图论 图基本概念
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度为偶数(奇数)的顶点称为偶度(奇度)顶点.
有环的结点提供的度为2（有向图的环提供入度1和出度1）
3）定义：ᅀ(G)=max{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最大的度 δ(G)=min{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最小的度 简记为ᅀ、 δ
定义：ᅀ＋(D)=max{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的入度 ᅀ－(D)=max{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的出度 δ＋(D)=min{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的入度 δ-(D)=min{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的出度
4、结点的度 1）定义4 设G＝<V，E>为无向图，∀ v ∈V，称v作为边的端点次数之和为v 的度数，简记为度记作d G(v)， 简记为dG(v)即为：结点v 所关联的边的总条数 关于有向图D＝<V，E> 有： ∀v ∈V，称v 作为边的始点的次数之和为v的出度，记作d- (v)， 称v作为边的终点的次数之和为v的入度，记作d+ (v)， 称d+(v) + d-( v)为 v的度数，记作dD (v) 2) 称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边 根据结点的度数可将结点分为：
第四部分 图论 第 十四 章 图的基本概念
一、图的概念 1、无序积定义：设A，B为任意的两个集合， 称 ｛｛a，b｝ ┃ a∈A ∧b∈B ｝为A与B的无序积，记作A & B 2、图的定义 1） 定义1 一个无向图是一个有序的二元组 < V，E >，记作G，其中 (1) V ≠ ø称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2) E称为边集，它是无序积V＆V的多重子集，其元素称为无向边， 简称为边． 无向图G = < V，E > 其中 V＝｛v1,v2,v3,v4 ｝
（2）序列的可图化： d=(d1,d2,…dn) 对一个整数序列d,若存在以n个顶点的n阶无向图G，有d(vi)=di 称该序列是可图化的
（3）定理 设非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，则d是可图化的当且仅当 ∑di = 0 (mod 2) (序列之和必须是偶数)
（4）由于简单图中没有平行边及环
若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别是称N1为平凡图
4) 常用ek表示无向边(vi，vj)( 或有向边<vi，vj> ) 设G＝<V，E> 为无向图，ek = (vi，vj)∈E， 则称vj，vj为ek的端点， ek与vi、vj是彼此相关联的． 起终点相同的边称为环 不与任何边关联的结点称为孤立点（包括有向向图)
边集合E＝｛<v1,v2>,<v1,v2>,<v2,v3>,<v3,v2>,<v2,v2> ,<v1,v3>,<v3,v1>｝ 尖括号 （与前面的关系的图表示相当）
3、有关图的术语 1）用G表示无向图，D表示有向图。 有时用V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集， 2）用 ｜V(G)｜ ，｜E(G)｜分别表示G的顶点数和边数(有向图类似） 若｜V(G)｜ ＝n，则称G为n阶图。对有向图可做类似规定。 3）在图G中，若边集E(G)＝ø，则称G为零图
5）邻接： 边的相邻：ek，el∈E．若ek与el至少有一个公共端点，则称ek与el是相邻的 顶点的相邻： 若∃et∈E，使得et = < vi，vj>，
则称vi为et的始点，vj为et的终点， 并称vi邻接到vj，vj邻接于vi
两个结点为一条边的端点，则称两个结点互为邻接点， 也称边关联于这两个结点，或称两个结点邻接于此边。
结论：n个结点的简单图中结点的最大度数（△（G)）应小于等于n-1
每个结点至多与其他n-1个结点相邻
例：给定5个序列哪些是可图化的？哪些是可简单图化的？
d1={5,5,4,4,2,1} d2={5,4,3,2,2}
d3=Biblioteka Baidu3,3,3,1} d4={4,4,3,3,2,2}
二、图的同构
定义 设G1＝<Vl，E1> ，G2=<V2，E2>为两个无向图(两个有向图)，
6）平行边： 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平 行边的条数称为重数． 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些边的始点与终 点相同(也就是它们的方向相同)，则称这些边为平行边．
7）多重图和简单图：含平行边的图称为多重图 既不含平行边也不含环的图称为简单图．（主要讨论简单图）
若存在双射函数f：V1 → V2
顶点的一一对应
对于∀ vi，vj∈V1，(vi，vj) ∈E1 (<vi，vj>∈ E1)
当且仅当(f(vi)，f(vj))∈E2 (<f(vi)，f(vj)> ∈E2)， 边的对应
并且(vi，vj) (<vi,vj>)与(f(vi),f(vj))(<f(vi),f(vj)>)的重数相同，
3) 推论 任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数
4) 结点的度数序列
(1) 设G＝<V，E>为一个n阶无向图，V＝{v1，v2，…，vn} 称d(v1)，d(v2)， …，d(vn) 为G的度数列
注：由于推论可知，不是任何一个非负整数序列均可作为一个图的度数列。
条件：奇度数的结点个数应该是偶数个
边集合E＝｛(v1,v2), (v2,v3),(v3,v2), (v3,v1),(v2,v2),(v2,v2),
(v1,v2),｝ 园括号表示无向边
2） 定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 (1) V ≠ ø称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2)E为边集，它是笛卡儿积 V ⅹ V的有穷多重子集，其元素称为有向边， 简称边(弧)． 有向图D=<V，E> 其中 V＝｛v1,v2,v3 ｝
5、握手定理（欧拉） 1)定理1 设G＝<V,E>为任意无向图,V＝{v1，v2，…，vn},｜E｜ = m，
则 ∑d(vi) ＝ 2 m (所有结点的度数值和为边数的2倍) 证: G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和 时，每条边均提供2度，当然，m条边共提供2m度
2) 定理2 设D＝<V,E>为任意有向图,V＝{v1，v2，…，vn},|E| = m ， 则 ∑d+(vi) ＝ ∑ d-(vi) = m． 且∑d(vi)＝2 m
有环的结点提供的度为2（有向图的环提供入度1和出度1）
3）定义：ᅀ(G)=max{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最大的度 δ(G)=min{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最小的度 简记为ᅀ、 δ
定义：ᅀ＋(D)=max{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的入度 ᅀ－(D)=max{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的出度 δ＋(D)=min{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的入度 δ-(D)=min{d(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的出度
4、结点的度 1）定义4 设G＝<V，E>为无向图，∀ v ∈V，称v作为边的端点次数之和为v 的度数，简记为度记作d G(v)， 简记为dG(v)即为：结点v 所关联的边的总条数 关于有向图D＝<V，E> 有： ∀v ∈V，称v 作为边的始点的次数之和为v的出度，记作d- (v)， 称v作为边的终点的次数之和为v的入度，记作d+ (v)， 称d+(v) + d-( v)为 v的度数，记作dD (v) 2) 称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它关联的边称为悬挂边 根据结点的度数可将结点分为：
第四部分 图论 第 十四 章 图的基本概念
一、图的概念 1、无序积定义：设A，B为任意的两个集合， 称 ｛｛a，b｝ ┃ a∈A ∧b∈B ｝为A与B的无序积，记作A & B 2、图的定义 1） 定义1 一个无向图是一个有序的二元组 < V，E >，记作G，其中 (1) V ≠ ø称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2) E称为边集，它是无序积V＆V的多重子集，其元素称为无向边， 简称为边． 无向图G = < V，E > 其中 V＝｛v1,v2,v3,v4 ｝
（2）序列的可图化： d=(d1,d2,…dn) 对一个整数序列d,若存在以n个顶点的n阶无向图G，有d(vi)=di 称该序列是可图化的
（3）定理 设非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，则d是可图化的当且仅当 ∑di = 0 (mod 2) (序列之和必须是偶数)
（4）由于简单图中没有平行边及环
若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别是称N1为平凡图
4) 常用ek表示无向边(vi，vj)( 或有向边<vi，vj> ) 设G＝<V，E> 为无向图，ek = (vi，vj)∈E， 则称vj，vj为ek的端点， ek与vi、vj是彼此相关联的． 起终点相同的边称为环 不与任何边关联的结点称为孤立点（包括有向向图)
边集合E＝｛<v1,v2>,<v1,v2>,<v2,v3>,<v3,v2>,<v2,v2> ,<v1,v3>,<v3,v1>｝ 尖括号 （与前面的关系的图表示相当）
3、有关图的术语 1）用G表示无向图，D表示有向图。 有时用V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集， 2）用 ｜V(G)｜ ，｜E(G)｜分别表示G的顶点数和边数(有向图类似） 若｜V(G)｜ ＝n，则称G为n阶图。对有向图可做类似规定。 3）在图G中，若边集E(G)＝ø，则称G为零图
5）邻接： 边的相邻：ek，el∈E．若ek与el至少有一个公共端点，则称ek与el是相邻的 顶点的相邻： 若∃et∈E，使得et = < vi，vj>，
则称vi为et的始点，vj为et的终点， 并称vi邻接到vj，vj邻接于vi
两个结点为一条边的端点，则称两个结点互为邻接点， 也称边关联于这两个结点，或称两个结点邻接于此边。
结论：n个结点的简单图中结点的最大度数（△（G)）应小于等于n-1
每个结点至多与其他n-1个结点相邻
例：给定5个序列哪些是可图化的？哪些是可简单图化的？
d1={5,5,4,4,2,1} d2={5,4,3,2,2}
d3=Biblioteka Baidu3,3,3,1} d4={4,4,3,3,2,2}
二、图的同构
定义 设G1＝<Vl，E1> ，G2=<V2，E2>为两个无向图(两个有向图)，
6）平行边： 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，则称这些边为平行边，平 行边的条数称为重数． 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且这些边的始点与终 点相同(也就是它们的方向相同)，则称这些边为平行边．
7）多重图和简单图：含平行边的图称为多重图 既不含平行边也不含环的图称为简单图．（主要讨论简单图）
若存在双射函数f：V1 → V2
顶点的一一对应
对于∀ vi，vj∈V1，(vi，vj) ∈E1 (<vi，vj>∈ E1)
当且仅当(f(vi)，f(vj))∈E2 (<f(vi)，f(vj)> ∈E2)， 边的对应
并且(vi，vj) (<vi,vj>)与(f(vi),f(vj))(<f(vi),f(vj)>)的重数相同，
3) 推论 任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数
4) 结点的度数序列
(1) 设G＝<V，E>为一个n阶无向图，V＝{v1，v2，…，vn} 称d(v1)，d(v2)， …，d(vn) 为G的度数列
注：由于推论可知，不是任何一个非负整数序列均可作为一个图的度数列。
条件：奇度数的结点个数应该是偶数个
边集合E＝｛(v1,v2), (v2,v3),(v3,v2), (v3,v1),(v2,v2),(v2,v2),
(v1,v2),｝ 园括号表示无向边
2） 定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 (1) V ≠ ø称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2)E为边集，它是笛卡儿积 V ⅹ V的有穷多重子集，其元素称为有向边， 简称边(弧)． 有向图D=<V，E> 其中 V＝｛v1,v2,v3 ｝
5、握手定理（欧拉） 1)定理1 设G＝<V,E>为任意无向图,V＝{v1，v2，…，vn},｜E｜ = m，
则 ∑d(vi) ＝ 2 m (所有结点的度数值和为边数的2倍) 证: G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和 时，每条边均提供2度，当然，m条边共提供2m度
2) 定理2 设D＝<V,E>为任意有向图,V＝{v1，v2，…，vn},|E| = m ， 则 ∑d+(vi) ＝ ∑ d-(vi) = m． 且∑d(vi)＝2 m