晶面指数六方晶系的晶面指数标定
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（100）、（010）、（110）、 （110）、（120）等晶面
[001]
晶带定律：凡是属于 [uvw]晶
带的晶面，它的晶面指数必须
O
符合hu ＋kv＋lw＝0
晶面间距 ：是两个相邻的平行晶面间的垂直距离，通常 用dhkl 或 d 表示。
晶面间距是现代测试中一个重要的参数。在简单点阵中， 通过晶面指数（ hkl ）可以方便地计算出相互平行的一组 晶面之间的距离 d。
O
Y
●
X
Z
练习
●
O X
Y
晶向符号 [221]
[001]
[111]
●
●
常见的晶向指数
O
●
[100]
●
[010]
4、晶带、晶面间距和晶面夹角
晶带：在晶体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有
晶面属于同一晶带。
? 同一晶带中包含不同的晶面，这些晶面的交线互相平行。
? 晶带由所平行的轴向的晶向指数表示。
[001]晶带包含的晶面有：
(001)
(110)
(100)
(010)
(111)
晶面指数的几点说明 ：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c 三晶轴方向。 2°指数中某一数为“ 0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例 如(hk 0)晶面平行于c轴。因交点为? ，倒数为零。
3° (hkl ）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面 。
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
? cos2 ?
? cos2 ? )
?
[
h
2
sin a2
2
?
k 2 sin2 ? ? b2
l 2 sin2 ? ? c2
?
2hk (cos? ab
cos ?
? cos? )
? 2kl (cos ? cos? ? cos? ) ? 2hl (cos? cos? ? cos ? )]
bc
ac
例 : 某 斜 方 晶 体 的 a=0.742nm, b=0.494nm,
正交（立方、四方、 斜方晶系）
1 h2 k2 l2
d
2 hkl
?
a2
?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b2
?
c2
a、b、c为晶胞参数
单斜
[ 了解 ]
1 d2
hkl
?
h2
a2 sin2 ?
?
k2 b2
?
l2
c2 sin2 ?
?
2hl cos ? ac sin2 ?
三斜
1 d2
hkl
?
(1 ?
2 cos?
cos ?
cos ?
1 ? cos2 ?
晶面指数的确定方法
1°确定平面与晶胞三个坐标轴的交点坐标（平面不能通过原点） 2°取在三个坐标轴上截距的倒数。
3°消除分数，把它们化为互质的最小整数h、k、l。负数用上划
线表示。 4°用（）括起来，记为（hkl ）
0,0,1 1,0,0
1°确定交点坐标，X轴：1/2、 Y轴：1、 Z轴：1
2°取倒数 2、1、1 3°消除分数 2、1、1 4°晶面指数（211）
3° (hkl ）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面 。
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数[120]
大小、形状。【物相分析】
4-3 六方晶系指数表示
? 上面我们用三个指数 表示晶面和晶向。这 种三指数表示方法， 原则上适用于任意晶 系。对六方晶系，取 a， b，c 为晶轴，而 a 轴 与 b 轴的夹角为 120°， c 轴与 a，b 轴相垂直， 如右图所示。
? 但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向
c=0.255nm, 计算d110和d200。
1 h2 k2 l2
d
2 hkl
?
a2
?
b2
?
c2
1
12
12
d2 110
?
7.4172
?
4.9452
1
22
d2 200
?
7.4172
得出：d110 =0.41nm, d200=0.37nm
（4）衍射方向（衍射角θ）的确定
将布拉格方程和晶面间距公式联系起来，可得到不同晶系 的衍射方向。
如：立方晶系，晶面间距公式为
1 d
2?
h2 a2
?
k2 b2
?
l2 c2
＝ h2 ＋ k2 ＋ l2 a2
d＝? /（2sin?）
? 2（ h2 ＋ k2 ＋ l2 ）
∴ sin2 ?＝
4a2
已知晶胞参数的（hkl）晶面，当已知波长? ，可确定衍射方向；
反之，通过测定衍射方向，可以确定晶胞参数，即可确定晶胞的
有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面
和晶向不具有类似的指数。这一点可以从上
图看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面
和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒
指数（Miller Indices）却分别是 (110) 和(100)。
图中夹角为 60°的两个密排方向 D1 和 D2 是 晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别
是 [100]
和[110]
。
? 由于等价晶面或晶向不具有类似的指数， 人们就无法从指数判断其等价性，也无法由 晶面族或晶向族指数写出它们所包括的各种 等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大 的不便。为了克服这一缺点，或者说，为了 使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指 数，对六方晶体来说，就得放弃三指数表示， 而采用四指数表示。
0,1,0
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
1,0,0
0,1,0 晶面指数（233）
常见的晶面指数
(001)
(110)
(100)
(010)
(111)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c 三晶轴方向。 2°指数中某一数为“ 0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例 如(hk 0)晶面平行于c轴。因交点为? ，倒数为零。
O
Y
●
X
Z
练习
●
O X
晶向符号 [221]
Y
[001]
[111]
●
●
常见的晶向指数
O
●
[100]
● [010]
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
1,0,0
0,1,0 晶面指数（233）
常见的晶面指数
[001]
晶带定律：凡是属于 [uvw]晶
带的晶面，它的晶面指数必须
O
符合hu ＋kv＋lw＝0
晶面间距 ：是两个相邻的平行晶面间的垂直距离，通常 用dhkl 或 d 表示。
晶面间距是现代测试中一个重要的参数。在简单点阵中， 通过晶面指数（ hkl ）可以方便地计算出相互平行的一组 晶面之间的距离 d。
O
Y
●
X
Z
练习
●
O X
Y
晶向符号 [221]
[001]
[111]
●
●
常见的晶向指数
O
●
[100]
●
[010]
4、晶带、晶面间距和晶面夹角
晶带：在晶体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有
晶面属于同一晶带。
? 同一晶带中包含不同的晶面，这些晶面的交线互相平行。
? 晶带由所平行的轴向的晶向指数表示。
[001]晶带包含的晶面有：
(001)
(110)
(100)
(010)
(111)
晶面指数的几点说明 ：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c 三晶轴方向。 2°指数中某一数为“ 0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例 如(hk 0)晶面平行于c轴。因交点为? ，倒数为零。
3° (hkl ）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面 。
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
? cos2 ?
? cos2 ? )
?
[
h
2
sin a2
2
?
k 2 sin2 ? ? b2
l 2 sin2 ? ? c2
?
2hk (cos? ab
cos ?
? cos? )
? 2kl (cos ? cos? ? cos? ) ? 2hl (cos? cos? ? cos ? )]
bc
ac
例 : 某 斜 方 晶 体 的 a=0.742nm, b=0.494nm,
正交（立方、四方、 斜方晶系）
1 h2 k2 l2
d
2 hkl
?
a2
?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b2
?
c2
a、b、c为晶胞参数
单斜
[ 了解 ]
1 d2
hkl
?
h2
a2 sin2 ?
?
k2 b2
?
l2
c2 sin2 ?
?
2hl cos ? ac sin2 ?
三斜
1 d2
hkl
?
(1 ?
2 cos?
cos ?
cos ?
1 ? cos2 ?
晶面指数的确定方法
1°确定平面与晶胞三个坐标轴的交点坐标（平面不能通过原点） 2°取在三个坐标轴上截距的倒数。
3°消除分数，把它们化为互质的最小整数h、k、l。负数用上划
线表示。 4°用（）括起来，记为（hkl ）
0,0,1 1,0,0
1°确定交点坐标，X轴：1/2、 Y轴：1、 Z轴：1
2°取倒数 2、1、1 3°消除分数 2、1、1 4°晶面指数（211）
3° (hkl ）中括号代表一组互相平行、面间距相等的晶面 。
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数[120]
大小、形状。【物相分析】
4-3 六方晶系指数表示
? 上面我们用三个指数 表示晶面和晶向。这 种三指数表示方法， 原则上适用于任意晶 系。对六方晶系，取 a， b，c 为晶轴，而 a 轴 与 b 轴的夹角为 120°， c 轴与 a，b 轴相垂直， 如右图所示。
? 但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向
c=0.255nm, 计算d110和d200。
1 h2 k2 l2
d
2 hkl
?
a2
?
b2
?
c2
1
12
12
d2 110
?
7.4172
?
4.9452
1
22
d2 200
?
7.4172
得出：d110 =0.41nm, d200=0.37nm
（4）衍射方向（衍射角θ）的确定
将布拉格方程和晶面间距公式联系起来，可得到不同晶系 的衍射方向。
如：立方晶系，晶面间距公式为
1 d
2?
h2 a2
?
k2 b2
?
l2 c2
＝ h2 ＋ k2 ＋ l2 a2
d＝? /（2sin?）
? 2（ h2 ＋ k2 ＋ l2 ）
∴ sin2 ?＝
4a2
已知晶胞参数的（hkl）晶面，当已知波长? ，可确定衍射方向；
反之，通过测定衍射方向，可以确定晶胞参数，即可确定晶胞的
有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面
和晶向不具有类似的指数。这一点可以从上
图看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面
和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒
指数（Miller Indices）却分别是 (110) 和(100)。
图中夹角为 60°的两个密排方向 D1 和 D2 是 晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别
是 [100]
和[110]
。
? 由于等价晶面或晶向不具有类似的指数， 人们就无法从指数判断其等价性，也无法由 晶面族或晶向族指数写出它们所包括的各种 等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大 的不便。为了克服这一缺点，或者说，为了 使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指 数，对六方晶体来说，就得放弃三指数表示， 而采用四指数表示。
0,1,0
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
1,0,0
0,1,0 晶面指数（233）
常见的晶面指数
(001)
(110)
(100)
(010)
(111)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c 三晶轴方向。 2°指数中某一数为“ 0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例 如(hk 0)晶面平行于c轴。因交点为? ，倒数为零。
O
Y
●
X
Z
练习
●
O X
晶向符号 [221]
Y
[001]
[111]
●
●
常见的晶向指数
O
●
[100]
● [010]
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
1,0,0
0,1,0 晶面指数（233）
常见的晶面指数