微积分第一章
《微积分》讲义

《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念:f=A要点:⑴x 为变量;⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件:f=A f=A,f=A 例:判定是否存在?三、极限的四则运算法则⑴=f±g⑵=f·g⑶=……g≠0⑷k·f=k·f四、例:⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴=1 =1⑵=e =e ………型理论依据:⑴两边夹法则:若f≤g≤h,且limf=limh=A,则:limg=A⑵单调有界数列必有极限。
例题:⑴=⑵=⑶=⑷=⑸=六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义:在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义:在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小,低阶无穷小,同阶无穷小,等价无穷小。
4、定理:f=A f=A+a (a=0)七、函数的连续性1、定义:函数y=f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x:⑴x0时,y0。
即:y=0⑵f=f⑶左连续:f=f右连续:f=f2、函数y=f在区间上连续。
3、连续函数的性质:⑴若函数f和g都有在点处连续,则:f±g、f·g、(g()≠0)在点处连续。
⑵若函数u=j在点处连续,而函数y=f在点=j()处连续,则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例:===4、函数的间断点:⑴可去间断点:f=A,但f不存在。
⑵跳跃间断点:f=A ,f=B,但A≠B。
⑶无穷间断点:函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质:若函数f在闭区间上连续,则:⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号,则方程f=0 在内至少有一根。
例:证明方程式-4+1=0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学一、导数1、函数y=f在点处导数的定义:x y=f-f=A f'=A ……y',,。
2、函数y=f在区间上可导的定义:f',y',,。
3、基本初等函数的导数公式:⑴=0⑵=n·⑶=,=⑷=·lnɑ,=⑸=cosx,=-sinx=x,=-=secx·tanx,=-cscx·cotx⑹=-=-4、导数的运算:⑴、四则运算法则:=±=·g(x)+f(x)·=例:求下列函数的导数y=2-5+3x-7f(x)=+4cosx-siny=⑵、复合函数的求导法则:y u,u v,v w,w x y x'=''''例:y=lntanxy=lny=arcsin⑶、隐函数的求导法则:把y看成是x的复合函数,即遇到含有y 的式子,先对y求导,然后y再对x求导。
大学微积分第一章 函数

X
f
Y f (X )
①满射 若 f ( X ) Y ,则称 f 为满射;
②单射
若
有
X
Y
则称f 为单射; ③双射 若f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
2.【逆映射与复合映射】
⑴【逆映射】 设
f :X Y
是单射
记作
1
定义
称映射
g
g : f (X ) X
为映射
f
的逆映射
周期为
【注】 周期函数不一定存在最小正周期 . 【例如】 常量函数 f ( x ) C
狄里克雷函数
1, 0,
x 为有理数 x 为无理数
五、复合函数
1【定义】 设有函数链
y f ( u), u D1
且 g( D ) D 1
① ②
则 称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量. 【说明】通常 f 称为外层函数,g 称为内层函数.
y 与之对应则称这个对应 D 上的一个一元函数,简
因变量
y f ( x ) , x D, 函数值
定义域
函数
自变量
x 0 处的
当 x 0 D 时 , 称 f ( x 0 )为函数在点
函数值 值域
函数值全体组成的数集 R f { y y f ( x ), x D } 称为函数的
2.【函数的两要素】定义域与对应法则.
第一章
函数
一. 区间和邻域 二. 映射 三. 函数概念 四. 函数的特性 五. 复合函数 六. 基本初等函数
七. 初等函数
八. 经济学中常用的函数
预备知识
一.区间和邻域
⑴【区间】 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
微积分第一章第一节课件

微积分作为数学的基础学科,对于理解数学的高级概念和解决复杂问题具有重要意义。同时,它在物理学、工程 学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
教学目标
知识与技能
情感态度与价值观
通过本课程的学习,学生应掌握微积 分的基本概念、基本理论和基本方法, 具备运用微积分知识解决实际问题的 能力。
培养学生严谨的数学思维习惯,激发 学生对数学的兴趣和热爱,树立正确 的数学价值观。
广义积分与含参变量积分
广义积分
广义积分是对定积分的扩展,包括无穷 限广义积分和无界函数广义积分两种类 型。广义积分的计算需要借助极限的思 想和方法。
VS
含参变量积分
含参变量积分是一种特殊的定积分,其被 积函数中含有参数。含参变量积分的计算 方法和性质与定积分类似,但需要注意参 数的影响。同时,含参变量积分在实际问 题中有着广泛的应用,如概率论、统计学 等领域。
定积分性质
定积分具有线性性、可加性、保号性、 绝对值不等式、积分中值定理等基本 性质。
不定积分概念及计算法则
不定积分概念
不定积分是微分学的逆运算,其结果是一个函数族。不定积分的定义包括被积函数、积分变量和常数 C等要素。
不定积分计算法则
不定积分的计算法则包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。其中,基本积分公式是计算不 定积分的基础,换元积分法和分部积分法是常用的计算技巧。
微积分在实际问题中的应用
探讨微积分在物理、经济、工程等领域的实际应 用,如求解最值问题、分析物理现象等。
3
微积分的数值计算方法
研究微积分的数值计算方法,如有限差分法、有 限元法等,为实际应用提供有效的数值求解工具。
课后作业布置
01
02
《微积分》教材目录

《微积分》教材目录 第一章 函数、极限与连续1.1 函数1.2 数列的极限1.3 函数的极限1.4 极限的运算法则1.5 极限存在准则、两个重要极限1.6 无穷小、无穷大及无穷小的比较1.7 函数的连续性与间断点1.8 闭区间上连续函数的性质第二章 导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 2.5 函数的微分第三章 中值定理与导数的应用3.1 中值定理3.2 洛必达法则3.3 函数单调性的判别法3.4 函数的极值及其求法3.5 最大值、最小值问题3.6 曲线的凹凸性与拐点3.7 函数图形的描绘3.8 导数与微分在经济分析中的简单应用第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分第五章 定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 微积分基本公式5.3 定积分的换元积分法与分部积分法5.4 定积分在几何学及经济学上的应用5.5 反常积分第六章 多元函数微积分6.1 空间解析几何简介6.2 多元函数的基本概念6.3 偏导数6.4 全微分6.5多元复合函数的导数6.6 隐函数的求导公式6.7 多元函数的极值6.8 二重积分第七章 无穷级数7.1 常数项级数的概念和性质7.2 常数项级数的审敛法7.3 函数项级数的概念与幂级数7.4函数展开成幂级数第八章 微分方程与差分方程初步8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶微分方程及解法8.3 一阶微分方程在经济学中的应用8.4 可降阶的高阶微分方程8.5 二阶常系数线性微分方程8.6差分方程的基本概念及常系数线性差分方程解的结构 8.7 一阶常系数线性差分方程及应用举例第九章 Matlab在微积分中的应用9.1 MATLAB的基本操作9.2 MATLAB在一元微积分中的应用9.3 MATLAB在二元微积分中的应用 9.4 MATLAB在级数中的应用附录参考答案参考文献。
微积分第一章

y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
29
5. 三角函数
正弦函数
y sin x
y sin x
余弦函数
y cos x
y cos x
30
正切函数
y tan x
y tan x
余切函数
y cot x
y cot x
31
正割函数
y sec x
3
1-1 函数的概念及其基本特性 一、集合及其运算
概念(集合与元素)、分类、表示法. 特殊集合表示法: N----自然数集 Q----有理数集 Z----整数集 R----实数集
4
二、区间与邻域
区间是指介于某两个实数之间的全体实数,这两
个实数叫做区间的端点.
a, b R, a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
素的情况下,这些经济变量都只与产品的产量或
销量x有关,可以看成是x的函数。
38
1. 成本函数TC(x)
生产既定产量的总成本 (TC)由固定成
本( FC )和可变成本 (VC )两部分构成 .即
TC ( x ) FC VC ( x )
其中x表示产量 . 相应地 ,有
平均成本 ( AC )、平均固定成本 ( AFC )和 平均可变成本 ( AVC )
9
四、复合函数和反函数
1. 复合函数
设 y u, u 1 x 2 ,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域 D f , 而函数
称函数 y f ( x ) 为 x 的复合函数 .
大学微积分总复习提纲

2
微积分(一) calculus
第二章 极限与连续
极限的描述性定义与左右极限
极限四则运算
未定式求极限(因式分解/有理化/同除最高次项)
求极限
夹逼定理 两个重要极限
无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质)
等价代换(加减不能代换,乘除可以代换)
洛必达法则(注意运用条件,与上述方法结合)
必考:先分清极限类型,选择相应方法
微积分(一) calculus
第一章 函数
初等函数 分段函数
定义域、值域 奇偶性 周期性 有界性 反函数
选择题或填空题:与换元法结合考察上述知识点
1
微积分(一) calculus
第一章 函数
经济学函数
需求与供给函数 成本函数 收益函数 利润函数 库存函数
边际与弹性 最优化问题
应用题必考:与求导、求极值、最值知识点结合
5
微积分(一) calculus
第三章 导数与微分
导数的定义与左右导数 (求分段点导数,判断可导性与连续性,求极限)
必考:判断分段函数分段点可导性,与连续性、可微 结合考察;与求极限及无穷小量基本性质结合考察。
6
微积分(一) calculus
第三章 导数与微分
基本公式
求导数
四则运算 链式法则 反函数求导
9
微积分(一) calculus
第五章 多元函数微分学
ห้องสมุดไป่ตู้
求极限
极限定义与不同方向的极限 极限四则运算 未定式求极限(因式分解/有理化) 夹逼定理 无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质) 等价代换(加减不能代换,乘除可以代换) 换元法后,使用洛必达法则
必考:先分清极限类型,选择相应方法
微积分大纲

微积分•大纲
第一章:函数
1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系
2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念
4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念第二章:极限与连续
1. 了解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念
2.了解极限的性质与极限存在的两个准则,掌握极限的四则运算法则,掌握利用两个重要极限求极限的法则
3.了解无穷小量的概念和基本性质,掌握无穷小量的比较方法,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系
4.理解函数连续性的概念(含左、右连续),会判断函数间断点的类型
5.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续性的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质
第三章:导数与积分
1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义,会求平面内的切线方程和法线方程
2.掌握基本函数的导数公式,导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数
3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数
4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分的不变性,会求函数的微分
第四章:中值定理和导数的应用
1.理解罗尔定理、拉格朗日定理,了解柯西定理,掌握这三个定理的简单应用
2.用罗比达法则求极限
3.掌握函数单调性的辨别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及应用。
微积分第一章

高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上,讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性,闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下:1. 理解极限的概念(理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求)。
2. 掌握极限四则运算法则。
3. 了解极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。
4. 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5。
理解函数在一点连续的概念,理解区间内(上)连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念,会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大、最小值定理、零点定理、介值定理)。
第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。
4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科,数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价:恩格斯:在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是这里.华罗庚:宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶,它给出了一整套科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分,人类才有能力把握运动和过程;有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代的社会。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上,讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性,闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下:1. 理解极限的概念(理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求)。
2. 掌握极限四则运算法则。
3. 了解极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。
4. 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。
能够正确运用等价无穷小求极限。
5. 理解函数在一点连续的概念,理解区间内(上)连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念,会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大、最小值定理、零点定理、介值定理)。
第一章共12学时,课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科,数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。
数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价:恩格斯:在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是这里。
华罗庚:宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶,它给出了一整套科学方法,开创了科学的新纪元,并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分,人类才有能力把握运动和过程;有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代的社会。
航天飞机,宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。
数学一下子到了前台。
数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了(《数学通报》数学与文化2001.1.封二)初等数学与高等数学的根本区别:用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究,有很多问题不能得到最终答案,甚至无法解决。
高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系,极限的方法是研究变量的一种基本方法,贯穿高等数学的始终。
用高等数学解决实际问题,计算往往比较简单,且能获得最终的结果。
本学期教学内容:第一章 函数、极限与连续第二章 导数与微分 第三章 导数学的应用 第四章 不定积分参考书:高等数学(同济大学应用数学系 主编第五版)《数学分析》武汉大学数学系编 电子阅览室(网络)高等数学 精品课程学习高等数学应注意的方法:上课认真听讲(最好能预习),积极参与课堂讨论、研究,课后及时复习;透彻理解概念,熟练掌握重要定理、公式、运算法则,做适量练习;应用所学知识解决实际问题;归纳总结,不断提高,建构起高等数学适应体系。
第一节 函数、第二节 初等函数1.掌握区间、邻域的概念。
2.了解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题的函数关系式。
3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
4.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数的概念。
5.掌握基本初等函数的性质及其图形。
一.邻域 (,)(,)U a a a δδδ⇔-+,以a 为中心的δ邻域(,)(,)(,)U a a a a a δδδ⇔-+,以a 为中心的去心δ邻域二.函数:定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个数集。
如果对于D 中的每一个x ,按照某个对应法则f ,y 都有确定的值和它对应,那么称y 为定义在数集D 上的x 的函数,记作()y f x =。
x 叫做自变量,y 叫做因变量,,数集D 叫做函数的定义域。
y 为因变量的函数也可表示为)(x y ϕ=,()y F x =,)(x y y =,……函数的两个要素:对应法则、定义域。
三.分段函数 1.{3,0,()45,0.x x y f x x x +≥==-< 0=x 称为“分界点”。
2.符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y3.取整函数:不超过x 的最大整数,记做:][x y =,如:[3.1]3=,[ 3.1]4-=-。
四.反函数的定义:设有函数),(x f y =其定义域D ,值域为W ,如果对于W 中的每一个y值,都可以从关系式),(x f y =确定唯一的x 值(D x ∈)与之对应,这样所确定的以y 为自变量的函数)()(1y fx y x -==或ϕ叫做函数)(x f y =的反函数,它对定义域为W ,值域为D 。
习惯上,函数的自变量都用x 表示,所以反函数通常表示为).(1x f y -=五.函数的几种特性1.有界性:设)(x f y =,定义域为D ,∈∀x D ,0>∃M ,恒有M x f ≤)(。
则称函数在D 上有界。
否则称函数在D 上无界。
例如:函数xx f 1)(=,在[1,)+∞内有界;在(0,1)内无界。
2.单调性:设)(x f y =,定义域为D ,∈∀21,x x D ,当21x x <时⇒)()(21x f x f <,单调递增;当21x x >时⇒)()(21x f x f <,单调递减。
单调递增与单调递减的函数统称为单调函数。
3. 奇偶性:偶函数 )()(x f x f =- ,奇函数 )()(x f x f -=-。
4.周期性:周期函数 ∈∀x D ,∈+T x D ,)()(x f T x f =+例1.狄里克莱函数⎩⎨⎧==为无理数为有理数x x x D y ,0,1)(。
狄里克莱函数是周期函数,但它没有最小正周期。
2.符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y六.复合函数定义 如果y 是u 的函数)(u f y =,而u 是x 的函数)(x u ϕ=,且()x ϕ的值全部或部分地落在()y f u =的定义域内,那么y 通过u 的联系也是x 发函数。
称这个函数是由()y f u =及()u x ϕ=复合而成的,称为复合函数,记作)]([x f y ϕ=,其中u 叫做中间变量。
注:设()y f u =、()u x ϕ=,如果()u x ϕ=的值部分地落在()y f u =的定义域内,则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域是()u x ϕ=的定义域的子集;如果()u x ϕ=的值全部落在()y f u =的定义域内,则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域与()u x ϕ=的定义域相同。
如果()u x ϕ=的值全部落在()y f u =的定义域外,则不能构成复合函数。
例3.将下列函数“分解”成“简单”的函数:2sin x y =,x y 2sin =,xey arctan =七.基本初等函数与初等函数: 1、 常数函数 )(为常数C C y =2、 幂函数 )(为实常数μμx y = 3、 指数函数 ),1,0(为常数a a a a y x≠>= 4、 对数函数 ),1,0(log 为常数a a a x y a ≠>=5、 三角函数x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======6、 反三角函数:x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限复合步骤所构成,并且可以用 一个式子表示的函数叫做初等函数。
八.双曲函数与反双曲函数sh 2x x e e y x --==,ch 2x x e e y x -+==,x xx xe e y thx e e ---==+。
作业P20~21 习题 2(3)、(4)、(6);5;7。
第四节数列的极限数列极限的定义数列的定义:数列实质上是整标函数)(n f x n =,∈n 正整数集N(i )n x n 1=:1,21,31,…,n1,…→0 (ii )n x n n 1)1(1+-+=:2,21,34,…,1+n n 1)1(+-,…→1确定nx n 11=-:要使1-n x <0.01,只要n >100; 要使1-n x <0.0001,只要n >10000;要使1-n x <ε,只要n >[ε1]。
(iii )1)1(--=n n x :1,-1,1,…, 1)1(--n ,…→不存在数列极限描述性定义(P27):如果当n 无限增大时,数列{}n x 无限接近于一个确定的常数a ,那么a 就叫做数列{}n x 的极限,或称数列{}n x 收敛于a ,记作a x n n =∞→lim 或 当.,a x n n →∞→时数列极限的定义:如果存在常数a ,使得对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正整数N ,只要n N >,绝对值不等式a x n -<ε恒成立,则称数列{n x }以常数a 为极限, 记为n n x ∞→lim =a (或a x n →,∞→n )。
数列极限的分析(N -ε)定义:设R a ∈,0>∀ε,0>∃N ,当N n >时,ε<-a x n恒成立,则将数列{n x }以常数a 为极限,记为n n x ∞→lim =a (或a x n →,∞→n )。
例1. 证明数列2,21,34,43,…,n n n 1)1(+-+,…的极限是1。
证:[分析]令n x =n n n 1)1(+-+,记a =1,要使a x n -=1)1(1--++nn n =n 1=n 1<ε,只要n 1>ε,取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε1。
[证明]0>∀ε,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃ε1N ,当n>N 时,恒有ε<--++1)1(1n n n ,故nn n n 1)1(lim +∞→-+=1。
例2. 若21)(n nin +=s x n ,证明:0lim =∞→n n x 。
证:[分析]a x n -=0)1(sin 2-+n n =2)1(sin +n n ≤2)1(1+n <11+n <n1,要使a x n -<ε,只要ε1>n ,取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε1,再放大[证明]],1[,0εε=∃>∀N 当n>N 时,ε<-+01)(n nsin 2恒成立,故01)(n n sin lim 2=+∞→n 。