假设检验及其应用

黑龙江八一农垦大学《概率论与数理统计》课程论文

论文题目：

学生：

授课教师：范雪飞

院系专业：

摘要

在数理统计的学习中，假设检验是一个十分重要的内容，包含有参数检验和非参数检验二大类。假设检验是数理统计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法。假设检验在经济和社会生活各个领域得到了极为广泛的应用。本文主要阐述假设检验的基本思想，一般步骤，应用和几种常见的检验方法: U检验、T检验、比例检验、卡方检验等。

关键词：假设检验、检验方法、数理统计。

前言

假设检验是抽象推断的一项重要内容。它是根据原资料作出一个总结指标是否等

于某一数值，某一随机变量是否服从某种概率分布的假设，然后利用样本资料采用一定的统计方法计算出有关检验的统计量，依据一定的概率原则，以较小的风险来判断估计数值与总体数值（或估计分布与实际分布）是否存在差异，是否应该接受原假设选择的一种检验方法。

第一章 假设检验的基本思想及原理

1.1 假设检验的基本思想是小概率反证法思想。小概率思想是指小概率事件（P <0.01或P <0.05）在一次试验中基本上不会发生。反证法思想是先提出假设(检验假设HO )，再用适当的统计方法确定假设成立的可能性大小，如可能性小,则认为假设不成立，若可能性大，则还不能认为假设不成立

1.2 假设检验的原理：一般地说，对总体某项或总体某几项作出假设，然后对样本假设做出接受或拒绝的判断，这种方法称为假设检验。

它的特点是：

A .先假设总体某项假设成立，计算其会使什么样的结果产生。若导致不合理的现象产生，则不能拒绝原假设，从而接受按假设。

B .它不同于一般地反证法。所谓不合理现象产生，并非指形式逻辑上的绝对矛盾，而是基于小概率原理，概率很小的事件在一次实验中几乎不会发生，若发生了，就是不合理的。

第二章 假设检验的一般步骤

2.1 建立假设。在假设检验中，常把一个被检验的假设称为原假设，用0H 表示，通常将不应轻易加以否定的假设作为原假设。当0H 被拒绝时而接受的假设称为备用假设，用1H 表示，它们常常成对出现。

2.2.1 选择检验统计量T ，给出拒绝域形式,并在H 0成立的条件下，决定T 的分布。由样本对原假计量。使原假设被拒绝的样本观测值所在的区域称为拒绝域，一般它是样本空间的一个子集，并用W 表示。当拒绝域确定了，检验的判断准则跟着也就定了：

● 如果（x 1,…x n ）W ∈，则认为0H 不成立；

●

如果（x 1,…x n ）∈非W ，认为0H 成立； 一般将非W 称为接收域。由此可见，一个拒绝域W 可唯一确定一个检验法则，反之，一个检验法则也唯一确定一个拒绝域。

2.2.2选择显著性水平。检验的结果与真实情况可能吻合也可能不吻合，因此，检验是可能犯错误的。检验可能犯的错误有两类：其一是0H 为真但由于随机性使样本观测值落在拒绝域中，从而拒绝原假设，这种错误称为第一类错误，其发生的概率称为犯

第一类错误的概率，或称为拒真概率，通常记为?，即

P =?（拒绝0H ，0H 为真）θP =（W X ∈）

，0Θ∈θ,， 其中=X （x 1,…x n ）表示样本。另一种错误时0H 不真，但由于随机性使样

本观测值落在接受域中，从而接受原假设0H ，这种错误称为第二类错误，或称受伪错误，通常记为β，即

P =β（接受0H ，1H 为真）θP =（∈X 非W ）

，02Θ∈θ 提出显著性检验的概念就是要控制犯第一类错误的概率?，但也不能使?过小，否则会使β过大。在适当控制α中制约β。最常用的选择是α=0.05，有时也选0.10或0.01.

2.2.3给出拒绝域，并计算统计量的值T=T 0。在确定显著性水平后，根据所给出的

拒绝域的形式，我们可以定出检验的拒绝域W

2.2.4做出判断：若T 0∈W ，则拒绝原假设H 0，否则接受原假设。

三、原假设与备选假设的设置问题

在两个对立假设中，我们究竟应该用哪一个作为原假设H0，哪一个作为备选假设H1呢？一般的说法是：原假设应当是经过细致的调查和考察的，应当加以保护，拒绝它应当谨慎，以此为原则来决定在两个对立假设中用哪一个作为原假设，这当然是对的。笔者这里提出另外一个选取原假设的原则或方法：在某些情况下，一定要将有可能犯的能造成严重后果的错误设置为第一类错误而不要设置为第二类错误，因为犯第一类错误的概率是可以通过选取!的大小来控制的，犯第二类错误的概率"是无法控制的。举一个例子来说明：有一种新药物，对它可能做出的二个对立假设是“有毒”与“无毒”，究竟把“有毒”作为原假设H0呢？还是把“无毒”作为原假设H0呢？显然，将有毒的药物视为无毒造成的后果严重（吃了要死人的），故应当将这一严重错误作为第一类错误，以便可以控制。即令a=P （认为没毒︱有毒）=p ）拒绝HO ︱HO 为真），所以H0：药物有毒，H1：药物没毒。

通过此例可知，这种选取原假设H0的原则或方法在某些情况下是有着重要实际意义的。

四：假设检验的种类

假设检验可分为正态分布检验 正态总体分布均值检验 非参数检验三类。

正态分布检验包括三类：JB 检验 KS 检验 lilliefors 检验。用于检验样本是否来自于一个正态分布总体。

正态总体分布均值检验检验分析方法和分析结果的准确度，考察系统误差对测试结果的影响。从统计意义上说，各样本均值之差应在随机误差允许的范围之内。反之，如果不同样本的均值之差超过了随机误差允许的范围，这就说明除了随机误差之外，各均值之间还存在系统误差，使得各均值之间出现了显著性差异。

五：假设检验的两类错误

由于检验原假设0H 时，是根据一次抽样后所得的样本值是否落在

拒绝域W 中而作出拒绝或接受原假设0H 的决定，而样本带有随机性，因此

检验的结果与真实情况也可能不吻合，从而可知，检验是可能犯错误的，检验可能犯的错误有两类：一类是原假设0H 为真但由于随机性样本观测值

落在拒绝域中，从而拒绝原假设0H 称为第一类错误，其发生的概率为犯第

一类错误的概率，或为拒真概率，用α表示，即 000)()(Θ∈∈==θαθ，为真拒绝W X P H H P ，其中),,(1n x x X =表示样本，第一类错误的概率α的大小反映了我们拒绝原假设0H 的说服力。在显著性

检验中的显著性水平α，它是根据实际问题事先给定的，表明检验的结果犯第一类错误的概率不超过α。

另一类是原假设0H 不真但由于随机性样本观测值落在接受域中，从而

原假设0H 被接受了，这种错误称为第二类错误，其发生的受伪概率用 表示，

即

110)()(Θ∈∈==θβθ，为真接受W X P H H P 。是否犯某一类错误，犯错误的可能

性大小取决于参数的真值和所用的检验方法及所得到的样本值。参数真值是未知的，样本的取值是随机的，我们所能做的是适当的选取检验方法，使少犯错误。在实际中，我们不可能要求一个检验方法永远不出错，但可以要求尽可能的使犯错误的概率小一些。为此，在确定检验方法时，我们应尽可能使犯两类错误都较小。 但是在样本容量给定的条件下，α与β中一个减小必导致另一个增大，即在样本量一定条件下不可能找到一个使α，β都小检验。因此，在样本容量一定的条件下，我们通常是控制犯第一类错误的概率α，使它不会超过某一个给定的值，一般情况下α的取值为0.01，0.05，0.1等，这样对犯第一类错误的概率加以适当的控制以此来制约犯第二类错误的概率。

六：假设检验在实际中的应用

1、假设检验设备判断中的应用

例1：某糖厂用自动包装机将糖装箱，每箱标准重量为100千克，每天开工时，需先检验自动包装机工作是否正常，根据以往的经验知道，其包装的质量在正常情况下，其各箱重量服从正态分布，且标准差为1.5千克（单位：kg ），先抽测了9箱，其重量为：

99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5

问这些包装机工作是否正常？

分析：关键是将这一问题转化为假设检验问题.因检验包装机工作是否正常，化为数学问题应为双边检验:1000=u H ： vs 1001≠u H ：

解：由题意，设X 为一箱糖果的重量，则)5.1,(~2μN X ，这是单个正态总体在方差已知的前提下对均值的检验。即1000=μ：H vs 1001≠μ：H ，检验统计量n x u σ100

-=， 此题中，样本均值98.99)5.1003.99(91

=++= x

当05.0=α时，则查表可得96.12/=αμ，又05.004.03

5.110098.990

<=-=-=n x u σμ， 此时u 的值未落在拒绝域内，则接受原假设0H ，即认为包装机工作正常。

2、假设检验在福利彩票中的应用

例：为了募集社会福利基金，某地方政府发行福利彩票，中彩票者用摇大转盘的方法确定最后中奖金额，大转盘均分为20份，其中金额为5万、10万、20万、30万、50万、100万的分别占2 份、4份、6份、4份、2份、2份。假定大转盘是均匀的，则每一点朝下是等可能的，于是摇出各个奖项的概率如下：

现有20人参加摇奖，摇得5万、10万、20万、30万、50万、100万的人数为2、6、6、3、3、0，由于没有一个人摇得100万，于是有人怀疑大转盘是不均匀的，那么该怀疑是否成立呢？

这是一个典型的拟合优度检验，总体共有六类，即6=k ，其发生的概率分别为0.1、0.2、0.3、0.2、0.1和0.1，因此可运用K.Pearson 检验，建立

假设为：大转盘是均匀的0H

检验的拒绝域为)}5({212αχχ-≥=W

若取05.0=α，则查表可知7.11)5(295.0=χ，依据统计量∑=-=k

i i i i np np n 122)(χ，则可算出75.32=χ，从而可知2χ的值未落在拒绝域内，因此接受原假设，即大转盘是均匀的。

用样本指标估计总体指标，其结论有的完全可靠，有的只有不同程度的可靠性，需要进一步加强检验和证实。通过检验对样本指标与假设的总体指标之间是否存在差别做出判断，是否接受原假设。这里必须明确，进行检验的目的不是怀疑样本指标本身是否计算正确，而是为了分析样本指标与总体指标是否存在差异，从这个意义，假设检验又称为显著性检验。