2019年薄透镜成像公式及作图法

薄透镜成像公式及作图法

薄透镜成像公式及作图法

薄透镜成像公式及作图法 2011年04月01日

本节向您讲述透镜成像的各种有效的作图法，以及薄透镜成像公式应用，您一定会在这里找到许多有用的方法。

[内容综述]

如果一个透明物体的两个界面都是球面，或者一个界面是球面，另一个界面是平面，这就是透镜，中央部分比边缘厚的，叫凸透镜，它具有会聚光线的性能，所以也叫做会聚透镜。透镜中央部分比边缘薄的，叫凹透镜，它具有发散光线的性能，也以也叫做发散透镜。如果透镜的厚度比两球面的曲率半径小得多，叫做薄透镜。本讲主要的重点、难点是薄透镜成像公式的应用及透镜成像的作图法。

[要点讲解]

1、单球面折射成像公式

如图15-28所示，设单球面左、右方的折射率分别为1和n，S’是S的像，因为是近轴光线，所以i与r均很小，所以有

(R为球面曲率半径)，代入?及，?式即为单球面成像公式，当时的v就是焦距f，所以

2、薄透镜成像公式

透镜实质上是两个单折射球面组成，它的成像过程就是连续两次的单球面成像过程。下面讨论薄透镜成像。如图15-29所示，设左球面的半径为，右球面半径为，透镜材料的折射率为n。点光源S发出的近轴光经左球面折射后设成像于S’’，由于透镜很薄，两球面顶点可视为一点，设为O，设SO=u，OS’’=V’，由单球面折射成像公式可得

原应成像于S"的光束在尚未会聚前又被第二个球面折射，第二次成像。S’’成为物，是虚物，折射后成像于S’。现在的物距是-v’，像距为v，则 ?+?可得，这就是薄透镜成像公式。这里，u,v, , 均有正、负，规则同前面所规定的。对图15-29，u,v, 均为正，为负，当时

，当时

，当透镜两边处于同一介质中时f=f ’。当f和f’>0的透镜称为会聚透镜(凸透镜)。当f 和f’<0的透镜称为发散透镜(凹透镜)。用焦距表示，可将?式透镜的成像公式写成 (当

f=f ’时)上式称为高斯公式。

3(透镜成像作图法

(1)基本光线作图法如图15-30所示，从物方焦点发出的任意光线径透镜折射后必成为平行于主轴的光;平行于主轴射向透镜的任意光线径透镜折射后必经过像方焦点;过光心的光线径透镜后方向不变。在这三条基本光线中，只要任作两条光线，即可求得像点:

用物方焦平面作图:如图15-31所示，(1)由P点作沿主轴的入射线经透镜后方向不变;(2)由P 点作任意光线PA，与物方焦平面交于B，和透镜交于A;(3)连辅助线(通常称为副光轴)BO，经A作BO的平行的折射光线与主轴交于点P ’，则P ’就是物点P的像。

如图15-32所示，(1)由P点作沿主轴的入射线经透镜后方向不变;(2)由P点作任意光线PA，交透镜于A点;(3)过O点作PA的平行线(辅助线)交于像方焦平面于B点，连结AB，延长后交于主轴的P ’点，则P ’就是物点P的像。

如图15-33所示，(1)PA为从物点P发出的任意光线，交透镜于A 点;延长交透镜的物方焦平面于B点;(2)连结OB;(3)过A点作OB的平行线，交透镜的主轴于P ’点，则P ’点就是物点P的像。

如图15-34所示，(1)PA为从物点P发出的任意光线，交透镜于A

)过O点作PA的平行线OB’(副光轴)交透镜的像方焦平面于B’;点;(2

(3)连结AB’交主轴于P’，则P ’点就是物点P的像点。

[例题分析]

例1 把一物与光屏垂直于凸透镜主轴放置，物与屏相距90cm，透镜在物与屏之间有两个位置可以在屏上成像，一个像长1cm，另一个像长4cm，求透镜的焦距和物长。

分析与解:求解本题的关键是求出透镜在两个位置成像时的物距和像距。如图15-35所示，设物与屏的距离为L，、是透镜在两个位置成像时光心的位置，、是透镜在时成像的物距和像距，、是透镜在时成像的物距和像距。设透镜的焦距为f，则透镜在两个位置成像时都满足关系

u+v=L

解方程得

结果表明，透镜在时， > ，成像小实像，设物长为a，像长为，则，透镜在时， < ，成放大实像，设像长为，则，由已知条件可确定，，比较上两式，由于 = ， = ，所以，把、a、、代入可得

整理后把L的值代入得

为了深入理解凸透镜成像规律，再作进一步讨论。

(1)由方程的解可以看出，只有L?4f时，方程有两组实数解，一次成放大像，一次成缩小像;当L=4f时，两解合一，像距等于物距，成等大实像。因此L=4f是凸透镜成实像的最短距离。

(2)由方程的解可以看出，在L一定的情况下，

= ，表明，在凸透镜成像中物像是共轭的。

(3)当L<4f时，设、的距离为d，则

所以

这就是用共轭法测凸透镜焦距的计算式，只要测出L和d就可求出f。

，，由于 = ， = 所以即。另外还可由

例2 在眼前移动透镜，试证明:若透镜是发散的，则观察者觉得通过透镜观察的物体的像和透镜朝同一方向移动;若透镜是会聚的，则觉得它们朝相反方向移动(设会聚透镜作放大镜用)。

分析与解:设物与透镜距离为u，透镜焦距为f，由公式可得由题意，物成虚像，v<0。当物不动，透镜动时，物与像的距离x=u-|v|=u+v随u的变化而变化，如

图15-36所示。

由上式可知随变化的关系是开口朝下的抛物线，如图15-37所示。

(1)对发散透镜，f<0，由?式恒有x>0。当透镜向右移动时，u从O??，从-??O，沿抛物线左下方向右上方移动，直至原点，也从-??O，使x从0??，故像也向右移动，与透镜移动方向相同。

(2)对会聚透镜，f>0，由于作放大镜用，u

例3 有两个焦距分别为和的凸透镜。如果把这两个透镜作适当的配置，则可使一垂直于光

轴的小物体在原位置成一等大、倒立的像，试求出满足上述要求的配置方案中各透镜的位置。

分析与解:如图15-38所示。设光线由左向右，先后经过两个凸透镜而成像于题目所要求的位置。反回去考虑，光线经过第2个透镜后将继续向右传播，所以最后成的像必为虚像才能满足题设要求。由此判定，作为透镜2的物必在其左侧，且物距小于透镜2的焦距，并且是倒立的。再考虑到透镜2的物应该是透镜1对给定的物所成的像，它只能是给定物的倒立实像，必然成像在透镜1的右侧。(由于最后的像与原物同样大小，还可以肯定中间像一定是缩小的。)

由可得，在第二次成像时有

(虚像)

又因物、像大小相等有代入以上两式得 ;

例4 如图15-39所示，全反射棱镜上方6cm处放置一物体AB，棱镜直角边长为6cm，棱镜右

侧10cm处放置一焦距的凸透镜。凸透镜右侧15cm处再放置一焦距的凹透镜。求该光学系统成像的位置和放大率(全反射棱镜的折射率n=1.5)

分析与解:先看第一次成像，物AB经空气与棱镜第一界面的折射，，第二次成像经棱镜斜面成的像在棱镜的左侧(垂直于图中主轴)，离右侧直角面的距离应为，但对棱镜右侧的凸透镜来说，它看到的像是经第三次成像，像离棱镜右侧直角面的距离应为视深，，所以第四次成像，对凸透镜来说，，由凸透镜成像公式得，第五次成像，对凹透镜来说，，由成像公式得。结果表明最后的像成在凹透镜右袋子侧距离凹透镜10cm处，为侧立实像。最后的放大率为。

[能力训练]

A组

1(如图15-40所示，L是一个薄透镜，O是光心。在透镜的一左侧有一点光源S，由它发出的

一部分光线射到透镜上，右侧的a、b是其透射光线中的两条，下列说法中错误的是

A、这个透镜一定是凹透镜