数学与军事
数学是所有科学的基础，军事科学也不例外。
综 述 从人类早期的战争开始，数学就无所不在，不论是发射弩箭还是挖掘地道，数学就像冥冥之中的命运之神一样在起作用。虽然战争是个令人讨厌的话题，但战争却是人类不可避免的。
提起数学与军事，人们可能更多地想到数学可以用来帮助设计新式武器，比如阿基米德的传闻故事：阿基米德所住的 Syracuse 王国遭到罗马人的攻击，国王 Heron 请其好友阿基米德帮忙设计了各式各样的弩炮、军用器械，利用抛物镜面聚太阳光线，焚毁敌人船舰等。当然，这样的军事应用并没有用到较高层次的数学。其实，古时数学用于军事只到这种层次。《五曹算经》中的兵曹，其所含的计算，仅止于乘除；再进一步，也不过是测量与航海。一直到二十世纪，科学发展促使武器进步，数学才真的可能与战事有密切的关系，例如数学的研究工作可能与空气动力学、流体动力学、弹道学、雷达及声纳、原子弹、密码与情报、空照地图、气象学、计算器等等有关，而直接或间接影响到武器或战术。
事例一 一支高智商的反法西斯队伍 二战迫使美国政府将数学与科学技术、军事目标空前紧密地结合起来，开辟了美国数学发展的新时代。1941至1945年，政府提供的研究与发展经费占全国同类经费总额的比重骤增至86％。美国的“科学研究和发展局”（OSRD）于1940年成立了“国家防卫科学委员会（NDRC），为军方提供科学服务。1942年，NDRC又成立了应用数学组（AMP），它的任务是帮助解决战争中日益增多的数学问题。AMP和全美11所著名大学订有合同，全美最有才华的数学家都投入了遏制法西斯武力的神圣工作。AMP的大量研究涉及“改进设计以提高设备的理论精确度”以及“现有设备的最佳运用”，特别是空战方面的成果，到战争结束时共完成了200项重大研究。
在纽约州立大学，柯朗和弗里德里希领导的小组研究空气动力学、水下爆破和喷气火箭理论。超音速飞机带来的激波和声爆问题，利用“柯朗——弗里德里希——勒维的有限差分法”求出了这些课题的双曲型偏微分方程的解。布朗大学以普拉格为首的应用数学小组集中研究经典动力学和畸变介质力学，以提高军备的使用寿命。哈佛大学的G·伯克霍夫为海军研究水下弹道问题。哥伦比亚大学重点研究空对空射击学。例如，空中发射炮弹弹道学；偏射理论；追踪曲线理论；追踪过程中自己速度的观测和刻画；中心火力系统的基本理论；空中发射装备测试程序的分析；雷达。
普林斯顿大学和新墨西哥大学为空军确定“应用B－29飞机的最佳战术”。冯·诺伊
曼和乌拉姆研究原子弹和计算机。维纳和柯尔莫戈洛夫研究火炮自动瞄准仪。由丹泽西为首的运筹学家发明了解线性规划的单纯形算法，使美军在战略部署中直接受益。
事例二 破译密码的解剖刀——数学 英国数学家图灵出生于一个富有家庭，1935年在剑桥大学获博士学位后去了美国的普林斯顿，他为设计理想的通用计算机提供了理论基础。1939年图灵回到英国，立即受聘于外交部通讯处。当时德国法西斯用于绝密通讯的电报机叫“Enigma”（谜），图灵把拍电报的过程看成在一张纸带上穿孔，运用图灵的可计算理论，英国设计了一架破译机“Ultra”（超越）专门对付“Enigma”，破译了大批德军密码。
1941年5月21日，英国情报机关终于截获并破译了希特勒给海军上将雷德尔的一份密电。从而使号称当时世界上最厉害的一艘巨型战列舰，希特勒的“德国海军的骄傲”——“俾斯麦”号在首次出航中即葬身鱼腹。
1943年4月，日本海军最高司令部发出的绝密电波越过太平洋，到达驻南太平洋和日本占领的中国海港的各日本舰队，各舰队司令接到命令：日本联合舰队总司令长官山本五十六大将，将于4月18日上午9时45分，由6架零式战斗机保护，乘两架轰炸机飞抵卡西里湾，山本的全部属员与他同行。
这份电报当即被美国海军的由数学家组成的专家破译小组破译，通过海军部长弗兰克·诺克斯之手，马上被送到美国总统罗斯福的案头。于是，美国闪电式战斗机群在卡西里湾上空将山本的座机截住，座机在离山本的目的地卡西里只有几英里的荆棘丛中爆炸。
中途岛海战也是由于美国破译了日本密码，使日本4艘航空母舰，1艘巡洋舰被炸沉，330架飞机被击落；几百名经验丰富的飞行员和机务人员阵亡。而美国只损失了1艘航空母舰，1艘驱逐舰和147架飞机。
从此，日本丧失了在太平洋战场上的制空权和制海权。
事例三 巴顿的战舰与浪高 军事边缘参数是军事信息的一个重要分支，它是以概率论、统计学和模拟试验为基础，通过对地形、气候、波浪、水文等自然情况和作战双方兵力兵器的测试计算，在一般人都认为无法克服、甚至容易处于劣势的险恶环境中，发现实际上可以通过计算运筹，利用各种自然条件的基本战术参数的最高极限或最低极限，如通过计算山地的坡度、河水的深度、雨雪风暴等来驾驭战争险象，提供战争胜利的一种科学依据。
1942年10月，巴顿将军率领4万多美军，乘100艘战舰，直奔距离美国4000公里的摩洛哥，计划在11月8日凌晨登陆。11月4日，海面上突然刮起西北大风，惊涛骇浪使舰艇倾斜达42°。直到11月6日天气仍
无好转。华盛顿总部担心舰队会因大风而全军覆没，电令巴顿的舰队改在地中海沿海的任何其他港口登陆。巴顿回电：不管天气如何，我将按原计划行动。
11月7日午夜，海面突然风平浪静，巴顿军团按计划登陆成功。事后人们说这是侥幸取胜，这位“血胆将军”拿将士的生命作赌注。
数学是所有科学的基础，军事科学也不例外。
综 述 从人类早期的战争开始，数学就无所不在，不论是发射弩箭还是挖掘地道，数学就像冥冥之中的命运之神一样在起作用。虽然战争是个令人讨厌的话题，但战争却是人类不可避免的。
提起数学与军事，人们可能更多地想到数学可以用来帮助设计新式武器，比如阿基米德的传闻故事：阿基米德所住的 Syracuse 王国遭到罗马人的攻击，国王 Heron 请其好友阿基米德帮忙设计了各式各样的弩炮、军用器械，利用抛物镜面聚太阳光线，焚毁敌人船舰等。当然，这样的军事应用并没有用到较高层次的数学。其实，古时数学用于军事只到这种层次。《五曹算经》中的兵曹，其所含的计算，仅止于乘除；再进一步，也不过是测量与航海。一直到二十世纪，科学发展促使武器进步，数学才真的可能与战事有密切的关系，例如数学的研究工作可能与空气动力学、流体动力学、弹道学、雷达及声纳、原子弹、密码与情报、空照地图、气象学、计算器等等有关，而直接或间接影响到武器或战术。
事例一 一支高智商的反法西斯队伍 二战迫使美国政府将数学与科学技术、军事目标空前紧密地结合起来，开辟了美国数学发展的新时代。1941至1945年，政府提供的研究与发展经费占全国同类经费总额的比重骤增至86％。美国的“科学研究和发展局”（OSRD）于1940年成立了“国家防卫科学委员会（NDRC），为军方提供科学服务。1942年，NDRC又成立了应用数学组（AMP），它的任务是帮助解决战争中日益增多的数学问题。AMP和全美11所著名大学订有合同，全美最有才华的数学家都投入了遏制法西斯武力的神圣工作。AMP的大量研究涉及“改进设计以提高设备的理论精确度”以及“现有设备的最佳运用”，特别是空战方面的成果，到战争结束时共完成了200项重大研究。
在纽约州立大学，柯朗和弗里德里希领导的小组研究空气动力学、水下爆破和喷气火箭理论。超音速飞机带来的激波和声爆问题，利用“柯朗——弗里德里希——勒维的有限差分法”求出了这些课题的双曲型偏微分方程的解。布朗大学以普拉格为首的应用数学小组集中研究经典动力学和畸变介质力学，以提高军备的使用寿命。哈佛大学的G·伯克霍夫为海军研究水下弹
道问题。哥伦比亚大学重点研究空对空射击学。例如，空中发射炮弹弹道学；偏射理论；追踪曲线理论；追踪过程中自己速度的观测和刻画；中心火力系统的基本理论；空中发射装备测试程序的分析；雷达。
普林斯顿大学和新墨西哥大学为空军确定“应用B－29飞机的最佳战术”。冯·诺伊曼和乌拉姆研究原子弹和计算机。维纳和柯尔莫戈洛夫研究火炮自动瞄准仪。由丹泽西为首的运筹学家发明了解线性规划的单纯形算法，使美军在战略部署中直接受益。
事例二 破译密码的解剖刀——数学 英国数学家图灵出生于一个富有家庭，1935年在剑桥大学获博士学位后去了美国的普林斯顿，他为设计理想的通用计算机提供了理论基础。1939年图灵回到英国，立即受聘于外交部通讯处。当时德国法西斯用于绝密通讯的电报机叫“Enigma”（谜），图灵把拍电报的过程看成在一张纸带上穿孔，运用图灵的可计算理论，英国设计了一架破译机“Ultra”（超越）专门对付“Enigma”，破译了大批德军密码。
1941年5月21日，英国情报机关终于截获并破译了希特勒给海军上将雷德尔的一份密电。从而使号称当时世界上最厉害的一艘巨型战列舰，希特勒的“德国海军的骄傲”——“俾斯麦”号在首次出航中即葬身鱼腹。
1943年4月，日本海军最高司令部发出的绝密电波越过太平洋，到达驻南太平洋和日本占领的中国海港的各日本舰队，各舰队司令接到命令：日本联合舰队总司令长官山本五十六大将，将于4月18日上午9时45分，由6架零式战斗机保护，乘两架轰炸机飞抵卡西里湾，山本的全部属员与他同行。
这份电报当即被美国海军的由数学家组成的专家破译小组破译，通过海军部长弗兰克·诺克斯之手，马上被送到美国总统罗斯福的案头。于是，美国闪电式战斗机群在卡西里湾上空将山本的座机截住，座机在离山本的目的地卡西里只有几英里的荆棘丛中爆炸。
中途岛海战也是由于美国破译了日本密码，使日本4艘航空母舰，1艘巡洋舰被炸沉，330架飞机被击落；几百名经验丰富的飞行员和机务人员阵亡。而美国只损失了1艘航空母舰，1艘驱逐舰和147架飞机。
从此，日本丧失了在太平洋战场上的制空权和制海权。
事例三 巴顿的战舰与浪高 军事边缘参数是军事信息的一个重要分支，它是以概率论、统计学和模拟试验为基础，通过对地形、气候、波浪、水文等自然情况和作战双方兵力兵器的测试计算，在一般人都认为无法克服、甚至容易处于劣势的险恶环境中，发现实际上可以通过计算运筹，利用各种自然条件的基本战术参数的最高极限或最低极限，
如通过计算山地的坡度、河水的深度、雨雪风暴等来驾驭战争险象，提供战争胜利的一种科学依据。
1942年10月，巴顿将军率领4万多美军，乘100艘战舰，直奔距离美国4000公里的摩洛哥，计划在11月8日凌晨登陆。11月4日，海面上突然刮起西北大风，惊涛骇浪使舰艇倾斜达42°。直到11月6日天气仍无好转。华盛顿总部担心舰队会因大风而全军覆没，电令巴顿的舰队改在地中海沿海的任何其他港口登陆。巴顿回电：不管天气如何，我将按原计划行动。
11月7日午夜，海面突然风平浪静，巴顿军团按计划登陆成功。事后人们说这是侥幸取胜，这位“血胆将军”拿将士的生命作赌注。
其实，巴顿将军在出发前就和气象学家详细研究了摩洛哥海域风浪变化的规律和相关参数，知道11月4日至7日该海域虽然有大风，但根据该海域往常最大浪高波长和舰艇的比例关系，恰恰达不到翻船的程度，不会对整个舰队造成危险。相反，11月8日却是一个有利于登陆的好天气。巴顿正是利用科学预测和可靠边缘参数，抓住“可怕的机会”，突然出现在敌人面前。
事例四 海湾战争--数学战 1990年伊拉克点燃了科威特的数百口油井，浓烟遮天蔽日，美国及其盟军在“沙漠风暴”以前，曾严肃地考虑点燃所有油井的后果。据美国《超级计算评论》杂志披露，五角大楼要求太平洋—赛拉研究公司研究此问题。该公司利用Navier-Stokes方程和有热损失能量方程作为计算模型，在进行一系列模拟计算后得出结论：大火的烟雾可能招致一场重大的污染事件，它将波及到波斯湾、伊朗南部、巴基斯坦和印度北部，但不会失去控制，不会造成全球性的气候变化，不会对地球的生态和经济系统造成不可挽回的损失。这样才促成美国下定决心。同时在这次战争中，美国将大批人员和物质调运到位，只用了短短一个月时间。这是由于他们运用了运筹学和优化技术。所以人们说第一次世界大战是化学战（火药），第二次是物理战（原子弹），海湾战争是数学战。
事例五 不可思议的美伊战争 美伊战争给人们带来太多的震撼！从2003年3月20日正式爆发，到4月11日美军攻占巴格达。进攻者以区区十万余人的军队，在二十几天的时间里，几乎没经过像样的战斗就完全征服了一个世界中等军事强国。不少人觉得美伊战争不像一场战争，而更像一场游戏。
而事实上并不奇怪，美军打的是一场由数学支撑的信息化战争。汤姆逊说：信息不仅仅是一件武器，它还是一种能够改变战争文化和定势的新技术。它能改变一切。它所带来的变化比我们看到的任何一种变化都来得强烈，比坦克、潜艇甚至原
子弹都要厉害。在今天的战场上，谁拥有绝对的信息掌控权，谁就能获得胜利。美军在美伊战争中通过数据链把天空地海、本土统帅部、前方司令部和战场上每一个士兵连为一体，反应灵敏，随心所欲。以最短的时间、最小的代价、最快的速度、最大的战果，赢得胜利。
过去战争打的是综合国力，现代战争打的是科学技术。任何重大的科技发明和创造，都首先和必须使用于战争，历史不止一次证明这一点。反过来说，一个国家或民族如果科技落后，感受最真切、最痛苦的也莫过于它的军队了。美国在美伊战争中使用的武器运用了人类最高级的科学发明和知识，包括牛顿力学、物体动力学、量子力学、电动力学、狭义与广义相对论、有机与无机化学、计算机网络等等（请注意：这里多数是以数学为后盾的！）。这的确是崭新的划时代意义的军事革命，即由大规模集结陆地军事力量的地面战争，转变为依靠高科技电子制导的空中控制力量，主要依靠空中作战遂行战略目的的战争。如果说它还有地面战的话，那也是新型意义下的超地面战争，同时精确制导技术已把战争带入了“精确战士”时代。有这样一组数据：美军从发现目标到实施精确打击的时间，即完成：发现——定位——瞄准——攻击——评估战果，这样一个“打击链条”所需的时间，海湾战争时是一百分钟，科索沃战争时为四十分钟，阿富汗战争时为二十分钟，而此次美伊战争只有十分钟，基本实现“发现即摧毁”。就对方而言，即“被发现即死亡”。
比较而言，伊军则是一支机械化和半机械化的军队。尽管伊军在兵力、地面兵器数量方面占有优势、空军飞机数量也相当可观；又根据前苏联的大范围前沿作战理论，伊军集结了大批装甲部队和炮兵部队，指挥结构高度集中；伊军还吸取了第一次海湾战争的教训，并学习了南联盟和车臣战争的经验，采取固守城市、寓军于民、全民皆兵的战略战术，但这样一支令人生畏的军队的防线却在短短的几天里就被数量很少的美军击破。俄罗斯军事观察家惊呼：“军事范例已经改变。其它国家最好注意，美国人已经重新书写了教科书。”
数学与战争
第二次世界大战初期，盟军大败，英国退居英伦三岛，遭致德国严重空袭，情势岌岌可危。英国空军虽然训练有素，但数额太少，所幸他们已经有了不错的雷达系统相助。怎样使雷达发挥最大效率，以补空军之不足？英国政府召集了一批科技人才，收集相关资料，以科学方法分析，最后建立一套新的运作系统，使得英国的空防力量加强了一倍。
初尝成功滋味，英国马上成立各种小组
，研究各种军事问题。珍珠港事变之后，美国也跟进研究，一门新的学问——作业研究，于焉诞生。这门学问的目的，就是运用科学的方法，数学的技巧，来分析各种状况以及应付状况所采行措施的有效性。当然它的应用范围不限于军事，在工商管理、政府运作方面，作业研究的重要性也日益增加。
以往，一提起战争与数学，大家总想到数学可以用来帮助设计新武器，而阿基米德的传闻故事自然浮在眼前：阿基米德所住的 Syracuse 王国遭到罗马人的攻击，国王 Hieron 请其好友阿基米德帮忙，设计了各式各样的弩炮，军用器械，利用抛物镜面聚太阳光线，焚毁敌人船舰。纵使传闻属实，这样的军事应用并没有用到较高层次的数学。其实，古时数学之用于军事只到这种层次，毋宁说是一种常态。《五曹算经》中的兵曹，其所含的计算，仅止于乘除；再进一步，也不过是测量与航海。一直到二十世纪，科学发展促使武器进步，数学才真的可能与战争有密切的关系，譬如他们的研究工作可能与空气动力学、流体动力学、弹道学、雷达及声纳、原子弹、密码与情报、空照地图、气象学、计算机等等有关，而直接或间接影响到武器或战术。当然，作业研究这种影响战略的应用，是另一种层面。
反过来，战争对数学的影响更大。阿基米德被罗马士兵刺杀，象征着崇尚理论的希腊文明，逐渐被崇尚实务的罗马文明所取代，使数学走入黑暗时代 注1 。比阿基米德稍早，亚历山大大帝东征西讨，使希腊数学远播印度，使希腊数学中心移往埃及的亚历山大城 注2 。罗马势力衰微，阿拉伯人兴起，阿拉伯人的征战，更把数学带往北非及西班牙，从而能够登上欧陆，成为欧洲文艺复兴的要素之一。
法国的革命战争使法国的数学呈现多采多姿。这个时期产生了成打的大数学家，如在变分法、力学、多体问题等方面有巨大贡献的 Lagrange(1736～1813年)，或然率学家的 Condorcet(1743～1794年)，天体力学及或然率方面的巨擘 Laplace(1749～1827年)，提出最小方差法并在椭圆积分及数论方面贡献良多的 Legendre(1752～1833年)，投影几何的创始人 Monge(1746～1818年)，几何学家 Carnot(1753～1823年)，傅氏分析的鼻祖 Fourier(1768～1830年)，分析学严格化及复变函数论的始祖 Cauchy(1789～1857年)，近代射影几何学的创始人 Poncelet(1788～1867年)等等，他们或是守旧的保皇党，或是热情的革命者，和当时的政治都不无关系。
一开始，Condorcet 热烈拥抱革命，并成为立法会议的秘书，同时改革了法国的教育制度。他是或然率专家，认为判决过程所历经的每个步骤都可能会有误差，所以反对死刑，反对
把路易十六送上断头台，因此遭到激烈革命人士的排斥、逮捕，最后死于牢狱之中。
1793年，欧洲百万联军来犯，意图干预法国革命，Carnot 组织十四个军团，有效阻止敌人，赢得‘胜利的组织者’的雅号；他后来反对拿破仑称帝，而一度流亡外国。
革命后，制定公制的度量衡单位，Lagrange 是草拟委员会的主席。Ecole Polytechnique 在1795年创立，这是法国革命对数学发展的另一重大影响。 Monge、Lagrange 都在此任教，许多该校的师生都是法国的大数学家。
拿破仑远征埃及，Monge 与 Fourier 随侍在侧；拿破仑当政，Laplace 曾为内政部长。 Laplace 是个骑墙派，在这个混乱的时期，谁当权，他就依附谁。
拿破仑征俄时，Poncelet 是随军中尉工程师。征俄惨败，Poncelet 奄奄一息，原被丢弃战场，幸亏经人救治，在泥泞的雪地中走了四个多月，最后在一个监狱里关了一年半载。这一关，数学多了一个分枝。Poncelet 在狱中冥思几何问题，把文艺复兴以来所产生的透视问题，从新的角度加以检讨，终于开创了近代射影几何学。在狱中，他也注意到俄国人所用的算盘，日后把它带回法国，使此昔日喧赫一时的计算工具重回欧州大陆，在教育上获得一席之地 注3 。
1930年代，法国的 Bourbaki 集团兴起，他们采用集体创作方式，想把已知的数学知识做个总整理。根据 Bourbaki 的说法，第一次世界大战时，德国的数学家可以不上战场，而法国的就不能幸免，所以战后法国的数学研究产生了断层——年轻一代，正有创造力的数学家都在战场上牺牲了。等到1930年代，更下一代的数学家只能到外国求学或自己学。这是 Bourbaki 集团成立的原因之一 注4 。自1930年代至今，Bourbaki 集团纵横数学界已历半世纪之久，其影响力还未见稍逊。
二次大战也是数学发展的转捩点之一。前已言及，有更多的数学家投身于武器与战略的研究。另一方面，欧洲大陆许多第一流的数学家如 Weyl、Von Neumann、Artin 等等，为了逃避纳粹迫害转往美国，使美国在战后一跃而成为第一流的数学国家。接着冷战开始，苏俄在人造卫星方面先拔头筹，美国政府大吃一惊，赶忙投下大笔经费，扩充大学基础科学系所，把世界各地的数学家吸引到新大陆。再一方面，为了使美国学童能够迎头赶上在数学教育方面的差距，有些数学家力倡新数学，把整理数学所用的方法误为就是数学的整体，流风所及，许多国家都盲目跟进，把数学教育带往错误的方向。
综上所言，数学与战争的关系，不单单止于武器而已。
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按例分析：
一、海湾战争是数学战争
1991年海湾战
争时，有一个问题放在美军计划人员面前，如果伊拉克把科威特的油井全部烧掉，那么冲天的黑烟会造成严重的后果，这还不只是污染，满天烟尘，阳光不能照到地面，就会引起气温下降，如果失去控制，造成全球性的气候变化，可能造成不可挽回的生态与经济后果。五角大楼因此委托一家公司研究这个问题，这个公司利用流体力学的基本方程以及热量传递的方程建立数学模型，经过计算机仿真，得出结论，认为点燃所有的油井后果是严重的，但只会波及到海湾地区以至伊朗南部、印度和巴基斯坦北部，不至于产生全球性的后果。这对美国军方计划海湾战争起了相当的作用，所以有人说：“第一次世界大战是化学战争(炸药)，第二次世界大战是物理学战争(为原子弹)，而海湾战争是数学战争。”
二、巴顿抓住了“可怕的机会”
军事边缘参数是军事信息的一个重要分支，它是以概率论、统计学和模拟试验为基础，通过对地形、天侯、波浪、水文等自然情况和作战双方兵力兵器的测试计算，在一般人都认为无法克服、甚至容易处于劣势的险恶环境中，发现实际上可以通过计算运筹，利用各种自然条件的基本战术参数的最高极限或最低极限，如通过计算山地的坡度、河水的深度、雨雪风暴等来驾驭战争险象，提供战争胜利的一种科学依据。
1942年10月，巴顿将军率领4万多美军，乘100艘战舰，直奔距离美国4000公里的摩洛哥，在11月8日凌时晨登陆。11月4日，海面上突然刮起西北大风，惊涛骇浪使舰艇倾斜达42°。直到11月6日天气仍无好转。华盛顿总部担心舰队会因大风而全军覆没，电令巴顿的舰队改在地中海沿海的任何其他港口登陆。巴顿回电：不管天气如何，我将按原计划行动。
11月7日午夜，海面突然息浪静，巴顿军团按计划登陆成功。事后人们说这是侥幸取胜，这位"血胆将军"拿将士的生命作赌注。
其实，巴顿将军在出发前就和气象学家详细研究了摩洛哥海域风浪变化的规律和相关参数，知道11月4日至7日该海域虽然有大风，但根据该海域往常最大浪高波长和舰艇的比例关系，恰恰达不到翻船的程序，不会对整个舰队造成危险。相反，11月8日却是一个有利于登陆的好天气。巴顿正是利用科学预测和可靠边缘参数，抓住“可怕的机会”，突然出现在敌人面前。
三、山本五十六“错误的五分钟”
在战争中，有时候忽略了一个小小的数据，也会招致整个战局的失利。
二战中日本联合舰队司令山本五十六也是一位“要么全赢，要么输个精光”的“拼命将军”。在中途岛海战中，当日本舰队发现按计划空袭失利，海面出现美军航空母舰
时，山本五十六不听同僚的合理建议，妄图一举歼灭敌方，根本不考虑美军4舰载飞机可能先行攻击可能。他命令停在甲板上的飞机卸下炸弹换上鱼雷起飞攻击美舰，只图靠鱼雷击沉航空母舰获得最大的打击效果，不考虑飞机在换装鱼雷的过程中可能遭到美机攻击的后果，因为飞机换弹的最快时间是五分钟。
结果，在把炸弹换装鱼雷的五分钟内，日舰和"躺在甲板上的飞机"变成了活靶，受到迅速起飞的美军舰载飞机的"全面屠杀"。日本舰队损失惨重。从此，日本在太平洋海域由战略进攻转入了战略防御。
战后，有些军事评论家把日本联合舰队在中途岛海战失败原因之一归咎于那"错误的五分钟"。可见，忽略了这个看似很小的时间因素的损失是多么重大。
数学与军事的相互促进
数学用之于军事，古已有之，如阿基米德设计各种弩炮、军用器械，利用抛物镜面聚太阳光线焚毁敌人船舰，后来数学用于军事也不过是侧重于航海。
第二次世界大战是数学发展的转折点之一。大战初期盟军大败，英国退居英伦三岛，遭致德国的严重空袭，情势相当危急。英国空军虽然训练有素，然而数量太少，无济于事。所幸的是英国已经有了不错的雷达系统帮助。怎样发挥雷达的作用，以弥补空军的不足?英国政府召集了一批科技人才(包括数学人才)，收集相关数据，用科学方法分析，最后建立起了一套新的运作系统使得英国的空防力量提高了一倍。
直到20世纪，科学发展促使武器进步，数学才真的可能与战争有密切的关系。当时，许多数学家投身于武器与战略的研究。他们的研究工作与空气动力学、流动动力学、弹道学、雷达及声呐、原子弹、密码与情报、空照守图、气象学、计算器等有关。另一方面，欧洲大陆许多第一流的数学家，为了逃避纳粹迫害而转往美国，使美国在战后一跃而成为第一流的数学强国。而冷战开始后，苏联在人造卫星方面先拔头筹，使美国政府大为吃惊，赶忙投下大量经费，扩充大学基础科学，吸引世界各地的数学家来美国。数学的发展大大加快了军事科学的前进步伐，数学与军事就是这样相互促进的。