凸透镜成像的数学模型

“凸透镜成像的数学模型”-------凸透镜数据成像基本原理的探究
简介：本文突破了传统透镜成像作图法的羁绊，改模拟的、近似的定性分析方法为定量的精确的分析方法。

通过在坐标系中深入探究“线段的凸透镜成像”规律, 创建了全新的“凸透镜成像数学模型”。

它可精确确定每一像点的位置及“无穷远”的方位。

一切物体都可以“凸透镜成像数学模型”绘制出“数据光路图”，得到该物体的凸透镜精确成像。

从而为进一步创建“空间物体凸透镜数据成像”奠定基础。

可广泛应用于复合透镜设计与误差分析、精密光学仪器的研究、制造。

并提供可靠数据和理论依据。

关键词：凸透镜成像数学模型精确数据光路图数据成像
一．目的:
在几何光学的学习中，每当讨论物体的凸透镜成像，必然要使用“透镜成像作图法”。

然而实践证明，当两条特征光线接近平行时，用这作图方法根本无法确定交点的位置。

另外，实际生活中见到的都是有形状、大小的真实物体，当真实物体从无穷远处经过2f、f移至镜面时，其凸透镜所成之像如何变化？尤其是经过界面f时究竟是如何发散的，能否画出它的影像？
我们的目的就是要找出描绘真实物体凸透镜成像的有效方法，精确确定它的位置。

二.方法、步骤:
1.应用“凸透镜成像的基本原理”,也就是体现理想凸透镜光学本质的三条特征光线。

2.思路：
1) 任何复杂物体都可以用相对比较简单的几何图形来“逼近”。

例如,
球体可用正多面体来逼近。

增加它的面数,即可提高它的精度。

圆形可用正多边来逼近···
2）三维空间的物体可用正投影的方法,先将它投影到平面上。

再用平面的凸透镜成像方法确定其三维空间的像的位置。

3) 平面几何图形的凸透镜成像问题可归结为线段的凸透镜成像: 在同一光路图中分别画出组成该几何图形的所有线段的光路图, 即可得到整个几何图形的凸透镜成像。

3. 重点是要借助于数学方法“非线性变换”，实现精确定位。

三．凸透镜成像数学模型的建立:
透镜成像作图法误差太大。

为精确定位物点（光点）的凸透镜成像位置，我们建立数学模型：
首先，假设透镜为理想透镜。

即1. 透镜相对于物体足够大。

2. 透镜足够薄，以至于可以认为厚度为零。

3.具有凸透镜三条特征光线的基本性质。

以平行于光軸的方式移至凸透镜表面4.不考虑色散。

将一光点从无穷远S
S
，对其成像轨迹进行分析。

n
建立直角坐标系。

把透镜光心放在坐标原点O,光軸与 OX軸重合。

参考图1.
设透镜焦距为 f，物点S
0的坐标为(X
, Y
) ,X
的范国从负无穷到0;其像点
的坐标为(X, Y)。

设像点与光心(即原点)连线的方程为 Y=KX，由通过光心光线的基本性质，
其对应的物点也必在此直线上, 故 K=Y
0/X
所以得连线方程为 Y=Y
0*X/X
(1)
由平行于光轴光线的基本性质，物点凸透镜成像轨迹为过焦点的一直线。

直
线斜率为–Y
0/f，截距为Y。

所以此直线方程为 Y=-Y
0*X/f+Y
(2)
则物点S对应像点S'的位置必须由方程(1)、(2)决定。

解之……得 X=X
0*f/(X
+f) (3)
Y=Y
0*f/(X
+f) (4)
结论: 对任何物点S，只要已知它的坐标(X
0,Y
), 其像的位置（X,Y）便可由
公式(3) 、(4)唯一确定，并精确计算出来。

此结果被称之为“凸透镜成像数学模型”。

图1
四．讨论：
1. “凸透镜成像数学模型”公式证明了: 当物点从无穷远S
平移移至镜面
S
n 时，其像为一“直线”。

它从焦点F’出发，延直线S
n
F’经S
5
’、S
7
’移
至无穷远S
9’，然后再从直线S
n
F’的另一端的S
9
’经S
11
’返还到点S
n。

此“直线”中间断开、两端发散，方程为 Y=-Y
0*X/f+Y。

如图1。

例1: 用公式（3）、（4）计算并分析物点从无穷远移至镜面，其像的坐标位置及大小变化。

1）当物点 S在高度为 Y
0的无穷远处S
时,其像 S
' 的位置为
X= X
0 * f /(X
+ f) = f /(1+ f /X
)= f (当X
= -∞时, f /X
趋于0)
Y= Y
0 * f /(X
+ f) = 0 (当X
= -∞时, Y
* f / (X
+ f)趋于0)
即S
'的坐标为 (f, 0),它的像就是焦点F’。

2) 当物点S在S
3 (-4f, Y
)时,。