初高中数学衔接---二次函数

初高中数学衔接------二次函数部分

知识梳理

知识点1 二次函数的图象和性质

1.二次函数的定义与解析式

(1)二次函数的定义 形如：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0). ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0) ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)

点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.

①已知三个点的坐标时，宜用一般式.

②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式. ③已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便. 2.二次函数的图象和性质

图象 函数性质

a >0

定义域

x ∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域

a >0

a <0

y ∈[4ac －b 24a

，＋∞)

y ∈(－∞，4ac －b 2

4a

]

a <0

奇偶性

b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数

单调性

x ∈(－∞，－b

2a ]时递减，

x ∈[－b

2a

，＋∞)时递增

x ∈(－∞，－b

2a

]

时递增， x ∈[－b

2a

，＋∞)

时递减

图象特点

①对称轴：x ＝－b

2a

；

②顶点：(－b 2a ，4ac －b 2

4a

)

3.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝

Δ

|a |

. 知识点2 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系

当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根

⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;

当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根

⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;

当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔

20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞。

(初中没有的)知识点3 一元二次方程20ax bx c ++=实根分布的充要条件

一般地对于含有字母的一元二次方程20ax bx c ++=的实根分布问题，用图象求解，有如下结论： 令()f x =2ax bx c ++（0a >）（同理讨论0a <的结论）

(1) x 1<α, x 2<α ,则0/(2)()0b a f αα∆≥⎧⎪-<⎨⎪>⎩; (2) x 1>α, x 2>α,则0

/(2)()0b a f αα∆≥⎧⎪

->⎨⎪>⎩

(3) α

⎪⎨⎧<-<>>≥∆β

αβα)2/(0

)(0

)(0

a b f f (4) x 1<α, x 2>β (α<β),则()0()0f f αβ<⎧⎨<⎩

(5）若f(x)=0在区间( α ,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f

点评：（1）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：

①判别式； ②区间端点的函数值的符号； ③对称轴与区间的相对位置． 在讨论过程中，注意应用数形结合的思想. (初中没有的)知识点4 二次函数()02

≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值

二次函数()02

≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值一般分为三种情况讨论：

（1）若对称轴2b

x a

=-

在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()f p f q 的大小即可决定函数的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值） （2）若对称轴2b

x a

=-在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()f p f q 的大小即可决定函数的最大（小）值； （3）若对称轴2b x a =-

在区间内，则()2b

f a

-是函数的最小值（0a >）或最大值（0a <），再比较(),()f p f q 的大小决定函数的最大（小）值。

点评：（1）两个重要的结论：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值；单调连续函数在闭区间的两个端点处取得最值。

（2）二次函数()02

≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值的讨论的基点是对称轴a

b

x 2-

=与区间[]q p ,的相对位置的讨论，尤其当顶点横坐标是字母时，则应抓住讨论的基点进行讨论。特别要注意二次项系数a 的符号

对抛物线开口及结论的影响。 题型一 求二次函数的解析式

例1 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数. 解 方法一 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 依题意有⎩⎪⎨

⎪⎧

4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，

4ac －b 2

4a ＝8，

解之，得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝－4，

b ＝4，

c ＝7，

∴所求二次函数为y ＝－4x 2＋4x ＋7.

方法二 设f (x )＝a (x －m )2＋n ，a ≠0.

∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝1

2.

又根据题意函数有最大值为n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1

22＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－1

22＋8＝－1， 解之，得a ＝－4. ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －1

22＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 依题意知：f (x )＋1＝0的两根为

x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0.即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 2

4a

＝8，

解之，得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 探究提高 二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； (3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0). 题型二 二次函数的单调性

例2 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6].

(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间.

解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，

∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.

(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.

(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，