初二上动点问题

∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=5，∴BC+CQ=11，∴t=11÷2=5.5秒.
②当CQ=BC时(如图2)，
则BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒
③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，
则BE= ，
所以CE=BC2−BE2，故CQ=2CE=7.2，所以BC+CQ=13.2，
理由：过C作CE⊥AP于E，
∵∠CAD=∠EAC=60°，
AD⊥CD，
∴CD=CE，
∴∠DCE=60°，
∴∠OCE=∠PCE，
在△OCD与△PCE中， ，
∴△OCD≌△PCE，
∴OC=OP，
∴△OPC是等边三角形；
（3）当0<x≤2时，
在AB上找到Q点使得AQ=OA，则△AOQ为等边三角形，
则∠BQO=∠PAO=120°，
10．如图①，等腰直角三角形 的顶点 的坐标为 ， 的坐标为 ，直角顶点 在第四象限，线段AC与x轴交于点D.将线段DC绕点D逆时针旋转90°至DE.
（1）直接写出点B、D、E的坐标并求出直线DE的解析式.
（2）如图②，点P以每秒1个单位的速度沿线段AC从点A运动到点C的过程中，过点P作与x轴平行的直线PG，交直线DE于点G，求与△DPG的面积S与运动时间t的函数关系式，并求出自变量t的取值范围.
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB＝30°＋90°＋（90°－70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EAF＝∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝（90°－30°）＋（70°＋50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE＋BF成立，即EF＝1.5×（60＋80）＝210海里．
②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；
③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求得BE、CE，即可得出t.
解：(1)BQ=2×2=4cm，BP=AB−AP=8−2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ= ；
(2)BQ=2t，BP=8−t， 2t=8−t，解得：t=83；
(3)①当CQ=BQ时(图1)，则∠C=∠CBQ，
（3）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，点D在线段BC上运动（不与点B重合），试探究CF与BD位置关系．
7．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明；
试题解析：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴2AB2=BC2，∴AB= =5 cm；
（2）过A作AF⊥BC交BC于点F，
则AF= BC=5cm，
∵S△ABD=15cm2，∴AF×BD=30，∴BD=6cm．
若D在B点右侧，则CD=4cm，t=2s；若D在B点左侧，则CD=16cm，t=8s．
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
8．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）填空：∠CAM=__________度；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．
9．（1）如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,CE⊥直线mຫໍສະໝຸດ Baidu垂足分别为点D、E.证明:△ABD≌△ACEDE=BD+CE
(2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ,其中 为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
4．（1）1，等边三角形；（2）理由见解析；(3)当 时，y=2-x；当 时，
y=x-2
【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB=30°，求得∠ACP=30°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）过C作CE⊥AP于E，根据等边三角形的性质得到CD=CE，根据全等三角形的性质得到OC=OP，由等边三角形的判定即可得到结论；（3）分两种情况解决，在AB上找到Q点使得AQ=OA，则△AOQ为等边三角形，根据求得解实现的性质得到PA=BQ，求得AC=AO+AP，即可得到结论．
3．问题背景：EF＝BE＋DF；
探索延伸：EF＝BE＋DF仍然成立，理由见解析；
实际应用：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【解析】解：问题背景：EF＝BE＋DF；
探索延伸：EF＝BE＋DF仍然成立．
证明如下：如图，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，
5．（1）等边三角形；（2）直角三角形；（3）当 的度数为 或 或 时，△AOD是等腰三角形.
【解析】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；
（1）求AB的长；（2）当t为多少时，△ABD的面积为15cm2？
（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．（请在备用图中画出具体图形）
3．（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
∴t=13.2÷2=6.6秒.
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形.
“点睛”本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用.
2．（1）5 ；（2）2或8； （3）2或10．
【解析】试题分析：（1）运用勾股定理直接求出；（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值；（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．
∵CE=2t，BD=3t﹣10,
∴2t=3t﹣10,
∴t=10
证明：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE．
点睛：本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定以及面积的计算；本题综合性强，有一定的难度，熟练掌握等腰直角三角形的性质和分类讨论思想的运用.
试题解析：
（1）AD=AP=1,
∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴∠B=∠ACB=30°，
∵∠OCP=60°，
∴∠ACP=30°，
∵∠CAP=180°﹣∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=60°，
在△ADC与△APC中， ，
∴△ACD≌△ACP，
∴CD=CP，
∴△PCO是等边三角形；
（2）△OPC还满足（1）的结论，
（3）令AO=x，AP=y，请直接写出y关于x的函数表达式，以及x的取值范围。
图一 图二
5．探究题
如图，点O是等边△ABC内一点，∠A OB﹦1100，∠BOC﹦a，将△BOC绕点C按顺时钟方向旋转60O得△ADC，连接OD.
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当a﹦150O时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当仅为多少度时，△AOD是等腰三角形？
6．如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为BC边上一动点，连接AD，以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．
（1）如图1，若AB=AC，∠BAC=90°，当点D在线段BC上时（不与点B重合），
证明：△ACF≌△ABD
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF与BD的数量关系和位置关系是什么，并说明理由；
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间？
2．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=10cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒2厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．
在△ABE和△ADG中， ，∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中， ，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，
∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF；
【解析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）设出发t秒后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；
（3）当点Q在CA上运动上，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ=BQ时（图1）则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；
（3）动点E从点C沿射线CM方向运动2秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动6秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：（说理过程简要说明即可）
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．
∵CE=2t，BD=10﹣3t
∴2t=10﹣3t
∴t=2
证明：在△ABD和△ACE中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
4．（12分）在等腰△ABC中，AB=AC=2, ∠BAC=120°,AD⊥BC于D,点O、点P分别在射线AD、BA上的运动，且保证∠OCP=60°，连接OP.
（1）当点O运动到D点时，如图一，此时AP=______,△OPC是什么三角形。
（2）当点O在射线AD其它地方运动时，△OPC还满足（1）的结论吗？请用利用图二说明理由。
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）如图③，设点F为直线DE上的点，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FE以每秒 个单位的速度运动到E后停止.当点F的坐标是多少时，是否存在点M在整个运动过程中用时最少？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．(1) ； （2）t=83；（3）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.
初二上动点问题
1．如图，已知△ABC中，∠B=90 º，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求线段PQ的长？
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形？
在△BQO和△PAO中， ，
∴△BQO≌△PAO（AAS），
∴PA=BQ，
∵AB=BQ+AQ，
∴AC=AO+AP，
∵AO=x，AP=y，
∴y=﹣x+2；
当 时， 利用同样的方法可求得y=x-2
点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BQO≌△PAO是解题的关键，解决本题时注意分类讨论，要做到不重不漏．