第四章+空间统计分析初步
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甘肃农业大学资源与环境学院
一、基本原理与方法
www.gsau.edu.cn
（一）空间权重矩阵
✓ 通常定义一个二元对称空间权重矩阵W，来表达n 个位置的空间区域的邻近关系，其形式如下
w11 w12 w1n
W
w21
w22
w2n
wn1
wn2
wnn
式中：Wij表示区域i与j的临近关系，它可以根据邻接标准 或距离标准来度量。
John Snow的霍乱地图 当发现某种病仅仅发生在靠近河流的村庄时，河流中的寄生物可
能是病源。
➢ 空间统计学可以帮助我们处理大的复杂数据集, 这是GIS经常面对的事情。
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❖ 1854年8月到9月英国伦敦霍乱 流行时，当局始终找不到发病的 原因，后来医生约翰·斯诺 (John Snow) 参与调查。
❖ 他在绘有霍乱流行地区所有道路、 房屋、饮用水机井等内容的1： 6500比例尺地图上，标出了每 个霍乱病死者的居住位置，得到 了霍乱病死者居住分布图。
霍乱病死者居住分布图(J甘o肃h农n业S大no学w资,源1与8环54境)学院
第1节 探索性空间统计分析
Leabharlann Baidu
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➢基本原理与方法 ➢应用实例
✓ 并且，对应于Moran散点图的不同象限，可识别出空间分布中 存在着哪几种不同的实体。
✓ 将Moran散点图与LISA显著性水平相结合，也可以得到所谓的 “Moran显著性水平图”，图中显示出显著的LISA区域，并分 别标识出对应于Moran散点图中不同象限的相应区域。
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二、应用实例
✓
局部Moran指数检验的标准化统计量为
Z(Ii )
Ii E(Ii ) VAR(Ii )
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G统计量
❖ 全局G统计量的计算公式为
G
wij xi x j /
xi x j
ij
ij
❖ 对每一个区域单元的统计量为
Gi wij x j / x j
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中国大陆30个省级行政区人均GDP的空间关联分析。根据各省 （直辖市、自治区）之间的邻接关系，采用二进制邻接权重矩阵， 选取各省（直辖市、自治区）1998—2002年人均GDP的自然对数， 依照公式计算全局Moran指数I，计算其检验的标准化统计量Z （I），结果如下表所示。
经典统计：独立性、随机性假设 空间统计：自相关、依赖性、异质性
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空间统计的基本思想：
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地理学第一定律（FLG）: everything is related to everything else, but near things are more related than distant things (Tobler,1970).
i
j
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✓ 对统计量的检验与局部Moran指数相似，其检验值为
Z
(Gi
)
Gi E(Gi ) VAR(Gi )
✓ 显著的正值表示在该区域单元周围，高观测值的区域单 元趋于空间集聚，而显著的负值表示低观测值的区域单元趋 于空间集聚,与Moran指数只能发现相似值(正关联)或非相似 性观测值(负关联)的空间集聚模式相比，具有能够探测出区 域单元属于高值集聚还是低值集聚的空间分布模式。
当Z值为零时，观测值呈独立随机分布。
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❖ G系数探测高值聚集的能力强于低值聚集; ❖ 当研究范围内同时存在高值和低值聚集时,G系数会
受聚集区域规模的影响,当高值聚集区域和低值聚集 区域规模相当时,G系数往往为正数,表明G系数对高 值敏感; ❖ Moran指数主要受聚集区域规模的影响,随着空间 聚集范围的扩展,Moran指数会明显增大。
Tobler, W. R. (1970). "A computer movie simulating urban growth in the Detroit region". Economic Geography, 46(2): 234-240.
Waldo Tobler（born in 1930） receiving a plaque for his contributions to geography. On the event of his November 2000 birthday.
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探索性空间数据分析(ESDA)
ESDA是指利用统计学原理和图形图表相结合 对空间信息的性质进行分析、鉴别，用以引 导确定性模型的结构和解法。
ESDA与EDA区别在于它考虑了数据的空间特 性，在方法上它将数据分解为一般趋势和叠 加于其上的局部变化两部分。然后用一定的 数学函数去拟合由样本点产生的经验变率函 数，进行诸如克立格内插等空间操作。
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Moran散点图
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以（Wz，z）为坐标点的Moran散点图，常来研究局部的 空间不稳定性，它对空间滞后因子Wz和z数据对进行了可视 化的二维图示。
全局Moran指数，可以看作是Wz对于z的线性回归系数， 对界外值以及对Moran指数具有强烈影响的区域单元，可通 过标准回归来诊断出。
空间数据分析与传统统计分析主要有两大差异：
(1)空间数据间并非独立，而是在维空间中具有某种空间相关 性，且在不同的空间分辨率下呈现不同之相关程度；
(2)地球只有一个，大多数空间问题仅有一组（空间分布不规 则的）观测值，而无重复观测数据。因此，空间现象的了 解与描述是极为复杂的，而传统方法，尤其是建立在独立 样本上的统计方法，不适合分析空间数据。
由于数据对（Wz，z）经过了标准化，因此界外值可易由 2－sigma规则可视化地识别出来。
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Moran散点图的4个象限， 分别对应于区域单元与其邻居 之间4种类型的局部空间联系 形式：
第1象限代表了高观测值的 区域单元被高值的区域所包围 的空间联系形式；
第2象限代表了低观测值的 区域单元被高值的区域所包围 的空间联系形式；
如果是位置（区域）的观测值，则该变量的全局Moran指
数I，用如下公式计算
n n
n
wij xi x x j x
I i1 j1
nn
n
wij xi x 2
i1 j1
i 1
nn
wij (xi x)(x j x)
i1 ji
nn
S 2
wij
i1 ji
式中： I 为Moran指数；
如果地理学从根本上值得研究，必然是 因为地理现象在空间上的变化不是随机 的。 经典统计：随机
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为什么要用空间统计
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➢ 可以借助空间统计更好地理解地理现象。
或许学习空间统计最重要的原因是我们不仅仅想知道问题“怎么
样”，更想知道“哪里怎么样”
➢ 空间统计学可以帮助我们准确地判断具体地理模 式的原因。
S 2 1
n
i
(xi x)2 ；
x
1 n
n i 1
xi
。
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✓
Geary 系数C计算公式如下
n n
n 1
wij xi x j 2
C
i1 j1
nn
n
2 wij xi x2
i1 j1
i 1
式中：C为Geary系数；其他变量同上式。
n
wij zi z j
i1 j1
n
z T Wz
S0
n
(xi x)2
S0
n
zi2
S0 zT z
i 1
i 1
Moran指数I的取值一般在[-1，1]之间,小于0表示负相 关，等于0表示不相关，大于0表示正相关；
Geary系数C的取值一般在[0，2]之间，大于1表示负 相关，等于1表示不相关，而小于1表示正相关。
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两种最常用的确定空间权重矩阵的规则
①简单的二进制邻接矩阵
1 当区域i和j相邻接
wij 0
其他
②基于距离的二进制空间权重矩阵
1 当区域i和j的距离小于d时
wij 0
其他
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（二）全局空间自相关
✓ Moran指数和Geary系数是两个用来度量空间 自相关的全局指标。 ✓ Moran指数反映的是空间邻接
或空间邻近的区域单元属性值 的相似程度。 ✓ Geary 系数与Moran指数存在 负相关关系。
Patrick A.P.Moran （1917-1988）
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第四章 空间统计分析
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本章主要内容
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➢第一节 探索性空间统计分析 ➢第二节 地统计分析方法
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空间统计分析
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✓ 空间统计分析,即空间数据（spatial data）的统 计分析，是现代计量地理学中一个快速发展的方向 和领域。
✓
如果引入记号
nn
S0
wij
i1 j 1
z j (xj x)
zi (xi x)
zT [z1, z2 ,, zn ]
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则全局Moran指数I的计算公式也可以进一步写成
nn
nn
I n
wij (xi x)(x j x)
i1 j1
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对于Moran指数，可以用标准化统计量Z来检验n个区域是否存 在空间自相关关系，Z的计算公式为
Z I E(I) VAR(I )
当Z值为正且显著时，表明存在正的空间自相关，也就是说相似 的观测值(高值或低值)趋于空间集聚；
当Z值为负且显著时，表明存在负的空间自相关，相似的观测值 趋于分散分布；
✓ 空间统计分析，其核心就是认识与地理位置相关的 数据间的空间依赖、空间关联或空间自相关，通过 空间位置建立数据间的统计关系。
✓ 空间统计分析的任务，就是运用有关统计方法，建 立空间统计模型，从凌乱的数据中挖掘空间自相关 与空间变异规律。
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空间统计 VS. 经典统计
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http://en.wikipedia.org/wiki/Waldo_R._Tobler
FLG的一般性: 自然地理、人文地理、社会经济
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空间自相关是普遍存在的，否则地理分 析便没有多大意义。 经典统计：独立
空间自相关的存在，使得经典统计学所要求的样 本独立性假设不满足。
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（三）局部空间自相关
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局部空间自相关分析方法包括3种: 空间联系的局部指标(LISA)； G统计量； Moran散点图。
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空间联系的局部指标(LISA)
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空 间 联 系 的 局 部 指 标 （ local indicators of spatial association ，缩写为LISA）满足下列两个条件：
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第3象限代表了低观测值 的区域单元被低值的区域所 包围的空间联系形式；
第4象限代表了高观测值 的区域单元被低值的区域所 包围的空间联系形式。
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✓ 与局部Moran指数相比，其重要的优势在于能够进一步具体区 分区域单元和其邻居之间属于高值和高值、低值和低值、高值和 低值、低值和高值之中的哪种空间联系形式。
（1）每个区域单元的LISA，是描述该区域单元周围 显著的相似值区域单元之间空间集聚程度的指标；
（2）所有区域单元LISA的总和与全局的空间联系指 标成比例。
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LISA包括局部Moran指数（local Moran index） 和局部Geary指数（local Geary index），下面重 点介绍和讨论局部Moran指数。
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✓
局部Moran指数被定义为
可进一步写成
I
i
(xi S2
x)
j
wij (x j x)
n(xi x) wij (x j x) nzi wij z j
I i
j
(xi x)2
j
zT z
zi wij zj
j
i
式中：zi 和 z j是经过标准差标准化的观测值。
一、基本原理与方法
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（一）空间权重矩阵
✓ 通常定义一个二元对称空间权重矩阵W，来表达n 个位置的空间区域的邻近关系，其形式如下
w11 w12 w1n
W
w21
w22
w2n
wn1
wn2
wnn
式中：Wij表示区域i与j的临近关系，它可以根据邻接标准 或距离标准来度量。
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能是病源。
➢ 空间统计学可以帮助我们处理大的复杂数据集, 这是GIS经常面对的事情。
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❖ 1854年8月到9月英国伦敦霍乱 流行时，当局始终找不到发病的 原因，后来医生约翰·斯诺 (John Snow) 参与调查。
❖ 他在绘有霍乱流行地区所有道路、 房屋、饮用水机井等内容的1： 6500比例尺地图上，标出了每 个霍乱病死者的居住位置，得到 了霍乱病死者居住分布图。
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第1节 探索性空间统计分析
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➢基本原理与方法 ➢应用实例
✓ 并且，对应于Moran散点图的不同象限，可识别出空间分布中 存在着哪几种不同的实体。
✓ 将Moran散点图与LISA显著性水平相结合，也可以得到所谓的 “Moran显著性水平图”，图中显示出显著的LISA区域，并分 别标识出对应于Moran散点图中不同象限的相应区域。
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二、应用实例
✓
局部Moran指数检验的标准化统计量为
Z(Ii )
Ii E(Ii ) VAR(Ii )
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G统计量
❖ 全局G统计量的计算公式为
G
wij xi x j /
xi x j
ij
ij
❖ 对每一个区域单元的统计量为
Gi wij x j / x j
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经典统计：独立性、随机性假设 空间统计：自相关、依赖性、异质性
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i
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✓ 对统计量的检验与局部Moran指数相似，其检验值为
Z
(Gi
)
Gi E(Gi ) VAR(Gi )
✓ 显著的正值表示在该区域单元周围，高观测值的区域单 元趋于空间集聚，而显著的负值表示低观测值的区域单元趋 于空间集聚,与Moran指数只能发现相似值(正关联)或非相似 性观测值(负关联)的空间集聚模式相比，具有能够探测出区 域单元属于高值集聚还是低值集聚的空间分布模式。
当Z值为零时，观测值呈独立随机分布。
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❖ G系数探测高值聚集的能力强于低值聚集; ❖ 当研究范围内同时存在高值和低值聚集时,G系数会
受聚集区域规模的影响,当高值聚集区域和低值聚集 区域规模相当时,G系数往往为正数,表明G系数对高 值敏感; ❖ Moran指数主要受聚集区域规模的影响,随着空间 聚集范围的扩展,Moran指数会明显增大。
Tobler, W. R. (1970). "A computer movie simulating urban growth in the Detroit region". Economic Geography, 46(2): 234-240.
Waldo Tobler（born in 1930） receiving a plaque for his contributions to geography. On the event of his November 2000 birthday.
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探索性空间数据分析(ESDA)
ESDA是指利用统计学原理和图形图表相结合 对空间信息的性质进行分析、鉴别，用以引 导确定性模型的结构和解法。
ESDA与EDA区别在于它考虑了数据的空间特 性，在方法上它将数据分解为一般趋势和叠 加于其上的局部变化两部分。然后用一定的 数学函数去拟合由样本点产生的经验变率函 数，进行诸如克立格内插等空间操作。
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Moran散点图
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以（Wz，z）为坐标点的Moran散点图，常来研究局部的 空间不稳定性，它对空间滞后因子Wz和z数据对进行了可视 化的二维图示。
全局Moran指数，可以看作是Wz对于z的线性回归系数， 对界外值以及对Moran指数具有强烈影响的区域单元，可通 过标准回归来诊断出。
空间数据分析与传统统计分析主要有两大差异：
(1)空间数据间并非独立，而是在维空间中具有某种空间相关 性，且在不同的空间分辨率下呈现不同之相关程度；
(2)地球只有一个，大多数空间问题仅有一组（空间分布不规 则的）观测值，而无重复观测数据。因此，空间现象的了 解与描述是极为复杂的，而传统方法，尤其是建立在独立 样本上的统计方法，不适合分析空间数据。
由于数据对（Wz，z）经过了标准化，因此界外值可易由 2－sigma规则可视化地识别出来。
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Moran散点图的4个象限， 分别对应于区域单元与其邻居 之间4种类型的局部空间联系 形式：
第1象限代表了高观测值的 区域单元被高值的区域所包围 的空间联系形式；
第2象限代表了低观测值的 区域单元被高值的区域所包围 的空间联系形式；
如果是位置（区域）的观测值，则该变量的全局Moran指
数I，用如下公式计算
n n
n
wij xi x x j x
I i1 j1
nn
n
wij xi x 2
i1 j1
i 1
nn
wij (xi x)(x j x)
i1 ji
nn
S 2
wij
i1 ji
式中： I 为Moran指数；
如果地理学从根本上值得研究，必然是 因为地理现象在空间上的变化不是随机 的。 经典统计：随机
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➢ 可以借助空间统计更好地理解地理现象。
或许学习空间统计最重要的原因是我们不仅仅想知道问题“怎么
样”，更想知道“哪里怎么样”
➢ 空间统计学可以帮助我们准确地判断具体地理模 式的原因。
S 2 1
n
i
(xi x)2 ；
x
1 n
n i 1
xi
。
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✓
Geary 系数C计算公式如下
n n
n 1
wij xi x j 2
C
i1 j1
nn
n
2 wij xi x2
i1 j1
i 1
式中：C为Geary系数；其他变量同上式。
n
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i1 j1
n
z T Wz
S0
n
(xi x)2
S0
n
zi2
S0 zT z
i 1
i 1
Moran指数I的取值一般在[-1，1]之间,小于0表示负相 关，等于0表示不相关，大于0表示正相关；
Geary系数C的取值一般在[0，2]之间，大于1表示负 相关，等于1表示不相关，而小于1表示正相关。
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两种最常用的确定空间权重矩阵的规则
①简单的二进制邻接矩阵
1 当区域i和j相邻接
wij 0
其他
②基于距离的二进制空间权重矩阵
1 当区域i和j的距离小于d时
wij 0
其他
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（二）全局空间自相关
✓ Moran指数和Geary系数是两个用来度量空间 自相关的全局指标。 ✓ Moran指数反映的是空间邻接
或空间邻近的区域单元属性值 的相似程度。 ✓ Geary 系数与Moran指数存在 负相关关系。
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➢第一节 探索性空间统计分析 ➢第二节 地统计分析方法
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z j (xj x)
zi (xi x)
zT [z1, z2 ,, zn ]
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则全局Moran指数I的计算公式也可以进一步写成
nn
nn
I n
wij (xi x)(x j x)
i1 j1
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对于Moran指数，可以用标准化统计量Z来检验n个区域是否存 在空间自相关关系，Z的计算公式为
Z I E(I) VAR(I )
当Z值为正且显著时，表明存在正的空间自相关，也就是说相似 的观测值(高值或低值)趋于空间集聚；
当Z值为负且显著时，表明存在负的空间自相关，相似的观测值 趋于分散分布；
✓ 空间统计分析，其核心就是认识与地理位置相关的 数据间的空间依赖、空间关联或空间自相关，通过 空间位置建立数据间的统计关系。
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空 间 联 系 的 局 部 指 标 （ local indicators of spatial association ，缩写为LISA）满足下列两个条件：
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第4象限代表了高观测值 的区域单元被低值的区域所 包围的空间联系形式。
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✓ 与局部Moran指数相比，其重要的优势在于能够进一步具体区 分区域单元和其邻居之间属于高值和高值、低值和低值、高值和 低值、低值和高值之中的哪种空间联系形式。
（1）每个区域单元的LISA，是描述该区域单元周围 显著的相似值区域单元之间空间集聚程度的指标；
（2）所有区域单元LISA的总和与全局的空间联系指 标成比例。
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局部Moran指数被定义为
可进一步写成
I
i
(xi S2
x)
j
wij (x j x)
n(xi x) wij (x j x) nzi wij z j
I i
j
(xi x)2
j
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j
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式中：zi 和 z j是经过标准差标准化的观测值。