数学期望的几种求法

E{η| ξ = x}φξ( x) dx =
-∞
0
x 2
dx
=
1 4
.
除了上述一些思考方法外 , 还有“待定系数
法”、“变换法”、“利用概率积分法”、“利用 r 函
数或β函数法”、“构造方程法”等 , 这里省略 , 应
用时应灵活应用.
参考文献
[1 ] 朱松涛. 概率论与数理统计 [ M]1 济南 : 山东大学 出版社 , 1997. 5.
第 19 卷 第 5 期 Vol. 19 No. 5
洛阳师范学院学报
Journal of Luoya ng Teachers College
2000 Oct .
年 10 月 2000
数学期望的几种求法
唐秋晶1 , 蒋传凤2
(11 济宁师专数学系 , 山东济宁 272000 ; 21 滕东中学数学组 , 山东滕州 2775000)
[2 ] 魏宗舒. 概率论与数理统计 [ M]1 北京 : 高等教育 出版社.
摘 要 : 本文从实践的角度 , 给出了计算数学期望的几种方法. 关键词 : 数学期望 ; 特征函数 中图分类号 : O211 文献标识码 : A 文章编号 : 1009 - 4970 (2000) 05 - 0013 - 02
Calculatio n abo ut Mathmatic s Exp ectatio n
k=o
k=o
n
6 =
k
=
o
k
·
k
!(
n! n-
k)
! pk (1
-
p) n- k
n
6 =
k =1
n! ( k - 1) !( n -
k) ! pk (1 -
p) n- k
6 =
n
np
k =1
(k
(n - 1)
- 1) ! !( n -
k)
! pk - 1 (1
-
p) n- k
n
6 = np Ckn--11 pk - 1 (1 - p) n- k k =1
由于 r. vξ的特征函数定义为 f ( t) = E ( eiξt ) ,
又有性质
E (ξk)
=
1 ikf
( k)
(
o)
,
于是 ,
若
r.
vξ的数
学期望存在 , 只须对它的特征函数求一阶导数即
可 , 因此特征函数提供了一条求数学期望的捷
径.
例 3 设ξ～ N (μ, σ2) , 求 E (ξ) 1
随机变量 (简记为 r. v)ξ的数学期望 E(ξ) 是
刻划 r. vξ取值平均程度的一个重要数字特征 ,
它在理论和实践中都有广泛的应用. 然而由于 r.
v 的分布形式不同 , 数学期望的求法也变化多
样 , 且同种分布其解法也有多种 , 技巧性较强 ,
本文结合实例给出若干求 r. v 数学期望的处理
收稿日期 : 2000 - 05 - 31 作者简介 : 唐秋晶 (1973 - ) 女 , 回族 , 山东济宁人 , 讲师 , 理学学士.
·14 ·
洛阳师范学院学报
2000 年
解 因为正态分布的特征函数为
f ( t)
=
eiut -
1σ2 2
2
t
,
于是
E (ξ)
=
1 i
i
∫+ ∞
-
E (ξm
∞
=
x) φn ( x)
dx 是计算条件期望的两个
公式 , 可用此二公式求得.
例 5 设ξ～ U [0 , 1 ] , 当ξ = x 时 , η～
U[0 , x ] , 求 E (η) .
解
由题意
E{η| ξ =
x}
=
x 2
,0
<
x
< 1,
∫ ∫ + ∞
1
于是 E (η) =
Abstract : In the paper , the authors gave several methods about the calculation of mathmatics expectation. Key words : mathnatics expectation ; characteristic function
p ( k :λ) = λk e - λ, k = 0 , 1 , 2 …;λ> 0 的数
k!
学期望.
解 E (ξ)
=
k
∞
6k
=o
·λk
k!
e
-
λ
=
λe
-
λ
∞
6
k=1
λk - 1 ( k - 1)
!
=λe
-
λ
i
∞
6
=o
λi
i!
=λe
-
λ·eλ =λ
( i = k - 1)
3 利用 r. vξ的特征函数求解
n- 1
6 = np Cin- 1 pi (1 - p) n- i - 1 = np ( i = k - 1) i=o
2 利用特殊级数求和法求解
此法是计算离散型 r. v 数学期望常用的一
种方法 , 它是先通过数学手段将 6 xkpk 转化成某 k
—特殊级数 , 然后求和获解.
例 2 求参数为λ的普阿松分布
(ξ) 等于各加项的数学期望之和 , 这种思考方法
带有一定的普遍性.
例 4 设 r. vξ服从超几何分布
hm =
Cmn
·CNn
-
CNn
m M
,
m = 0 , 1 …n , 求
E (ξ)
解 设想一个相应的不放回抽样 , 令
ξi =
1 第 i 次抽得废品 i = 1 , 2 …n 0 第 i 次抽得正品 ;
TANG Qiu2jing1 , J IANG Chuan2feng2 (11 Department of Math , Jining Normal College , Jining 272000 , China ;
21 Tengdong Middle School , Tengzhou 277500 , China)
( eiut -
1σ2 2
2
t)
′| t
=
o
=
1 i
[ ( iu
-
1 2
σ2·2
t
)
eiut -
wk.baidu.com
12σ2·t2
]t =
o
= μ.
∞
6 4 利用数学期望的性质 E( ξi) = i =1 ∞ 6 E (ξi) 求解 i =1
如果能将ξ表示成若干个 r. v 的和 , 而每个
加项的分布容易求出 , 或者数学期望已知 , 则 E
则
p{ξi = 1}
=
M N
,
因此
E (ξi)
=
M N
,
而ξ=ξ1
+ξ2
+ …+ξn 表示 n 次抽样中抽出的废品数 , 它服从
n
n
6 6 超几何分布 , 于是 E(ξ) = E ( ξi) = E (ξi)
i =1
i =1
=
nM N
.
5 利用条件期望公式求解
6 E(ξ) =
pi E (ξ | n = xi) 或 E (ξ) =
技巧和思考方法.
6 ∫+ ∞
1 利用
i
pi
= 1或
<( x) dx
-∞
=1
求解
例 1 设 r. vξ服从二项分布 B ( k ; n , p) ,
求 E (ξ)
解 因为 p{ξ= k} = Cknpk (1 - p) n - k , k = 0 , 1 , 2 ……n ,
n
n
6 6 所以 E(ξ) = kp{ξ = k} = k ·Ckn ·pk (1 - p) n- k