四川大学 理论力学 课后习题答案 第1周习题解答

静力学习题及解答—静力学基础
1.11 证明：力系的主矢和主矩的标积是一个与矩心位置无关的常数。 证明：接上题，由于 rAB × ∑ Fi 与 ∑ Fi 垂直，因此有
M A ⋅ ∑ Fi = (rAB × ∑ Fi + M B ) ⋅ ∑ Fi = M B ⋅ ∑ Fi
i i i i i i
所以 A 、 B 的任意性，可知力系的主矢与主矩之标级与矩心为之无关。
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛

静力学习题及解答—静力学基础
1.12 试证明三力平衡汇交定理：刚体受不平行三力作用而平衡时，此三力的作用 线必汇交于一点(提示：首先证明此三力共面) 证明：设三力为 F1 、 F2 和 F3 ，由于三力平衡，因此该力系的主矢为零，主
矩也为零。 ′ 考察 F2 和 F3 构成的子力系，显然，该子力系的主矢为 FR ′ = − F1 ，对力 F1 作 用线上任意点 A 的主矩 M ′ = 0 。 A ′ 再考察该子力系对力 F2 作用线上任意点 B 的主矩： M B = m B ( F3 ) ，即，该 子力系对点 B 的主矩就是力 F3 对 B 之矩。 根据题 1.11 的结论，有 ′ ′ ′ 0 = M ′ ⋅ FR = M B ⋅ FR = −m B ( F3 ) ⋅ F1 A 即， F3 对 B 之矩与 F1 垂直。显然， F3 位于点 B 与 F1 作用线确定的平面内，也即
F3 与 F1 共面。同理， F2 与 F1 共面。即刚体受不平行三力作用而平衡时，此三力 的作用线必共面。
如图，设 F2 和 F3 交于点 O ，则将此二力平移至该点，则 F2 和 F3 的合力可根 据平行四边形定律确定为作用于点 O 的力 FR′ 。由于 F1 、 F2 和 F3 构成平衡力系， 则 F1 和 FR′ 也构成平衡力系。根据二力平衡定理，F1 和 FR′ 共线，即 F1 也过点 O 。 由此得证。
四川大学 建筑与环境学院 力学科学与工程系 魏泳涛