非牛顿流体边界层减阻流动研究_陈仕伟

自从 Toms(1948), Krame 先后发现高分子稀溶液 或弹性护面材料都能实现粘性减阻以来 , 减阻流动具 有的巨大的应用价值正吸引愈来愈多的科技人员从 事到这一复杂研究中来 。 由于阻力减少主要发生在 流动的边界层内 , 因而对非牛顿流体边界层的研究 , 特别是湍流边界层的研究显得非常重要 。 韩式方在 非牛顿流体边界层流动方面 , 完成了一系列研究工 作[ 1][ 2] ;L .I .Sedov[ 3] , L .Hoffmann 和 P .Schiimmer[ 4] 各 自通过实验得到了不同浓度的高分子添加剂在不同 雷诺数下对于摩擦阻力减小的影响 , Seyer 和 Metzner 以及 Meyer 也各自通过理论与实验相结合的方式研 究了湍流边界层内的速度分布 。韩式方及其指导的 学生 , 研究了管道入口段的非牛顿流体流动 , 以及
则得到
·
θ·0 +UU
(4
θ0
+6
θ1)=
24 θ0
θ20 +H2 θ20 +H1
-2θ40 P
-2θ41Q
(15)
·
-θ0+2
·
·
θ1+
U U
(-θ0
+5
θ1)=
1 θ0
θ20 +H2 θ20 +H1
(16)
第5期
陈仕伟 :非牛顿流体边界层减阻流动研究
23
其中 , P =P(θ0 , θ1 , H1 , H2), Q = Q(θ0 , θ1 , H1 ,
概括起来 , 对减阻流动的研究 , 以实验居多 , 既 使有理论基础 , 也需要大量的实验以确定若干函数 关系 , 而直接从本构理论出发来研究的 , 则很少 。本 文直接 以 Maxwell-oldroyd 本 构模型出 发 , 讨 论了一 类非牛顿流体的减阻流动 , 并给出了相关数值计算 结果 。
方向和 y
方向的速度
;U
为轴线流速
;U′=dd
U X
。
取变量代换
∫ ∫ x
ξ= Udx , η=
0
1 ν0
y
Udy
0
= Uνy0 ,
·
u
=Uu , v
= U
v ν0 , w
=v
+UUηu
(4)
其中 ,
·
U
=ddUξ。考虑到式(1)和式(4), 式(2)、
(3)变成
u
uξ+w
·
uη= UU(1 -u2)+
γ
(1)
22
四川大学学报(工程科学版)
第 32 卷
式中 , η0 为零剪切粘度 ;λ1 为松驰时间 ;λ2 为推 迟时 间 。随 着 γ增 加 , η(γ)单调 下 降 至 最 低 值 η0 λ2/ λ1 。4 常数 Oldroyd 模型表现出的这种剪切稀 化性质 , 有利于该模型描述的流体产生减阻流动 。
出现雷诺数 Re 是因为当Re 大于 103(通常所考虑的
减阻流动情形 , Re >103)时 , Cf 与 R eδ变得几乎与
θ0 =3.1554 ξ/ K , θ1 =3.4792 ξ/K
(20) (21)
(22)
令 θ0 = γ0 ν0 , θ1 = γ1 ν0 , ξ= ν0 ζ (23) 取 ζ=10-4 1 , 由式(22)得
γ0 =0.03155/ K , γ1 =0.03479/ K , ζ=10-4
+H +H
21) )-2θ40 P
-2θ41 Q
-[ 1 +1 6+(2θ(03-θ05-θ1)θ/1)R/eRe]
·
θ0+
(17)
[ 2 +1 2+(2θ(03-θ05-θ1)θ/1)R/eRe]
·
θ1 =
6 θ0
·
θ20 θ20
+H2 +H1
(18)
边界条件 :θ0 =1/( uη)η=0 =0 ,
-γ1(ζ)·
[ u +ln(1 -u)]
(26)
若 u =0.999 , 由上式得
R
eδ
=Uν平0
δ=
Uν0δ·
U平 U
=1
5.91γ1 -4.91γ0 +2(3γ0 -γ1)/ Re
(27)
考虑到式(1)、式(8)及式(14), 有
Cf
=
1 2
τw ρU2平
= γ2(0(γγ2020++HH2/1/νν0)0)[ 1 +2(3γ0 -γ1)/ Re] 2
4
= H1 ν0 Re4(UU平)4 ;
H2
=H2
ν0
R
e4
(U U平
)4
。
而 : H1 = λ1 μ0ν20/ h4 , H2 = λ2 μ0 ν20/ h4 ,
Re = ρU平 h/ η0 。
对式(5)、(6)进行 DORODNITSYN 变换 , 得动量方程
∫ ∫ d
dξ
0δuf(u)d η=UU·
Abstract :Laminar boundary layer flow of four constants Maxwell-oldroyd fluid is investigated .The velocity distribution in boundary layer , the thickness of the boundary layer are shown .The relation between friction factor , Reynolds number , the material functions of Non-newtonian fluids is given .For the laminar flow of Non-newtonian fluids some drag reduction , like turbulent flow , has been found . Key words:Maxwell-oldroyd fluid ;boundary layer ;DORODNITSYN method ;drag reduction flow
1 本构关系
考虑高分子稀溶液的减阻流动 , 选用 Oldroyd 模 型 。考察二维流动情形 , 并对边界层内的流动作量 阶分析 , 可得到附面层内本构关系较简单的表达式 :
τxy = η0
u y
1 1
+λ2 μ0(yu)2 +λ1 μ0(yu)2
=
η0
1 1
+λ2 μ0 γ2 +λ1 μ0 γ2
文章编号 :1009-3087(2000)05-0021-04
非牛顿流体边界层减阻流动研究
陈仕伟
(四川工业学院 动力系 , 成都 611744)
摘 要 :研究 了四常数 Maxwell -Oldroyd 模型 非牛顿流体 边界层流 动 , 给 出了边界层 内速度分布 数值解 , 以及边 界
层厚度 、摩阻系数沿程变化关系 。 为探讨高分子稀溶液管 内流动减阻提供了理论依据 。
关键词 :Maxwell-Oldroyd 模型 ;边界层 ;DORODNITSYN 积分 ;减阻流动
中图分类号 :0373
文献标识码 :A
Study on Boundary Layer Drag Reduction of Non-newtonian Fluids
CHEN Shi-wei
(Dept .of Dynamics , Sichuan Industrial College, Chengdu 611744 , China)
(24)
将式(23)代入式(17)、式(18), 并以式(24)作边
界条件 , 通过数值计算 , 得到数值解
γ0 = γ0(ζ), γ1 = γ1(ζ)
(25)
由式(8)、式(11)并考虑到 u |η=0 =0 , 用无量
纲量表示 , 有
η＊
=
Uy ν0
= γ0(ζ)[ ln(1 -u)+2u]
θ1 =1/( ηu)u =12 =0 , 当 ξ=0 。
(19)
上两式是关于 θ0 , θ1 的一阶微分方程组 , 一般
可用数值解 。为避开 θ0 = θ1 =0 这个奇点 , 在 θ0 =
θ1 =0 附近寻找解析解 , 再用数值计算完成全部解
答 。 考虑
ddUx =0 及 0 < θ0 H2 < H1 ,
(11)
θ1 表示 u
=
1 2
时
θ的值 。将上式代入连续方程
∫δ
U(h -2 δ)+2 udy =U 平 h
0
(12)
并考虑到
∫0.999
δ=
0
Uν0 θd u
可得
(13)
U U平
=1 +
ν20 Re(3θ0 -θ1)
(14)
在式(9)中 ,分别令 f(u)=1 -u , f(u)=(1 -u)2 ,
0 < θ1 +H2 θ2 +H1
≈ H2 H1
=
λ2 λ1
=
1 K
(λ1 =K λ2)
分别取 f(u)=1 -u , f (u)=(1 -u)2 代入式
(9), 得
·
θ1
=K2θ00
-K1θ61
·
θ0
=K3θ40
-K3θ21
在边界条件(19)下 , 上方程组有解答
收稿日期 :1999-07-06 基金项目 :国家自然科学基金(19672063) 作者简介 :陈仕伟(1963- ), 男, 讲师 .研究方向 :非牛顿流体力学 .