平面的方程

又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故 平面的点法式方程为
(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0 整理得 x+y-2z+1=0
第一节 平面及其方程
O
z M0 M
n
y
x
A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0
(1)
第一节 平面及其方程
例1: 求过点(2, 3, 0)且以 n = {1, 2, 3}为法向量 的平面的方程. 解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为: 1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0
方程（1）称为平面的矢量式参数方程。
第一节 平面及其方程
3、平面的坐标式参数方程
r=r0+ ua+vb （1） 若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则 r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}
并设
a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}
则由（1）可得
x x0 X 1u X 2 v (2) y y0 Y1u Y2 v z z Z u Z v 0 1 2
第三章 Fra Baidu bibliotek面与空间直线
解析几何的基本思想是用代数的方法来研 究解决几何问题，其主要内容可示意如下： 点 轨迹 曲 曲 面 线 平面与直线 一般曲面 一般曲线
第三章 第四章 第五章 第一章 第二章
坐标 方程 普 参 通 数 方程与关系 常见曲面和二次曲面 二次曲线的一般理论
第三章 平面与空间直线
1、平面的方程 2、平面与点的相关位置 3、两平面的相关位置 4、空间直线的方程
第一节 平面及其方程
2、平面的矢量式参数方程 在空间，取标架{O；e1,e2,e3},并设点M0的径矢 OM0=r0,平面上的任意一点M的径矢为OM=r，显然 点M在平面上的充要条件为矢量M0M与a,b,面， 因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成： z M0M=ua+vb M0 a b M 又因为 M0M=r-r0 r0 r 所以 r-r0= ua+vb x O y r=r0+ ua+vb （1） 即
x3 y3 z3 1
或
(7 )
（5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程。
第一节 平面及其方程
特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为M1(a,0,0) M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,则平面的方程为
x y z 1 a b c
称为平面的截距式方程。 其中a,b,c分别称为平面在 三坐标轴上的截距。
（2）式称为平面的坐标式参数方程。
第一节 平面及其方程
例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。
设M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为Mi的 解： 径矢为ri=OMi，则可取方向矢量为
r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1}, r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1}, 因此，平面的矢量式参数方程为 r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3) 坐标式参数方程为 x x1 u ( x2 x1 ) v( x3 x1 ) y y1 u ( y2 y1 ) v( y3 y1 ) (4) z z u ( z z ) v( z z ) 1 2 1 3 1
第一节 平面及其方程
2. 平面的点法式方程 设平面过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n={A,B, C}. 对于平面上任一点M(x, y, z), 向量M0M与n垂直. n M0 M = 0 而M0 M ={x x0, y y0, z z0}, 得: 称方程(1) 为平面的点法式方程.
(8)
z M3 o x M1
M2
y
第一节 平面及其方程
二、平面的点法式方程
1. 法向量:
z
n
M
如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量．
x
M0
o
y
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
注: 1 对平面, 法向量n不唯一; 2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.
M1
n
i
j
k
M3 M2
3 4 6 = 14i + 9j k 2 3 1 所以, 所求平面的方程为: 14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0 即: 14x + 9y z 15 = 0
第一节 平面及其方程
例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直 平分面的方程。 解： 因为矢量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2} 垂直于平面，所以平面的一个法矢量为 n={1,1,-2}.
即:
x 2y + 3z 8 = 0
第一节 平面及其方程
例2: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程. 解: 先找出该平面的法向量n. 由于n与向量M1M2, M1M3都垂直. 而M1M2={3, 4, 6} 可取n = M1M2 M1M3 M1M3={2, 3, 1}
第一节 平面及其方程
从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：
（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0
（5）
x x1 x2 x1 x3 x1
与
y y1 y2 y1 y3 y1 0 (6) z z1 z 2 z1 z3 z1 x y z 1 x1 y1 z1 1 0 x2 y2 z 2 1
5、直线与平面的相关位置
6、空间两直线的相关位置
7、空间直线与点的相关位置
8、平面束
第一节
平面及其方程
一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程
1、方向矢量 在空间给定一个点M0与两个不共线的矢量a,b，则 通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。矢量a, b称为平面的方向矢量。
显然，任何一对与平面平行的不共线矢量都可作 为平面的方向矢量。