线性代数：可交换整理

定理1
下面是可交换矩阵的充分条件：
(1)设A , B至少有一个为零矩阵,则A , B可交换;
(2)设A , B至少有一个为单位矩阵,则A , B可交换;
(3)设A , B至少有一个为数量矩阵,则A , B可交换;
(4)设A , B均为对角矩阵,则A , B可交换;
(5)设A , B均为准对角矩阵（准对角矩阵是分块矩阵概念下的一种矩阵。即除去主对角线上分块矩阵不为零矩阵外，其余分块矩阵均为零矩阵）,且对角线上的子块均可交换，则A , B可交换;
(3) A - B = ( A - B ) ( A + A B …+B ) = ( A + A B + …+ B) ( A - B)
(4) ( A + B )^m =
(矩阵二项式定理)
性质2
设A , B可交换,
(1)若A , B均为对合矩阵,则AB也为对合矩阵;
(2)若A , B均为幂等矩阵,则AB , A + B -AB也为幂等矩阵;
(6)设A*是A的伴随矩阵,则A*与A可交换;
(7)设A可逆,则A与其逆矩阵可交换;
注：A的逆矩阵经过数乘变换所得到的矩阵也可以与A进行交换。
(8)（n=0,1...,）可与(m=0,1..., )交换.这一点由矩阵乘法的结合律证明。
定理2
(1)设AB =αA +βB ,其中α,β为非零实数,则A , B可交换;
(1) A² - B² = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A + B)
(2) ( A ±B) ² = A ² ±2 AB + B² ;
(3) ( AB)T= ATBT;
(4) ( AB)*= A*B*
定理5
可逆矩阵A , B可交换的充要条件是：
(AB) = A ·B .
定理6
(1)设A , B均为(反)对称矩阵,则A , B可交换的充要条件是AB为对称矩阵;
(2)设A , B有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A , B可交换的充要条件是AB为反对称
性质1
设A , B可交换,则有:
(1) A·B = B·A , ( AB) = A B,其中m , k都是正整数;
(2) A f ( B) = f ( B ) A ,其中f ( B )是B的多项式,即A与B的多项式可交换;
(2)设A m +αAB = E ,其中m为正整数,α为非零实数,则A , B可交换.
定理3
(1)设A可逆,若AB = O或A = AB或A = BA ,则A , B可交换;
(2)设A , B均可逆,若对任意实数k ,均有A = ( A - k·E) B ,则A , B可交换.
定理4
下列均是A , B可交换的充要条件:
(3)若A , B均为幂幺矩阵,则AB也为幂幺矩阵;
(4)若A , B均为幂零矩阵,则AB , A + B均为幂零矩阵.
性质3Βιβλιοθήκη Baidu
若A,B可交换，则A，B可同时上三角化。