正态总体的常用抽样分布

又由抽样分布定理知
( n 1) S 2

2
~ 2 ( n 1) ,
于是据 t 分布的定义得
X n1 X ( n 1) S 2 n1 n

即
( n 1)
2
~ t ( n 1) ,
Z
X n1 X S
n n1
~ t ( n 1) .
12
二、样本均值差和联合样本方差的分布
即
Φ( 0.05 n ) 0.975 ,
n 1 . 96 , n 1536.64 ,
查 表 得 0 . 05
即 应 取 n 1537 .
5
例2 设 某 厂生 产 的灯 泡 的使 用寿 命 X ~ N (1000, ) (单位:小时). 今抽取一容量为 9 的样本,得到 s 100 ,

(3) T
X S/ n
~ t ( n 1) .
20
设 两 个 正 态 总 体 X ~ N ( 1 , 1 ) , Y ~ N ( 2 , 2 ) 相 互
2 2
独 立,分别抽取样本 ( X 1 , X 2 ,, X n1 ) 和 (Y1 , Y2 ,, Yn2 ) ，
2
2

(X n
i 1
1
n
i
) 2 } ;
2 2
P{
n 2

( X i )2
i 1
n
f (x )

2
2
2n}
O

2 ( n )
P{8 (16) 32}
x
P{ 2 (16) 8} P{ 2 (16) 32}
0.95 0.01 0.94 .
t (n )
x
P{ X 940} 0.056 .
7
例3 设 总 体 X ~ N ( , 2 ) , ( X 1 , X 2 , , X n ) ( n 16)
是 来 自 X 的 样 本,求 概 率
(1)
P{
2
2

(X n
i 1
1
n
i
) 2 } ;
2 2
2. 设 总 体 X ~ N ( 0 , 1) , ( X 1 , X 2 , , X 5 ) 是 来 自 X 的 样 本 ,设
2
2
(1) U
( X Y ) ( 1 2 )
2 12 / n1 2 / n2
~ N (0,1)
2 (2) 当 12 2 2 时 ， ( X Y ) 1 2） （ T ~ t ( n1 n2 2) ， 1 1 S xy n1 n2 2 2 ( n1 1) S X ( n2 1) SY 2 . 其中联合样本方差 S xy 13 n1 n2 2
第三节
1
一、样本均值和样本方差的分布
设 总 体 X ~ N ( , ) ，样本 ( X 1 , X 2 , , X n ) ，
2
1. 样本均值 X ~ N(,

2
n
).
证 由于正态分布具有可加性，即相互独立的正态 变量的线性组合仍为正态变量，而前已证明 2 E( X ) , D( X ) ， 所以
n
样本方差
设总体的期望和方差分别为 E( X ) , D( X ) 2 ,
则有
E( X ) , D( X )
2
n
，E( S ) .
2 2
18
统计三大分布：
(1) X 1 , X 2 , , X n 相 互 独 立 ,且 X i ~ N ( 0 , 1) , 则
S (5) F S
2 X 2 Y
~ F ( n1 1, n2 1) .
2 1 2 2
n1 n2 2
21
练习：
P171 习题六
22
补充题：
1. 设总体 X 的期望为 ,方差为
2
,若至少要以 95% 的
概 率 保 证 X 0 .1 , 问 样 本 容 量 n 应 取 多 大 ?
Z X n1 X S n n1
) , X n 1 ~ N ( , ) , 故
2
2
解
因 X ~ N ( ,
来自百度文库2
n
X n 1 X ~ N ( 0,
2
n
),
标准化得
X n1 X

n1 n
~ N ( 0 , 1) ,
11
X n1 X

n1 n
~ N ( 0 , 1) ,
设 两 个 正态总体 X ~ N ( 1 , ) , Y 下面讨论一下两个正态总体的情况.~ N ( 2 , ) 相互独立,分别抽 取样本 ( X 1 , X 2 ,, X n1 ) 和 (Y1 , Y2 ,, Yn2 ) ，
2 1 2 2
各 自 的 样 本 均值和样本方差分别记为X , Y , S X , SY ,则
2 1 n ( 2 ) P{ ( X i X ) 2 2 2 } . 2 n i 1
解 由分布定理知,
( X i )2
i 1
n
( X i X )2
i 1
n


2
~ ( n) ,
2
( n 1) S
2

2

2
~ ( n 1) .
2
8
(1)
P{
0.90 0.005 0.895 .
10
例4 设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是来自正态总体 X ~ N ( , )
2
的样本 ,其样本均值和样本方差分别为 X , S ,X n 1 是对
2
X 的 又 一 次 独 立 观 测 值 ,求 下 面 统 计 量 的 概 率 分 布 :
2
~ 2 ( n1 n2 2 ) .
且U与V相互独立,则
T U V /( n1 n2 2 )

( X Y ) 1 2） （ S xy 1 1 n1 n 2
16
~ t ( n1 n2 2 ) .
二、样本方差比的分布
设 两 个 正态总体 X ~ N ( 1 , 1 ) , Y ~ N ( 2 , 2 )
n1 n2 2
,
则有 V
2 ( n1 n2 2 ) S xy

2
~ 2 ( n1 n2 2 ) .
15
---联合样本方差的分布
U
( X Y ) ( 1 2 )
12
n1

2 2
~ N ( 0 ,1) .
n2
V
2 ( n1 n2 2 ) S xy
2 2
相互独立,分别抽 取样本 ( X 1 , X 2 ,, X n1 ) 和 (Y1 , Y2 ,, Yn2 ) ，
2 2 S X 和 SY 为 各 自 的 样 本 方 差, 则
S F S
证
2
2 X 2 Y
~ F ( n1 1, n2 1) .
2 1 2 2
2 ( n 2 1) S Y
2
2 2 S X , S Y 相 互 独 立 ，由 2 分 布 的 可 加性,有 且
V
2
2 ( n1 1) S X

2
2 1
2

2 ( n2 1) SY

2 2
~ ( n1 n2 2) .
2
2 因为 1 2 , 记 S xy
2 2 ( n1 1) S X ( n2 1) SY
( n 1) S
2
2
~ 2 ( n 1) ，
X
/n
与
( n 1) S 2

2
相互独立，
由
t 分布的定义,
T X
/n
2
( n 1) S 2 2 ( n 1)

X S/ n
~ t ( n 1) .
4
例1 设总体 X ~ N ( , 4 ) , 若要以 95%的概率保证样本均值 X 与总体期望 的偏差小于 0.1, 问样本容量 n 应取多大? 4 解 因 X ~ N ( , 4) , 故 X ~ N ( , ) , 所 以 n 0 .1 ) 1 0.95 , P{ X 0 .1} 2Φ ( / n

2
( X i )2 ~ 2 (n)
i 1
n
~ t ( n 1) . ~ N (0, 1) ,
( n 1) S 2
( n 1) S 2 ~ 2 ( n 1) ,
证 U
且
/ n
2
2
X
/n
与

2
相 互独立，
3
X
/ n
且
2
~ N (0, 1) ，
9
( 2)
P{

2
2

n
1 n
( X i X ) 2 2 2 }
i 1
n
P{
n 2

( X i X )2
i 1
f (x )

2
2
2n}
O

2 ( n )
P{8 (15) 32}
2 2
x
P{ (15) 8} P{ (15) 32}
F
X /m Y /n
~ F ( m , n) .
19
抽样分布定理：
设 总 体 X ~ N ( , ) ，样本 ( X 1 , X 2 , , X n ) ，
2
(1) X ~ N ( ,
2
n
)， U
X
/ n
~ N (0, 1)
( n 1) S 2 2 (2) ~ ( n 1) 2
X ~ N ( ,
2
n
n
).
标准化 U
X
/ n
~ N (0, 1) .
2
1. 样本均值 X ~ N(,

2
2.
( n 1) S
n
).
2
2

2

1
2
( X i X ) ~ 2 ( n 1) .
i 1
n
3. X 与 S 相互独立； 注：
2
1
4.
t
X S/ n X
6
T
X 1000 S/ 9
~ t (8) ,
P{ X 940} P{T 1.8} ,
令 t ( 8 ) 1 .8 ,
查表得
t 0.1 ( 8 ) 1.3968 , t 0.05 ( 8 ) 1.8595 ,
用线性插值得 0.056 . 故
t (n ) O
标准化,即得

2 1
n1


2 2
n2
).
U
( X Y ) ( 1 2 )

2 1
n1


2 2
~ N ( 0 ,1) .
n2
14
(2)
2 ( n1 1) S X

2 1
~ ( n1 1) ，
2
2 ( n 2 1) S Y

2 2
~ ( n 2 1) ，
X X X ~ ( n) .
2 2 1 2 2 2 n
2
(2) 设 X ~ N ( 0 ,1 ) , Y ~ ( n ) , 且 X , Y 相互独立,
2
T
X Y n
~ t ( n) .
2 2 (3) 设 X ~ ( m ) , Y ~ ( n ) , 且 X,Y 相互独立,
( n1 1) S
2 X

2 1
~ 2 ( n1 1) ，
22
~ 2 ( n 2 1) ，
且 S X 与 S Y 相 互 独 立 , 由F分布的定义可得结论.
17
2
小结
样本均值
1 X Xi n i 1
1 n 1 n 2 2 2 2 S ( X i X ) n 1 X i nX n 1 i 1 i 1
(4) U ( X Y ) ( 1 2 ) ~ N (0,1) 2 12 / n1 2 / n2
( X Y ) 1 2） （ T ~ t ( n1 n2 2) ， 1 1 S xy n1 n2 2
其 中 S xy
2
2 ( n1 1) S X ( n2 1) SY
(1) U
( X Y ) ( 1 2 )
2 12 / n1 2 / n2
~ N (0,1)
证 (1) X ~ N ( 1 ,

2 1
n1
) ，Y ~ N ( 2 ,

2 2
n2
)，
且 X 与 Y 相 互 独 立， 由正态分布的可加性,可得
X Y ~ N ( 1 2 ,
2
试 求 P{ X 940} .
2 2 ), 由于题中 未知, 故不能用 X ~ N ( , 分析 n X 2 2
用 S 代 替 , 构 造 统 计 量T
~ t ( n 1) .
解
因为 T
X 1000
S/ n
~ t (8) ,
S/ 9 X 1000 940 1000 故 P{ X 940} P{ } 100 / 3 100 / 3 P{T 1.8} ,