简谐振动与频谱分析

第一章 简谐振动与频谱分析这一章是一些基础内容，主要介绍:(1)简谐振动的特点及表示方法、(2) 周期振动的谐波分析、(3) 非周期振动的谱分析、(4) 单位脉冲函数的定义、性质、应用等。

现实中很多结构振动（特别是人造的结构振动）是可以用函数关系表示的（揭示振动规律），根据运动表现形式振动可分为：（1）周期振动；（2）非周期振动。

而简谐振动是最简单的周期振动，重要的是周期振动可以分解为多个简谐振动的叠加。

§1.1 简谐振动的表示方法及合成数学知识：1．()sin()x t A t ω=+ϕcos()sin()2xA t A t πωωωω=+ϕ=+ϕ+ 22sin()sin()xA t A t ωωωωπ=-+ϕ=+ϕ+2．cos sin i e i i θθθ=+= ()i t Z Ae ω+ϕ=； ()i t Zi Ae ωω+ϕ= ； 2()i t Z Ae ωω+ϕ=- 3．2cos 2sin2sin sin BA B A B A -⋅+=+ （和差化积） ―――――――――――――――――――――――――――1. 简谐振动的表示 (1) 简谐振动的一般表示简谐振动是周期振动中最简单的一种，它可以用正弦函数表示为()s i n ()x t A t ω=+ϕ （1.1） A ——振幅，ω——圆频率，ϕ——初相位ω又称角频率，它与频率f ，周期T 的关系为22f Tπωπ== （1.2）ω（rad/s ），f （Hz ），T （s ），为了方便，以后也称ω为频率。

从简谐振动的函数形式而言，若确定了振幅、频率及初相位这三者就完全确定了一个简谐振动，通常把振幅、频率和相位称为简谐振动的三要素。

图1-1若x 是位移，则速度 cos()sin()2xA t A t πωωωω=+ϕ=+ϕ+ （1.3） 加速度 22sin()sin()x A t A t ωωωωπ=-+ϕ=+ϕ+ （1.4） 可见，简谐振动的速度也是简谐运动，其速度的相位超前位移2π，简谐振动的加速度也是简谐运动，其加速度的相位超前速度2π。

从位移、速度、加速度的表达式可以看到它们的频率是相同，幅值是频率的函数。

为测量提供了依据。

根据加速度的式子，我们有2x x ω=-（1.5） 即加速度大小与位移成正比，但方向总与位移相反，始终指向平衡位置，上式改写为2220d xx dtω+= 显然这个微分方程的解是以ω为频率的正弦函数或余弦函数。

(2) 简谐振动的旋转矢量表示简谐振动可以用平面上匀速旋转的矢量来表示。

旋转矢量在x 轴的投影ON 即简谐振动。

利用旋转矢量能直观形象地表示简谐振动位移、速度、加速度之间的关系。

图1-2(3) 复数表示 一个复数()cos()sin()i t Z Ae A t iA t i ωωω+ϕ==+ϕ++ϕ=容易得到Im()Im()Im()x Z x Z x Z=== （1.12） 简谐振动的复数表示方法较便于分析，在以后解方程时常用到。

2. 简谐振动的合成（1） 两个相同频率的简谐振动的合成仍是简谐振动，并保持原来的频率，这个很容易证明，自己看讲义。

（2） 频率不同的两个简谐振动的合成不再是简谐振动。

频率比为有理数时，合成为周期振动，频率比为无理数时，合成为非周期振动。

设11112222sin()sin()x A t x A t ωω=+ϕ=+ϕ又设频率比为有理数12mnωω=（m 、n 为互质整数） 改写为： 2111n m ωω⋅=⋅， 2122n m ππωω⋅=⋅即 21n T m T ⋅=⋅ 令 21T nT mT == 证 12x x x =+12112212()()()()()()()()x t T x t T x t T x t mT x t nT x t x t x t +=+++=+++=+=所以，T 就是1x 与2x 的合成后的周期，所以这时合成后的运动是周期运动。

当频率比为无理数时12m nωω≠ 即找不到周期T ，所以这时合成的运动不是周期运动。

图1-3（3） 频率很接近的两个简谐振动的合成会出现“拍”的现象。

设两个频率很接近的简谐振动为11112222sin()sin()x A t x A t ωω=+ϕ=+ϕ设 122ωωε-= ε——小量12111222sin()sin()x x x A t A t ωω=+=+ϕ++ϕ改写 121122121122[sin()sin()]2[sin()sin()]2A A t t A A t t ωωωω+=+ϕ++ϕ-++ϕ-+ϕ为了简单起见，仅考虑振幅1A 与2A 接近的情况，上式的第二项可以忽略不计，利用三角函数的基本关系1212()()cos()sin()222x t A A t t ωωε1212ϕ-ϕ+ϕ+ϕ⎡⎤=++⋅+⎢⎥⎣⎦这是一个可以变振幅的简谐振动，振动频率为122ωω+，振幅为12()A A +与零之间缓慢地周期性变化，如书p12页图1-4所示，这种现象称为“拍”，振幅的包络为12()()cos()2A t A A t ε12ϕ-ϕ=++“拍”的周期为πε。

[数学周期为2πε，对称所以取一半]。

对于1A 和2A 不接近的情况，合成振动是频率接近为122ωω+的变幅振动。

“拍”的现象在振动试验中是很有用的。

πε12A A +§1.2 周期振动的谐波分析数学知识：4．()()()x t E t O t =+()E t ：关于原点的偶函数，数学特征：()()E t E t =- 例如：()()cos cos t t ωω=-()O t ：关于原点的奇函数，数学特征：()()O t O t =-- 例如：()()sin sin t t ωω=-- 5．22()sin()0T T n E t t dt ω-=⎰002022()sin()()sin()()sin()T T T n n n E t t dt E t t dt E t t dt ωωω-=---=-⎰⎰⎰或：()sin()()sin()n n E t t E t t ωω--=- 是奇函数。

22()cos()0T T n O t t dt ω-=⎰002022()cos()()cos()()cos()T T T n n n O t t dt O t t dt O t t dt ωωω-=---=-⎰⎰⎰或：()cos()()cos()n n O t t O t t ωω--=- 是奇函数。

2202()cos()2()cos()T T T n n E t t dt E t t dt ωω-=⎰⎰2202220222200()cos()()cos()()cos()()cos()()cos()()cos()()cos()2()cos()T T T T n n n T T n n T T T n n n E t t dt E t t dt E t t dtE t t dt E t t dtE t t dt E t t dt E t t dt ωωωωωωωω--=+=---+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰或： ()cos()()cos()n n E t t E t t ωω--= 是偶函数。

2202()sin()2()sin()T T T n n O t t dt O t t dt ωω-=⎰⎰2202220222200()sin()()sin()()sin()()sin()()sin()()sin()()sin()2()sin()T T T T n n n T T n n T T T n n n O t t dt O t t dt O t t dtO t t dt O t t dtO t t dt O t t dt O t t dtωωωωωωωω--=+---+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰或： ()sin()()sin()n n O t t O t t ωω--= 是偶函数。

规律：偶偶得2（1＋1＝2）；奇奇得2（－1－1＝－2）；偶奇得0（1－1＝0）；奇偶得2（－1＋1＝0）。

6． )s i n ()c o s (t n i t n e t in ωωω+=； )s i n ()c o s (t n i t n e t in ωωω-=-∴ )(21)c o s (t in t in e e t nωωω-+=； )(2)s i n (t in t in e e it n ωωω-=- ―――――――――――――――――――――――――――――――一、周期函数的谐波分析周期振动在工程中是很常见的，如旋转系统的振动信号，往复机械振动信号等等。

对于周期振动可以表示为：()()1,2,3,x t x t nT n =±= (1.25)T ——周期图1-5当周期信号满足狄利赫莱(Dirchlet)条件，则可进行傅里叶级数展开，即0111()(cos sin )2n n n a x t a n t b n t ωω∞==++∑ （1.26）式中，n a 、n b 称为傅里叶系数0112()2()cos 2()sin T Tn T n a x t dt T a x t n tdt T b x t n tdt T ττττττωω+++⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭⎰⎰⎰ （1.27）其中12Tπω=称为基频，τ为任一时刻 （1.26）式又可改写为01n 1()sin()2n n a x t c n t ω∞==++ϕ∑ （1.30）式中 1n nn na c tgb -=ϕ= 1n 0()cos()n n x t c n t ω∞==+ϕ∑00,02a c =ϕ= 可见，通过傅氏技术展开，周期振动被表示成一系列频率为基频整倍数的简谐振动的叠加，n c 和n ϕ为频率为1n ω的简谐振动的振幅和相位。

002ac =，为()x t 的平均值，这个展开过程称为谐波分析。

通过傅立叶级数将周期振动展开成一系列简谐振动（谐波）的叠加，该过程称为谐波分析。

频谱图：令1n ωω=⋅，由上式可见，每一简谐振动的振幅n c 和相位n ϕ与1n ωω=⋅相对应，即n c 和n ϕ是频率ω的函数。

将这个函数关系图表示为振幅频谱图——幅频谱 相位频谱图——相谱0n c =≥ 即幅频谱都为正，谱线的间隔为12Tπω=离散的垂直线称为谱线。

由频谱可知，一个周期振动中所包含全部简谐振动的频率分量，各种分量的幅值和相位都一目了然。

这种分析振动的方法称为频谱分析。

可以看到频谱分析实际上是将振动信号从时间域转换到频率域。

谐波分析（频谱分析）的功能（作用）： (1) 复杂信号从时间域转成频率域； (2) 转成频域后，信号的特征更加明显； (3) 分段线性的函数线性化；(4) 将激振力分解，使得系统振动分析简化； (5) 故障诊断。