第5讲 仿真中的随机变量与随机数(简版)

解：假设开始无顾客，顾客到达、服务开始和结束都在每 分钟开始时进行， 顾客到达随机数：抛硬币，正面（1）---有顾客到来； 反面（0）---无顾客到来 服务时间随机数：摸球， 3白2黑，白球，5分钟， 黑球，8分钟。 模拟过程: ……….
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可见，通过完全的随机抽样或调查可以产生随机序列。
x1 , x 2 , L , x n
设x是[a,b]上均匀分布的随机变量，其密度分布函数为
⎧ 1 , a≤ x≤b ⎪ f ( x) = ⎨ b − a ⎪0 , 其他 ⎩
其累积分布函数为
x<a ⎧0, ⎪x−a ⎪ F ( x) = ⎨ , a≤ x≤b ⎪b − a x>b ⎪ ⎩1,
x−a , 令：u=F(x)= b−a 则:x = a+ (b - a)u
60 min × 16 / 2 = 240(个） 2
240 （个） × 2 min = 480 min = 8h 8h / 16h = 50%
¾ 该例中的随机系统的统计结果，请同学们用仿真实验来验证它。
¾ 修改参数后再仿真
系统参数 加工设备数/台 加工顺序 零件到达间隔/min 零件加工时间/min 确定性系统 2 FIFO 轮流使用2台设备 1.2 2 随机系统 2 FIFO 轮流使用2台设备 均值1.2的指数分布 1-3的均匀分布
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¾ 概率分布：如果样本空间上的所有随机事件都确定 了概率，这些概率构成样本空间的一个概率分布。 一个只有一个服务员的理发馆系统，每天8小时工 作制。所有到达的顾客都在这个理发馆排队，等待理 发。经过统计，顾客到达的间隔时间出现的概率为
间隔时间x 概率密度p(x) 累积概率F(x)
1 0.125 0.125
−λ x f ( x ) = λ e ( x ≥ 0) 指数分布的密度函数：
其累积分布函数
F ( x) = ∫ f ( x)dx = 1 − e
0
x
− λx
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指数分布的密度函数：
f ( x) = λ e − λ x ( x ≥ 0)
其累积分布函数由下式算得：
F ( x) = ∫ f ( x)dx = 1 − e
x2 L xk p2 L pk
L L
（3）图示法
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对随机现象进行模拟，实质上是要给出随 机变量的模拟。也就是说利用计算机随机地产 生一系列数值，它们的出现服从一定的概率分 布,则称这些数值为随机数。
定义12：设X的概率密度函数为 则X为[0,1]上均匀分布函数。在计算机上可产 生X的抽样序列 { xn } ，通常称xn为[0,1]上均匀分 布的随机变量的随机数。
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最简单的，令 X~U(0,1)，则 P(X>1/2)=0.5, （X>1/2表示正面出 现），用计算机产生 服从U(0,1)分布的一 些随机数Xi,若Xi>1/2, 认为X>1/2发生（硬币 正面出现了），将结 果记录与累加就成了 掷硬币仿真，程序如 下
clc n=1000 %test number m=0; % face frequency for i=1:n r=rand; if r>0.5 m=m+1; end end m rate=m/n %face rate
加同余法 线性同余法 具有较好的 统计性质
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常用方法
线性同余法 递推公式为
⎧xn+1 ≡ (axn + c)(mod M ) ⎨ ⎩rn+1 = xn+1 M
当a=1时， 加同余法； 当c=0时， 乘同余法； 当a≠1、c≠0时，线性 同余法
其中，a为乘子，x0为种子，c为常数，M为模。
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【例2】用线性同余法产生至少10个随机数，其中： M=3,a=97,c=3,x0=71。
当我们需要快速地获得大量的随机数时。用计 算机产生这样的随机数是非常方便的，用数学方法 在计算机上产生的随机数称为伪随机数。
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一.产生随机数的方法
在物流系统仿真中，能否产生具有一定性能要求 的随机数，是确定仿真结果是否可信的重要因素之一。
一般计算机上，产生随机数的函数为[0，1) 均匀分布的随机数。
如何确定已知分布的随机变量的值？
1 0.125 1 2 0.125 2 3 0.125 3 4 0.125 5 0.125 4 6 0.125 5 7 0.125 6 8 0.125
间隔时间x 概率密度p(x)
服务时间
概率
0.1
0.2
0.3
0.25
0.10
0.05
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¾ 样本生成函数
¾ 又叫做样本发生器，是已知分布形态，生成符合该种分 布的样本值。是分布Æ样本的过程。
设 xk (k=1,2, …)是离散型随机变量 X 所取的一 切可能值，称
P{ X = xk } = pk , k = 1, 2,L 为离散型随机变量X的概率分布，或称为分布列。
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离散型随机变量表示方法
（1）公式法
P{ X = xk } = pk , k = 1, 2,L
（2）列表法
X
pk
x1 p1
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仿真结果
仿真次数 正面朝上 概率 1 509 0.509 2 484 0.484 3 520 0.52 4 492 0.492
仿真长度均为1000，每次的仿真结果却不同。
请分析产生这种现象的原因？
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5.4 仿真模型中随机变量值的产生
¾ 前面的讨论表明了统计分布对实际的不确定性活动进 行建模的重要性。通常，随机系统中的这些不确定性 事件的相关变量，如Ai、Si是用具有某种统计分布的 随机变量来进行建模的。 ¾
x1 x2
x3
•
x4
X
ω •1
ω •2
离散型随机变量 随 机 变 量
Ω
ω
• 3
ω4
如“投掷一个骰子出现的点数”，“理发馆顾客数”等。
连续型随机变量
如，“电灯泡的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等。
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定义9：某些随机变量X的所有可能取值是有 限个或可数个, 这种随机变量称为离散型随 机变量。 教材P31
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3.逆变换法生成离散型经验分布随机变量
【例4】 一个只有一个服务员的理发馆系统，每天8小时工作
制。所有到达的顾客都在这个理发馆排队，等待理发。经过 统计，顾客到达的间隔时间出现的概率为
间隔时间x 概率密度p(x) 累积概率F(x)
40 h 3
¾ 该例中的随机系统的统计结果，请同学们用仿真实验来验证它。 ¾ 该例清楚地反映了确定性系统与随机性系统的不同。造成这种不 同的根本原因就是随机系统中的随机事件。
3
5.2 随机事件与概率
¾ 随机实验：一个可观察结果的人工或自然过程， 所产生的结果可能不止一个，但事先不能确定会 产生什么结果。例：骰子 ¾ 样本空间：一个随机实验的全部可能出现的结果 的集合，记为Ω 。 Ω={1，2，3，4，5，6} ¾ 随机事件E：一个随机实验的一些可能的结果，是 样本空间的一个子集，通常用A,B,C…表示。
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二.随机变量值的产生方法
¾ ¾ ¾ ¾ ¾ 逆变换法--指数分布、均匀分布、经验分布 卷积法—近似正态分布 合成法 取舍法 函数变换法
¾ 下面假定一个已经完全确定的分布，来寻找方法生成 这个分布的随机函数样本，以输入仿真模型使用。
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1. 逆变换法生成指数分布的随机变量值
¾ 指数分布常用于模拟排队系统的到达间隔时间以 及服务时间。这种模型中，λ代表每单位时间内到 达数量的均值，而1/λ则表示每到达一个的平均间 隔时间。
余类推，接下来的随机数是： 0.113，0.964，0.511，0.570，0.293，0.424，0.131，0.710， 0.873，0.684，0.351，0.050，0.853…
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【例3】设a=5，c=3，M=8，取X0=1，用线性同余法求随机数列Y
⎧ xn +1 ≡ 5 xn + 3(mod 8) ⎨ ⎩rn +1 = xn +1 8 5x0＋3=8， x1=0，r1=0 5x1＋3=3, x2=3，r2=0.375 5x2＋3=18，x3=2，r3=0.25 5x3＋3=93， x4=5，r4=0.625 5x4＋3=468， x5=4，r5=0. 5 5x5＋3=2343， x6=7，r6=0. 875 5x7＋3=11718， x6=6，r6=0. 75 5x8＋3=58593， x6=1，r7=0. 125 5x9＋3=292968， x9=0，r9=0
0
x
− λx
=u
1
F(x)的反函数： x = −
1
λ
ln(1 − F ( x)) = −
λ
ln(1 − u )
因为u是[0,1）上均匀分布的随机数，所以 (1-u)也是[0,1)上均匀分布的随机数，简化为
x=−
1
λ
ln u
即每一个输出x的值是服从指 数分布的随机变量值
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2. 逆变换法生成均匀分布的随机变量值
2 0.125 0.25
3 0.125 0.375
4 0.125 0.5
5 0.125 0.625
6 0.125 0.75
7 0.125 0.875
8 0.12Βιβλιοθήκη Baidu 1
教材P19
5
5.3 随机变量与随机数
¾ 随机变量：对于随机试验E的每一个可能结果ω∈Ω， 都有唯一的一个实数值 X(ω)相对应，称X(ω)为随机 变量，简记为 X 。
第5讲 第5讲 仿真中的随机变量与随机数 仿真中的随机变量与随机数
5.1 确定性系统与随机系统
¾ 确定性系统 ¾ 随机性系统
¾ 如果状态变化结果及时间间隔具备某种不确定性，则成为随机系统。
¾ 如果系统状态变化的结果和时间间隔可以预先完全确定，则称确定性系统。
¾例
系统有两台相同设备，对单一零件进行加工。有表3.1所示的确定性系统和 随机性系统这两种情况。仿真观测连续工作16h后，两种情况各自的状态。
¾ 随机数--在[0，1)之间的随即采样值 ¾ 特点--均匀性和独立性 ¾ 常用的产生办法 ¾ 线形同余法 ¾ 中值平均法
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【例1】理发店的服务过程仿真
一个理发店有一位服务员，顾客随机地到达该理发店, 每5分钟有一个顾客到达和没有顾客到达的概率均是1/2 , 其中60%（3/5）的顾客理发仅用5分钟,另外40%（2/5）的 顾客用8分钟 ，试对前50分钟的情况进行仿真。
教材P32
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⎧1, x ∈ [0,1] f ( x) = ⎨ ⎩0, x ∉ [0.1] ，
例：将一枚硬币连掷两次，观察正反面出现的情况。
掷硬币有两个结果：正面朝上（用A表示）和正面 朝下（用B表示），其概率都是0.5。 仿真不用真的抛掷硬币，而是构造一个随机变量 X，X在某范围内取值的概率是0.5 （作为事件A，对立 事件是B），用计算机产生随机数，根据随机数判断A是 否发生（认为硬币正面是否出现），从而达到掷硬币实 验的目的。
2
¾ 仿真结果如表3.3
系统运行状态 确定性系统 设备1 共加工零件/个 设备利用率/% 设备前的最长排队长度 400 83.3 1 设备2 400 83.3 1 设备1 406 84.8 10 随机系统 设备2 400 83.3 9
60 min × 16 / 2 = 400(个） 1.2
400（个） × 2 min = 800 min = 40 h /16h = 83.3% 3
¾ 伪随机数
¾ 按照一定的计算方法产生的一列数，使它们具有类似于 均匀随机变量的性质，称这样产生的一系列数值为伪随 机数。 ¾ 计算机仿真模型产生随机变量的方法一般是，首先通过 某种算法产生一个[0,1)区间均匀分布的随机数u，然后 采样逆变换法或其他方法产生服从某种分布的随机变量x。
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下面介绍如何用计算机来模拟随机变量值的方法 ¾ 随机数的产生
⎧ xn +1 ≡ 97 xn + 3(mod1000) 得递推公式 ⎨ ⎩rn +1 = xn +1 1000
97x0＋3=6890， x1=890，r1=0.890 97x1＋3=86333, x2=333，r2=0.333 97x2＋3=32304，x3=304，r3=0.304 97x3＋3=29491，x4=491，r4=0.491 97x4＋3=47630， x5=630，r5=0.630
系统参数 加工设备数/台 加工顺序 零件到达间隔/min 零件加工时间/min 确定性系统 2 FIFO 轮流使用2台设备 2 2 随机系统 2 FIFO 轮流使用2台设备 均值2的指数分布 1-3的均匀分布
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¾ 仿真结果如表3.2
系统运行状态 确定性系统 设备1 共加工零件/个 设备利用率/% 设备前的最长排队长度 240 50 1 设备2 240 50 1 设备1 255 53.6 3 随机系统 设备2 251 52 3