数学期望的几种求法
数学期望(二维)
求 随 机 变 量 函 数 Y X 2的 数 学 期 望 .
解 : (法 一 ) 先 求 Y的 分 布 律 为
E(Y )
4
y p
k 1 k k
0 0.25 1 0.40 4 0.25 9 0.10
2.30
(法 二 )
E(Y )
E( X
2)
x p 6
k 1
2 k
k
(2) 2 0.10 (1)2 0.10 02 0.25
)]
k
1
g
(
x
k
)
pk
（2）设X是连续型随机变量，其概率密度为f (x).
若
广
义
积
分
g(x)
f
(x)dx绝
对
收
敛
，
则
E ( Y ) E [ g ( X )] g ( x ) f ( x ) d x
Note：此定理简单易用！若先求出Y的分布,很多题目要复杂的多．
例 2 设 随 机 变 量 X的 分 布 律 为
数学期望（二维）
二维随机变量的数学期望
定义1 对 二 维 随 机 变 量 （ X , Y ） , 它 的 数 学 期 望 为
E（X ,Y） E ( X ), E ( Y )
离散型 P { X xi , Y y j } pij ,
E ( X ) x i p i•
xi p ij ,
i1
i1 j1
连续型 （ X ,Y）, f ( x , y )
i, j 1, 2,
哦 E ( Y )
j 1
y j p j
该公式可y p接i 应1 用j 1
直
ij
！j
数学期望的计算方法探讨
数学期望的计算方法探讨X覃光莲(华中农业大学理学院数学与信息科学系, 湖北武汉430070)摘要本文探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法: 利用一些特殊求和与积分公式、利用数学期望定义的不同形式、利用随机变量分布的对称性、全期望公式以及特征函数等,以期对该内容的学习和教学有所启发。
关键词数学期望全期望公式特征函数中图分类号G642 文献标识码 A随机变量的数学期望是反映随机变量取值的集中位置的一个重要数字特征, 随机变量的其它数字特征都是通过数学期望来定义的, 因此数学期望的计算问题显得非常重要。
求随机变量的数学期望从模型本身来讲, 无非是计算EX = Σ∞i = 1x i P( X = x i) 或EX =∫+ ∞- ∞x p ( x ) dx ,但涉及到随机变量分布的各具体场合,其计算又有很多变化和技巧。
下面结合具体场合, 介绍一些简化计算数学期望的不同方法。
一、利用一些特殊的求和与积分公式(一) X 是离散型随机变量时, EX = Σ∞i =1x i P( X = x i)在计算离散型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的无穷级数的求和公式,如Σ∞k = 0x kk != e x 、Σ∞k =0x k =11 - x(| x | < 1) 等,熟悉这些求和公式以及它们的各种变形往往会使计算变得简单。
例设X 服从参数为P 的几何分布,求EX , E X2 解: EX = Σ∞i =1i P( x = i) = Σ∞i = 1i P(1 - p) i - 1 = PΣ∞i =1i (1 - p) i - 1为了求级数Σ∞i = 1i (1 - p) i - 1 ,可作如下考虑:由于Σ∞k = 0x k =11 - x(| x | < 1)利用和函数的可微性对此级数逐项求导,得ddx(Σ∞k =0x k) = Σ∞k = 0ddx( x k) = Σ∞k = 1k x k - 1 ,因此Σ∞k = 1k x k - 1 =ddx( 11 - x) =1从而EX = PΣ∞i = 1i (1 - p) i - 1 = P ·1[1 - (1 - P) ]2 =1P—41 —高等理科教育数学期望的计算方法探讨X 收稿日期2004 —11 —16资助项目华中农业大学启动项目(项目编号: 52204 - 03046)资助1作者简介覃光莲(1969 - ) 女, 新疆玛纳斯人, 副教授, 主要从事概率统计的教学和科研工作1同理可得,Σ∞k =2k ( k - 1) x k - 2 =ddx( 1(1 - x ) 2 ) =2(1 - x ) 3 ,因此有:EX2 = Σ∞i = 1i2 P( X = i) = Σ∞i = 1i2 P(1 - p) i - 1 = P(1 - P) Σ∞i = 2i ( i - 1) (1 - p) i - 2 + PΣ∞i =1i (1 -p) i - 1 = P(1 - P) 3 2P3 + P 3 1P2 =2 - PP2(二) X 是连续型随机变量,X 的分布密度函数为p (x) , EX =∫+ ∞- ∞在计算连续型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的积分,如∫+ ∞- ∞e-x22 dx = 2π、Γ函数Γ( n) =∫- ∞x n - 1 e- x dx = ( n - 1) ! (其中n E 1) 等。
《数学期望》课件
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
CATALOGUE
连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
数学期望的几种求法
数学期望的几种求法
期望是统计学中的重要概念，又称均值数或期望值。
求数学期望有如下几种方法：
1、求期望的定义：
数学期望是指在定义域出现各可能结果的概率乘以其可能结果的积分的和的称之为期望，用符号Ε(X)表示为：
Ε(X)=Σx·P(x)
其中，Σx表示每一个可能出现的x的值的求和，P(x)表示可能出现的x的概率的和的称之。
2、求期望的性质：
（1）当数学期望中的x取任意值，则期望值保持不变：
Ε(aX+b)=aΕ(X)+b
（2）期望和越大，其中取值越多，则期望值越大：
Ε(X+Y)≥Ε(X)+Ε(Y)
3、求期望的常用公式：
（1）二项分布期望：
二项分布期望公式：Ε(X)=n·P
其中，n表示试验次数，P表示每次试验发生事件的概率。
（2）二项分布方差：
方差公式：V(X)=n·P·(1-P)
其中，n表示试验次数，P表示每次试验发生事件的概率。
（3）泊松分布期望：
泊松分布期望公式：Ε(X)=λ
其中，λ表示实验的平均数。
（4）泊松分布方差：
方差公式：V(X)=λ
其中，λ表示实验的平均数。
数学期望(一维连续)
f
(x)
1
(x2 1)
(x R)
因广义积分| x | [ (x2 1)]dx不收敛，故E( X )不存在.
例1 设X ~ U (a, b) , 求E( X ).
解:
由题知，X的概率密度为
f
(x)
b
1
a
,
则
0,
E( X )
xf (x)dx
b
x
1 dxa baຫໍສະໝຸດ 1 1 x2 b ba 2 a
数学 期望（一维连续）
一维连续型随机变量的数学期望
定义1 设连续型随机变量X的概率密度为f(x) ，若广义
积分 x f (x)dx绝对收敛，则称此积分的值为随机 -
变量X的数学期望，或均值，记为
E( X ) x f ( x)dx
有些随机变量的数学期望并不存在.如：
X服从Cauchy分布 :
( t )
1
t2
e 2 dt
2
t
1
t2
e 2 dt
2
1
t2
e 2 dt
2
0 Note： 正态分布的第1个参数即其期望.
休息，休 息一下！
ab 2
Note：服从均匀分布的r.v的期望即为区间中点.
axb 其他
例2 设X ~ E() ( 0), 求E( X ).
解 : 由题知，X的概率密度为
ex ,
f (x)
0,
x0 x0
则
E ( X ) xf ( x)dx 0 x exdx 0 xdex
x ex
0 exdx
0
1
0 exdx
1
Note：服从指数分布的r.v的分布可由期望确定.
4.1数学期望
= λe
−λ
[λe
λ
+e
λ
]
= λ2 + λ
是连续型随机变量， (2) X是连续型随机变量，它的概率密度为 是连续型随机变量 f ( x) 若
∫
+∞ −∞
g (x
)⋅
f
( x )dx
+∞
收敛， 收敛，则有
E (Y ) = E [g ( X )] =
∫
−∞
g ( x ) f ( x )dx .
例3
( 2 ) E ( XY ) = 0 . 72
例6
设随机变量 ( X , Y )的联合概率密度为
1 3 3 2 , < y < x, x > 1 x f ( x, y ) = 2 x y 0 ， 其它
1 试计算 E (Y ) 和 E 。 XY y
0
y= x
∫ ∫
+∞
+∞
−∞ −∞
g ( x , y ) f ( x , y )dxdy .
例5 已知
Y X
0
0
0 . 04
1
0 . 24
2
0 . 12
0 . 18
1 0 . 06 0 . 36 求(1) E ( 2 X − Y ); ( 2) E ( XY )
解： ( 1 ) E ( 2 X − Y ) = 0 ;
绝对收敛， 为 f ( x ) ，如果积分 ∫− ∞ xf ( x )dx 绝对收敛，即
+∞
为连续型随机变量， 1.定义 1.定义 设X 为连续型随机变量，概率密度
∫
+∞
−∞
x ⋅ f ( x )dx 收敛，则称积分 ∫ xf ( x )dx 收敛， −∞
最大值与最小值的数学期望的几种求法
㊀㊀㊀１４１㊀㊀最大值与最小值的数学期望的几种求法最大值与最小值的数学期望的几种求法Һ王瑞瑞㊀李金伟㊀李彩娟㊀（信阳学院数学与统计学院，河南㊀信阳㊀４６４０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ针对一类特殊的多维随机变量函数 最大值和最小值的数学期望求解问题，本文给出了四种计算方法，并指出各种计算方法的适用情况，以期能够使学生开阔思路，做到举一反三㊁触类旁通．ʌ关键词ɔ数学期望；分布；最大值；最小值ʌ基金项目ɔ河南省高等学校教改项目（２０１９ＳＪＧＬＸ５０４），２０２０年度信阳市哲学社会科学规划项目（２０２０ＳＨ０２１），信阳学院校级教改项目（２０２０ＹＪＧ０１８，２０１９ＹＪＧ２６）１㊀引㊀言数学期望，又称期望或均值，是随机变量按概率的加权平均，表征其概率分布的中心位置［１］．数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念，最初起源于历史上著名的 分赌本问题 ［２］．随机变量数学期望研究的文献较多，如，王瑞瑞等关于负二项分布的数学期望和方差的一种求法［３］，丁黎明关于随机变量数学期望的教学实践与探索［４］，孙莉敏等关于连续随机变量数学期望的定义式的推导［５］等．在实际生活中，我们常常要用到一类特殊的多维随机变量的函数 最大值和最小值．如，为研究某地区未来五十年涝灾或干旱发生的可能性，我们就需要研究该地区过去五十年中最大年降雨量和最小年降雨量．又如，实际生活中某地区的最大风速㊁最大车流量㊁最小损耗等均与最大值和最小值有直接的关系．同时，计算最大降雨量㊁最大风速㊁最大车流量等的平均值，均需计算最大值的数学期望；而计算最小降雨量㊁最小损耗等的平均值，则需要计算最小值的数学期望．而关于最大值和最小值这类特殊的多维随机变量函数的数学期望研究的文献资料较少，罗建华仅给出了二维正态分布的最大值数学期望的求法［６，７］．故笔者结合自身教学实践，给出了最大值和最小值数学期望的四种计算方法，并指出各种计算方法的适用情况．２㊀预备知识定理１［１，２］㊀若随机变量Ｘ的分布列为ｐ（ｘｉ）或密度函数为ｐ（ｘ），则Ｘ的某一函数ｇ（Ｘ）的数学期望为Ｅ［ｇ（Ｘ）］＝ðｉｇ（ｘｉ）ｐ（ｘｉ），离散，ʏ＋ɕ－ɕｇ（ｘ）ｐ（ｘ）ｄｘ，连续ìîíïïï定理２［１，２］㊀若二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的联合分布列为ｐ（ｘｉ，ｙｊ）或联合密度函数为ｐ（ｘ，ｙ），则Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）的数学期望为Ｅ［ｇ（Ｘ，Ｙ）］＝ðｉðｊｇ（ｘｉ，ｙｊ）ｐ（ｘｉ，ｙｊ），离散，ʏ＋ɕ－ɕʏ＋ɕ－ɕｇ（ｘ，ｙ）ｐ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，连续ìîíïïï３㊀最大值和最小值数学期望的几种求法方法一㊀直接计算法．先写出（Ｘ，Ｙ）的联合分布列或联合密度，再利用上述定理２直接对最大值最小值的数学期望进行求解．例１㊀系统Ｌ由两个相互独立的子系统Ｌ１，Ｌ２并联而成，设Ｌ１，Ｌ２的寿命分别为Ｘ，Ｙ，且均服从指数分布Ｅｘｐ（λ），试求该系统Ｌ的平均寿命．解㊀由于当且仅当Ｌ１，Ｌ２都损坏时，系统Ｌ才停止工作，所以系统Ｌ的寿命为Ｚ＝ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝，故求系统Ｌ的平均寿命即求Ｅ（ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝）．因Ｘ和Ｙ独立同分布于指数分布Ｅｘｐ（λ），从而（Ｘ，Ｙ）的联合密度函数为ｐ（ｘ，ｙ）＝λ２ｅ－λｘ－λｙ，ｘ＞０，ｙ＞０，０，㊀㊀㊀ｏｔｈｅｒ．{由定理２，得Ｅ（Ｚ）＝ʏ＋ɕ０ʏ＋ɕ０ｍａｘ｛ｘ，ｙ｝㊃λ２ｅ－λｘ－λｙｄｘｄｙ＝ʏ＋ɕ０ʏｘ０ｘ㊃λ２ｅ－λｘ－λｙｄｘｄｙ＋ʏ＋ɕｘʏｙ０ｙ㊃λ２ｅ－λｘ－λｙｄｘｄｙ＝ʏ＋ɕ０ｘλ２ｅ－λｘｄｘʏｘ０ｅ－λｘｄｙ＋ʏ＋ɕ０ｙλ２ｅ－λｙｄｙʏｙ０ｅ－λｘｄｘ＝ʏ＋ɕ０ｘ㊃λｅ－λｘｄｘ＋ʏ＋ɕ０ｅ－２λｘｄｘ＝１λ＋１２λ＝３２λ．注１方法一通过对最大值ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝讨论进行分段积分达到计算的目的（同理可对最小值ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝讨论），在计算过程中充分运用了分部积分法㊁换元积分法㊁变上限积分和常见分布的数学期望公式等内容．上述方法虽能将二维随机变量的最大值或最小值的数学期望求出，但计算过程较烦琐．特别地，当面对的是ｎ维随机变量的最大值或最小值的数学期望求解时，上述方法的计算过程会更加复杂，此时我们可采用第二种求解方法．方法二㊀先求出最大值或最小值的分布，然后根据定理１求出其数学期望．例２㊀设在区间（０，１）上随机抽取ｎ个点，求相距最远的两点间距离的数学期望．解㊀若记从区间（０，１）上随机抽取的ｎ个点为Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ，则Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ独立同分布于（０，１）上的均匀分布．又记Ｙ＝ｍａｘ｛Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ｝，Ｚ＝ｍｉｎ｛Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ｝，则相距最远的两点间距离即为Ｙ－Ｚ．因此，本题即求最大值与最小值差的数学期望Ｅ（Ｙ－Ｚ）．因Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ独立同分布于（０，１）上的均匀分布，故其密度函数和分布函数分别为ｐ（ｘ）＝１，０＜ｘ＜１，０，ｏｔｈｅｒ，{Ｆ（ｘ）＝０，㊀ｘ＜０，ｘ，０＜ｘ＜１，１，㊀ｘȡ１．{故Ｙ＝ｍａｘ｛Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ｝的分布函数为ＦＹ（ｙ）＝Ｐ（Ｙɤｙ）＝Ｐ（ｍａｘ｛Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ｝ɤｙ）＝Ｐ（Ｘ１ɤｙ，Ｘ２ɤｙ， ，Ｘｎɤｙ）＝Ｐ（Ｘ１ɤｙ）Ｐ（Ｘ２ɤｙ） Ｐ（Ｘｎɤｙ）＝［Ｆ（ｙ）］ｎ＝ｙｎ，０＜ｙ＜１，从而Ｙ的密度函数为ｐＹ（ｙ）＝ｎｙｎ－１，０＜ｙ＜１．同理Ｚ＝ｍｉｎ｛Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ｝的分布函数为ＦＺ（ｚ）＝Ｐ（Ｚɤｚ）＝Ｐ（ｍｉｎ｛Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ｝ɤｚ）＝１－Ｐ（ｍｉｎ｛Ｘ１，Ｘ２， ，Ｘｎ｝＞ｚ）＝１－Ｐ（Ｘ１＞ｚ，Ｘ２＞ｚ， ，Ｘｎ＞ｚ）＝１－（１－Ｆ（ｚ））ｎ＝１－（１－ｚ）ｎ，０＜ｚ＜１，㊀㊀㊀㊀㊀１４２㊀从而Ｚ的密度函数为ｐＺ（ｚ）＝ｎ（１－ｚ）ｎ－１，０＜ｚ＜１．由定理１，可知Ｅ（Ｙ）＝ʏ１０ｙ㊃ｎｙｎ－１ｄｙ＝ｎｎ＋１，Ｅ（Ｚ）＝ʏ１０ｚ㊃ｎ（１－ｚ）ｎ－１ｄｚ＝ʏ１０（１－ｔ）㊃ｎｔｎ－１ｄｔ（ｔ＝１－ｚ）＝ｔｎ１０－ｎｎ＋１ｔｎ＋１１０＝１－ｎｎ＋１＝１ｎ＋１．从而，相距最远的两点间距离的数学期望为Ｅ（Ｙ－Ｚ）＝ｎｎ＋１－１ｎ＋１＝ｎ－１ｎ＋１．注２㊀关于多维随机变量的最大值㊁最小值的数学期望的计算，相较于计算多重积分，计算定积分更加容易，故方法二是先求出多维随机变量的最大值㊁最小值的分布，然后将多维随机变量的最大值㊁最小值的数学期望的多重积分计算转化为一维随机变量的数学期望的定积分计算．显然例１可用方法二求解，但例２一般不用方法一求解．由于方法二需要先求出最大值㊁最小值的分布函数，故当随机变量Ｘｉ的分布函数不存在显式表达式时，方法二则不适用．如例３，因为服从正态分布的随机变量的分布函数没有显式表达式．此时，可以考虑利用方法三求解最大值㊁最小值的数学期望．方法三㊀利用ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝＝Ｘ＋Ｙ＋Ｘ－Ｙ２和ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝＝Ｘ＋Ｙ－Ｘ－Ｙ２求解．例３㊀设随机变量Ｘ与Ｙ相互独立，都服从正态分布Ｎ（μ，σ２），试证Ｅ（ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝）＝μ＋σπ．证㊀因ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝＝Ｘ＋Ｙ＋Ｘ－Ｙ２，故Ｅ［ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝］＝１２［ＥＸ＋ＥＹ＋ＥＸ－Ｙ］．由Ｘ，Ｙ独立同分布于正态分布Ｎ（μ，σ２），可知ＥＸ＝ＥＹ＝μ，且Ｚ＝Ｘ－Ｙ Ｎ（０，２σ２），故Ｚ的密度函数为ｐＺ（ｚ）＝１２σπｅ－ｚ２４σ２，－ɕ＜ｚ＜＋ɕ．从而ＥＸ－Ｙ＝ＥＺ＝ʏ＋ɕ－ɕｚ１２σπｅ－ｚ２４σ２ｄｚ＝２ʏ＋ɕ０ｚ㊃１２σπｅ－ｚ２４σ２ｄｚ（被积函数为偶函数）＝－４σ２２σπｅ－ｚ２４σ２＋ɕ０＝２σπ．于是Ｅ［ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝］＝ＥＸ＋ＥＹ＋ＥＸ－Ｙ２＝μ＋σπ．结论得证．注３㊀方法三更适用于 两个 随机变量的最大值㊁最小值的数学期望的求解问题，且要求容易求出差（Ｘ－Ｙ）的分布，从而该方法也将多维随机变量最大值㊁最小值的数学期望的多重积分计算问题转化为一维随机变量的数学期望的定积分计算问题．当（Ｘ，Ｙ）的联合密度函数ｐ（ｘ，ｙ）的非零区域Ｄ关于ｘ，ｙ具有轮换对称性，即若把ｘ与ｙ对调后，区域Ｄ不变（或区域Ｄ关于ｙ＝ｘ对称）时，还可用如下方法四求解最大值㊁最小值的数学期望．方法四㊀利用二重积分的轮换对称性进行计算．例４㊀设随机变量Ｘ与Ｙ相互独立，且都服从正态分布Ｎ（０，１），试求Ｅ（ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝）．解㊀因Ｘ和Ｙ相互独立，且都服从正态分布Ｎ（０，１），从而（Ｘ，Ｙ）的联合密度函数为ｐ（ｘ，ｙ）＝１２πｅ－ｘ２＋ｙ２２，－ɕ＜ｘ，ｙ＜＋ɕ由定理２，得Ｅ（ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝）＝ʏ＋ɕ－ɕʏ＋ɕ－ɕｍｉｎ｛ｘ，ｙ｝㊃１２πｅ－ｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ（∗）当ｙ＜ｘ时，（∗）式右端的积分为ʏ＋ɕ－ɕʏｘ－ɕｙ㊃１２πｅ－ｘ２＋ｙ２２ｄｙｄｘ（１）当ｙȡｘ时，（∗）式右端的积分为ʏ＋ɕ－ɕʏｙ－ɕｘ㊃１２πｅ－ｘ２＋ｙ２２ｄｘｄｙ（２）由于式（１）（２）积分中ｘ与ｙ对调后，积分表达式不变，故由轮换对称性，得Ｅ（ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝）＝２ʏ＋ɕ－ɕʏｘ－ɕｙ㊃１２πｅ－ｘ２＋ｙ２２ｄｙｄｘ＝１πʏ＋ɕ－ɕｅ－ｘ２２－ｅ－ｙ２２ｘ－ɕ()ｄｘ＝－１πʏ＋ɕ－ɕｅ－ｘ２ｄｘ＝－１π．注４㊀由上例可知，方法四适用于二维（多维）随机变量的联合密度函数的非零区域Ｄ把ｘ与ｙ对调后，区域Ｄ不变，即区域Ｄ关于ｙ＝ｘ对称的情形．显然例４也可以用方法三求解，但例３则不能用方法四求解．４㊀结㊀语最大值与最小值作为一类特殊的多维随机变量的函数，其应用的广泛性使得它们对数学期望的研究显得尤为重要．本文所给出的几种求解方法，涉及数学期望的定义㊁指数分布㊁均匀分布㊁正态分布㊁定积分㊁变上限积分㊁多重积分㊁偶函数的积分㊁轮换对称性㊁差的分布等重要内容．学生能够理解并掌握相关概念公式，准确熟练地运用概率论和数学分析知识是以上各种方法得以实现的前提和关键．概率论中一题多解的情况有很多，作为教师，在平时的教学中要对学生进行必要的创造性思维能力的训练，从而不断激发学生学习的积极性和主动性，培养其创新能力．ʌ参考文献ɔ［１］李贤平．概率论基础（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４，１８４－１１８６，１９２．［２］茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９，６９－７０．［３］王瑞瑞，李金伟．负二项分布的数学期望和方差的一种求法［Ｊ］．高师理科学刊，２０１９，３９（１２）：５５－５７．［４］丁黎明．随机变量数学期望的教学实践与探索［Ｊ］．淮北职业技术学院学报，２０２０，１９（０２）：３２－３４．［５］孙莉敏，张聪，黄善祖等．关于连续随机变量数学期望的定义式的推导［Ｊ］．数学学习与研究，２０１６（１５）：１２９．［６］罗建华，王浩波．一道概率论习题的证明［Ｊ］．高等数学研究，２００８，１１（０４）：６７－６８．［７］罗建华．透过一道习题看概率论教学［Ｊ］．大学数学，２００８，２４（０３）：１５２－１５５．。
求随机变量期望的四种方法
Pபைடு நூலகம்(ξ = 4)
=
1-
5 9
×5 9
= 20, 81
P (ξ = 6) = 1 - 5 × 1 - 5 ×1
9
9
= 16. 81
∴随机变量 ξ的分布列为
ξ
2
4
6
5
20
16
P
9
81
81
故 Eξ = 2 ×5 + 4 ×20 + 6 ×16 = 266.
9
81
81 81
点评 本题不是单独考虑一局 , 而是把
= 2.
由题意可知 η = 2 300 - 100ξ,
∴Eη = 2 300 - 100Eξ
= 2 300 - 200 = 2 100 (元 ) .
说明 本题在求 η的数学期望时 , 就是
根据运算性质利用 Eξ求得 ,简化了计算过程.
三 、将事件分解
随机变量的期望具有性质 E (ξ±η) = Eξ ±Eη(ξ,η独立 ) ,利用该性质可把所求期望分 解为几个易求的相互独立的事件的期望和 , 达到简化解题的效果.
B
3, 2 3
, Eη = np = 3 ×2 3
= 2.
二 、运用期望性质
即利用期望的性质求期望 , 所用到的性 质主要有 : Ec = c, E ( kξ+ b) = kEξ+ b. 其中 ξ为随机变量 , k, b, c为常数.
例 3 某商场为刺激消费 ,拟按以下方案 进行促销 :顾客每消费 500元便得到抽奖券一
由已知得 ξ = 2, 3, 4, 注意到各事件之间 的独立性与互斥性 ,可得
P (ξ = 2) = P (A1B 1 ) + P (A1 A2 )
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Calculatio n abo ut Mathmatic s Exp ectatio n
n- 1
6 = np Cin- 1 pi (1 - p) n- i - 1 = np ( i = k - 1) i=o
2 利用特殊级数求和法求解
此法是计算离散型 r. v 数学期望常用的一
种方法 , 它是先通过数学手段将 6 xkpk 转化成某 k
—特殊级数 , 然后求和获解.
例 2 求参数为λ的普阿松分布
i
∫+ ∞
-
E (ξm
∞
=
x) φn ( x)
dx 是计算条件期望的两个
公式 , 可用此二公式求得.
例 5 设ξ～ U [0 , 1 ] , 当ξ = x 时 , η～
U[0 , x ] , 求 E (η) .
解
由题意
E{η| ξ =
x}
=
x 2
,0
<
x
< 1,
∫ ∫ + ∞
1
于是 E (η) =
随机变量 (简记为 r. v)ξ的数学期望 E(ξ) 是
刻划 r. vξ取值平均程度的一个重要数字特征 ,
它在理论和实践中都有广泛的应用. 然而由于 r.
v 的分布形式不同 , 数学期望的求法也变化多
样 , 且同种分布其解法也有多种 , 技巧性较强 ,
本文结合实例给出若干求 r. v 数学期望的处理
由于 r. vξ的特征函数定义为 f ( t) = E ( eiξt ) ,
又有性质
E (ξk)
=
1 ikf
( k)
(
o)
,
于是 ,
若
r.
vξ的数
学期望存在 , 只须对它的特征函数求一阶导数即
可 , 因此特征函数提供了一条求数学期望的捷
径.
例 3 设ξ～ N (μ, σ2) , 求 E (ξ) 1
技巧和思考方法.
6 ∫+ ∞
1 利用
i
pi
= 1或
<( x) dx
-∞
=1
求解
例 1 设 r. vξ服从二项分布 B ( k ; n , p) ,
求 E (ξ)
解 因为 p{ξ= k} = Cknpk (1 - p) n - k , k = 0 , 1 , 2 ……n ,
n
n
6 6 所以 E(ξ) = kp{ξ = k} = k ·Ckn ·pk (1 - p) n- k
(ξ) 等于各加项的数学期望之和 , 这种思考方法
带有一定的普遍性.
例 4 设 r. vξ服从超几何分布
hm =
Cmn
·CNn
-
CNn
m M
,
m = 0 , 1 …n , 求
E (ξ)
解 设想一个相应的不放回抽样 , 令
ξi =
1 第 i 次抽得废品 i = 1 , 2 …n 0 第 i 次抽得正品 ;
( eiut -
1σ2 2
2
t)
′| t
=
o
=
1 σ2·2
t
)
eiut -
12σ2·t2
]t =
o
= μ.
∞
6 4 利用数学期望的性质 E( ξi) = i =1 ∞ 6 E (ξi) 求解 i =1
如果能将ξ表示成若干个 r. v 的和 , 而每个
加项的分布容易求出 , 或者数学期望已知 , 则 E
k=o
k=o
n
6 =
k
=
o
k
·
k
!(
n! n-
k)
! pk (1
-
p) n- k
n
6 =
k =1
n! ( k - 1) !( n -
k) ! pk (1 -
p) n- k
6 =
n
np
k =1
(k
(n - 1)
- 1) ! !( n -
k)
! pk - 1 (1
-
p) n- k
n
6 = np Ckn--11 pk - 1 (1 - p) n- k k =1
Abstract : In the paper , the authors gave several methods about the calculation of mathmatics expectation. Key words : mathnatics expectation ; characteristic function
则
p{ξi = 1}
=
M N
,
因此
E (ξi)
=
M N
,
而ξ=ξ1
+ξ2
+ …+ξn 表示 n 次抽样中抽出的废品数 , 它服从
n
n
6 6 超几何分布 , 于是 E(ξ) = E ( ξi) = E (ξi)
i =1
i =1
=
nM N
.
5 利用条件期望公式求解
6 E(ξ) =
pi E (ξ | n = xi) 或 E (ξ) =
TANG Qiu2jing1 , J IANG Chuan2feng2 (11 Department of Math , Jining Normal College , Jining 272000 , China ;
21 Tengdong Middle School , Tengzhou 277500 , China)
第 19 卷 第 5 期 Vol. 19 No. 5
洛阳师范学院学报
Journal of Luoya ng Teachers College
2000 Oct .
年 10 月 2000
数学期望的几种求法
唐秋晶1 , 蒋传凤2
(11 济宁师专数学系 , 山东济宁 272000 ; 21 滕东中学数学组 , 山东滕州 2775000)
[2 ] 魏宗舒. 概率论与数理统计 [ M]1 北京 : 高等教育 出版社.
E{η| ξ = x}φξ( x) dx =
-∞
0
x 2
dx
=
1 4
.
除了上述一些思考方法外 , 还有“待定系数
法”、“变换法”、“利用概率积分法”、“利用 r 函
数或β函数法”、“构造方程法”等 , 这里省略 , 应
用时应灵活应用.
参考文献
[1 ] 朱松涛. 概率论与数理统计 [ M]1 济南 : 山东大学 出版社 , 1997. 5.
收稿日期 : 2000 - 05 - 31 作者简介 : 唐秋晶 (1973 - ) 女 , 回族 , 山东济宁人 , 讲师 , 理学学士.
·14 ·
洛阳师范学院学报
2000 年
解 因为正态分布的特征函数为
f ( t)
=
eiut -
1σ2 2
2
t
,
于是
E (ξ)
=
1 i
p ( k :λ) = λk e - λ, k = 0 , 1 , 2 …;λ> 0 的数
k!
学期望.
解 E (ξ)
=
k
∞
6k
=o
·λk
k!
e
-
λ
=
λe
-
λ
∞
6
k=1
λk - 1 ( k - 1)
!
=λe
-
λ
i
∞
6
=o
λi
i!
=λe
-
λ·eλ =λ
( i = k - 1)
3 利用 r. vξ的特征函数求解