≥-a a ，矛盾！故8≤k ．另一方面，取}14,13,11,10,5,4,2,1{ A ，满足题意． 综上所述，A 中元素个数的最大值为8．。
2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题及解答1
2016年清华大学自主招生fi领军计划数学试题】.己知函数/(x)=(x2+a)e x有最小值，则函数g(x)=x2+2x+a的零点个数为()A.O B.l C.2 D.取决于a的值2.己知AABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.下列条件中，能使得MBC的形状唯一确定的有()A.a=l,b=2,c e ZB.J=150°,asin^+csinCV2asinC=8sin8C.cos A sin B cos C+cos(B+C)cos BsinC=0,C=60°D.a=-x/3,b=\,A=60°3.已知函数/(x)=x2-l,g(x)=lnx,下列说法中正确的有()A.y(x),g(x)在点(1,0)处有公切线b.存在y(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行C./(x),g(x)有且只有一个交点D./(x),g(.r)有且只有两个交点4.过抛物线r=4x的焦点F作直线交抛物线于8两点，A/为线段*8的中点.下列说法中正确的有()A.以线段AB为直径的圆与直线x=-2—定相离2B.|48|的最小值为4C.\AB\的最小值为2D.以线段BM为直径的圆与*轴一定相切5.己知片,％是椭圆C：W+£=l(a>B>0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点.下列说法中正确的有()A.a = 4ib 时，满足』咿2=90。
的点P 有两个B. a>41h 时，满足/鸟P%=90°的点尸有四个CWF\F*的周长小于4。
D. 中旦的面枳小于等于号6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两人获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测:甲：两名获奖者在乙、丙、丁中：乙：我没有获奖，丙获奖了：丙：甲、丁中有且只有一个获奖：T ：乙说得对.巳知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ）A.甲B.乙C.丙D.T7. 己知0?为圆O 的一条弦（非直径），OC1AB 于C, P 为圆O 上任意一点，直线P4与直线OC 相交于点A/，直线户8与直线OC 相交于点N.以下说法正确的有（）A.O,M,B,P 四点共圆C. A,O,P,N 四点共圆B. A,M ，B,N 四点共圆D.以上三个说法均不对8.sin/ + sin3 + sinC>cos/+cosB + cosC 是MBC 为锐角三角形的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.己知x,*,z 为正整数，Rx<y<z,那么方程+ - + - = -的解的组数为（ ）x y z 2A. 8 B.10 C.ll D.12io .集合/ = ｛《,务,•••,〃”｝，任取1</< j <k <12,0^ a ’ g A,aj +a A g A,a k +a i &A 这三个式子中至少有一个成立，则n 的最大值为（A.6 B.7 C.8 D.9)】】.己知a=1°,尸=61°,/=121°,则下列务式中成立的有(A.tan a tan“+tan tan/+tan/tan a=3)B.tan a tan"+tan“tan/+tan/tan a=-3C tana+tan/?+tan/_tan a tan§tan/D tana+tan0+tan/_tan a tan ft tan y12.己知实数a,b,c满足a+力+c=1,则J4o+1+】4b+ l+』4c+l的最大值与最小值的乘积属于区间()A.(l1,12)B.(12,13)C.(13,14)D.(14,15)13.己知x,y,ze7?,x+y+z=l,x2+y2+z2=\,则下列结论正确的有()4A.»n的最大值为0 B.宓的最大值为-万21C.z的最大值为5D.z的最小值为-与14.数列｛%｝满足a,=l,a,=2,a…+2=6a B+1-a…(n eN'),对任意正整数〃，以下说法中正确的有()A.。
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）
）
）
C．5 D．6
27、设非负实数 x,y 满足 2x+y=1，则 x A．最小值为 4/5 B．最小值为 2/5 C．最大值为 1 D．最大值为
x 2 y 2 的（
）
1 2 3
）
28、对于 50 个黑球和 49 个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（
A．存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 B．存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 C．存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 D．存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个
6 ， an1
n3 an ，则（ n
）
C．∃n∈N* ，an 为完全平方数 D．∃n∈N* ，an 为完全立方数
22、在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（
）
1 cos sin 1 B． 2 sin 1 C． 2 cos 1 D． 1+2sin
3
）
15、设随机事件 A 与 B 互相独立，且 P(B)=0.5，P(A−B)=0.2，则（ A．P(A)=0.4 B．P(B−A)=0.3 C．P(AB)=0.2 D．P(A+B)=0.9
）
16、过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ A．最小值为 3/4 B．最小值为 4/5 C．最大值为 4/3 D．最大值为 5/4 17、从正 15 边形的顶点中选出 3 个构成钝角三角形，则不同的选法有（ A．105 种 B．225 种 C．315 种 D．420 种 18、已知存在实数 r，使得圆周 x2+y2=r2 上恰好有 n 个整点，则 n 可以等于（ A．4 B．6 C．8 D．12 19、设复数 z 满足 2|z|⩽|z−1|，则（ A．|z|的最大值为 1 B．|z|的最小值为 1/3 C．z 的虚部的最大值为 2/3 D．z 的实部的最大值为 1/3 ） ）
1 1 z2 = =1 2 1 z 1 z 1 z2
7
）
）
20、设 m,n 是大于零的实数，向量 a=(mcosα, msinα)，b=(ncosβ, nsinβ)，其中 α,β∈[0,2π)．定义
1
向量 a 2
1
( m cos
1
, m sin ) ， b 2 ( n cos , n sin ) ，记 θ=α−β，则（ 2 2 2 2
1
，且 sinC+sin(B−A)−2sin2A=0，则（ 3
）
3
C．△ABC 的面积为
2 3 3 2 3 3
D．△ABC 的外接圆半径为
7、设函数
f ( x) ( x 2 3)e x ，则（
）
A．f(x)有极小值，但无最小值 B．f(x)有极大值，但无最大值 C．若方程 f(x)=b 恰有一个实根，则 b
y 4 (2 x2 2) y 2 ( x4 2 x2 ) 0 ，则（
）
1 1 ⩽y⩽ } 2 2
6
2015 年清华大学自主招生暨领军计划 数学试题参考答案
【部分试题解析】 1、选 B
1 3 z= i 2 2
1 3 1 3 1 3 z 2 =( i)( i) i 2 2 2 2 2 2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12、长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=2，AD=AA1=1，则 A 到平面 A1BD 的距离为（ A． ）
1 3 2 B． 3
C．
2 2 6 3
x y 2 所表示的区域为 D，其面积为 S，则（ y 2 k ( x 1)
D．
13、设不等式组
）
A．若 S=4，则 k 的值唯一 B．若 S=1/2，则 k 的值有 2 个 C．若 D 为三角形，则 0<k⩽2/3 D．若 D 为五边形，则 k>4 14、△ABC 的三边长是 2,3,4，其外心为 O，则 OA AB OB BC OC CA （ A．0 B．−15 C．−21/2 D．−29/2
）
A． a 2 B． a
1 2
a 2 =a
Hale Waihona Puke b = mn cos1 2 2
1 2
2
C．
a b
1 2
4 mn sin 2
4
4
D．
a +b
1 2
1 2 2
4 mn cos 2
4
21、设数列{an}满足： a1 A．∀n∈N* ，an<(n+1)3 B．∀n∈N* ，an≠2015
2015 年清华大学自主招生暨领军计划 数学试题
说明：本试卷共 30 小题，共 100 分．在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题 目要求的．全部选对的，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的，得 0 分．
1、设复数 z A．0 B．1 C．1/2 D．3/2
cos
）
2
B．2 C．3 D．4 10、 设数列{an}的前 n 项和为 Sn， 若对任意正整数 n， 总存在正整数 m， 使得 Sn=am， 则 （ A．{an}可能为等差数列 B．{an}可能为等比数列 C．{an}的任意一项均可写成{an}的两项之差 D．对任意正整数 n，总存在正整数 m，使得 an=Sm 11、运动会上，有 6 名选手参加 100 米比赛，观众甲猜测：4 道或 5 道的选手得第一名；观众乙 猜测： 3 道的选手不可能得第一名； 观众丙猜测： 1,2,6 道选手中的一位获得第一名； 观众丁猜测： 4,5,6 道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有 1 人 猜对比赛结果，此人是（ ） ）
6 e3 6 e3
D．若方程 f(x)=b 恰有三个不同实根，则 0 b
8、已知 A {( x, y)
x 2 y 2 r 2 } ， B {( x, y) ( x a)2 ( y b)2 r 2 } ，已知
）
A∩B={(x1,y1),(x2,y2)}，则（ A． 0 a
A．
23、设函数
f ( x)
sin x ，则（ x2 x 1
）
A． f(x)⩽4/3 B． |f(x)|⩽5|x| C．曲线 y=f(x)存在对称轴 D．曲线 y=f(x)存在对称中心 24、△ABC 的三边分别为 a,b,c，若△ABC 为锐角三角形，则（ A． sinA>cosB B． tanA>cotB C． a2+b2>c2 D． a3+b3>c3 25、设函数 f(x)的定义域是(−1,1)，若 f(0)=f′(0)=1，则存在实数 δ∈(0,1)，使得（ A． f(x)>0，x∈(−δ,δ) B． f(x)在(−δ,δ)上单调递增 C． f(x)>1， x∈(0,δ) D． f(x)>1， x∈(−δ,0) 26、在直角坐标系中，已知 A(−1,0)，B(1,0)．若对于 y 轴上的任意 n 个不同点 P1,P2,⋯,Pn，总存 在两个不同点 Pi,Pj，使得|sin∠APiB−sin∠APjB|⩽1/3，则 n 的最小值为（ A．3 B．4
2
b2 2r 2
B． a( x1 x2 ) b( y1 y2 ) 0 C． x1 +x2 D． a
2
a ， y1 +y2 b
b2 =2ax1 2by1
9、已知非负实数 x,y,z 满足 4 x A．1
2
4 y 2 z 2 2 z 3 ，则 5x 4 y 3z 的最小值为（
29、从 1,2,3,4,5 中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如 12231，则能 得到的不同的五位数有（ A．300 个 B．450 个 C．900 个 D．1800 个 ）
30、设曲线 L 的方程为 A．L 是轴对称图形 B．L 是中心对称图形 C．L⊂{(x,y)|x2+y2⩽1} D．L⊂{(x,y)|
5、如图，已知直线 y=kx+m 与曲线 y=f(x)相切于两点，则 F(x)=f(x)−kx 有（ A．2 个极大值点 B．3 个极大值点 C．2 个极小值点 D．3 个极小值点 ）
1
6、△ABC 的三边分别为 a,b,c．若 c=2，∠C= A． b=2a B．△ABC 的周长为 2+2
2 2 1 1 ，则 =（ i sin 3 3 1 z 1 z2
）
2、设{an}为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l”是“ap+aq>ak+al”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3、设 A,B 是抛物线 y=x2 上的两点，O 是坐标原点．若 OA⊥OB，则（ A．|OA|⋅|OB|⩾2 B．|OA|+|OB|⩾2 ）
2
C．直线 AB 过抛物线 y=x2 的焦点 D．O 到直线 AB 的距离小于等于 1 4、设函数 f(x)的定义域为(−1,1)，且满足： ① f(x)>0，x∈(−1,0)； ②
x y f ( x) f ( y ) f ( ) ，x,y∈(−1,1)， 1 xy
）
则 f(x)为（
A．奇函数 B．偶函数 C．减函数 D．有界函数