电子声子相互作用对Graphene能带的修正

２０１０年５月　
Ｍａｖ　２０１０　

华南师范大学学报（自然科学版）　
ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＳＯＵＴＨ　ＣＨＩＮＡ　ＮＯＲＭＡＬ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　
（ＮＡＴＵＲＡＬ　ＳＣＩＥＮＣＥ　ＥＤＩＴＩＯＮ）　
２０１０年第２期　

Ｎｏ．２，２０１０　

文章编号：１０００—５４６３（２０１０）０２—００５５—０４　

电子声子相互作用对Ｇｒａｐｈｅｎｅ能带的修正　

龙明生，岑燕君，李　铭　
（华南师范大学物理与电信工程学院，广东广州５１０６３１）　

摘要：研究了电子声子相互作用对Ｇｒａｐｈｅｎｅ电子能带的影响，把电子和Ｌ０光频声子相互作用当作微扰，用微扰论方　
法计算了电子声子相互作用对电子能带的修正．计算结果表明，在费米面附近，Ｇｒａｐｈｅｎｅ电子能带下移，电子费米速　
度下降．计算结果和实验测量基本符合．　
关键词：单层石墨；电子声子相互作用；能带结构　
中图分类号：０４６９　文献标志码：Ａ　

Ｇｒａｐｈｅｎｅ是最近新发现的一种由单层石墨构成　二维晶体材料Ｈ　Ｊ．以前，人们认为二维碳原子层在　现实中是不可能存在的，即使分离石墨层的力不损　伤石墨层，石墨自身的热释放也会像焚纸一样摧毁　石墨层．但是２００４年《Ｓｃｉｅｎｃｅ）上的一篇文章报道　Ａ．Ｋ．Ｇｅｉｍ等人成功分离出了单层石墨层，证实了　这种二维材料是可以稳定存在的　．他们用一种　类似于“削铅笔”的方法，制成了单层碳原子层，制　造出了Ｇｒａｐｈｅｎｅ这种材料．Ｇｒａｐｈｅｎｅ这种新材料的　独特性质引起了国际上材料学界的广泛关注．　Ｇｒａｐｈｅｎｅ是一层按照蜂窝状晶体点阵排列的碳　原子　］．它呈二维层状结构，如图１（ａ）所示．其点阵　并不是完全平坦的，而是有小的起伏　Ｊ．Ｇｒａｐｈｅｎｅ　晶体点阵的每个元胞包含２个碳原子，如图１（ａ）中　阴影区所示．相邻碳原子通过ＳＰ　杂化轨道形成价　键．Ｇｒａｐｈｅｎｅ的能带结构如图１（ｂ）所示．由图可见，　在布里渊区的６个顶角上，Ｇｒａｐｈｅｎｅ的价带与导带　点连通．这些顶角附近的能带呈线性色散关系　，　如图１（ｂ）中放大后的插图所示．这些顶角称为狄拉　克点　］．载流子的有效质量在狄拉克点附近消失．　这正是Ｇｒａｐｈｅｎｅ的奇特性质的根源．　由于Ｇｒａｐｈｅｎｅ能带在狄拉克点附近的线性关　系，Ｇｒａｐｈｅｎｅ具有许多奇特的物理性能．首先，载流　子的速度接近光速以及无质量的特性使Ｇｒａｐｈｅｎｅ　成为研究相对论效应的一种理想材料．此外，Ｇｒａ．　
ｐｈｅｎｅ中的电子运动速度高，迁移率高，可以用来制　
造高速响应的电子器件．目前，曼彻斯特大学的研究　
人员用ｇｒａｐｈｅｎｅ制造出了可以在常温下运行的单　
电子晶体管（ＳＥＴ）的模型　Ｊ．这种晶体管只有１个　
原子层厚、１０个原子宽，给半导体工业带来了一个　
新的发展机遇．研究人员估计，如果能去除材料中的　
杂质，Ｇｒａｐｈｅｎｅ可望在室温下实现高达２００　０００　
ｃｍ　／Ｖｓ的电子迁移率，比硅材料高大约１００倍．最　
近，人们还发现Ｇｒａｐｈｅｎｅ材料在室温下出现量子霍　
尔效应　引，对研究量子现象有重要价值．　

（ａ）Ｇｒａｐｈｅｎｅ蜂窝状晶体点阵结构　（ｂ）Ｇｒａｐｈｅｎｅ能带图　
图１　Ｇｒａｐｈｅｎｅ的晶体点阵和能带结构　
Ｆｉｇ．１　Ｔｈｅ　ｃｒｙｓｔａｌｌｉｎｅ　ｌａｔｔｉｃｅ　ａｎｄ　ｅｎｅｒｇｙ　ｂａｎｄｓ　ｏｆ　Ｇｒａｐｈｅｎｅ　

Ｇｒａｐｈｅｎｅ产生奇特电子特性的原因是其特殊的　
能带结构．费米面附近的能带直接影响材料的性质．　
研究表明，电子声子相互作用对能带结构有显著的　
影响，尤其是会显著降低电子迁移率．因此，研究　

收稿日期：２００９—１０—２３　
基金项目：广东省自然科学基金资助项目（０７００５８３４）　
作者简介：龙明生（１９８２一），男，湖南保靖人，华南师范大学２００７级硕士研究生，Ｅｍａｉｌ：ｌｏｎｇｍｓ＠１２６．ｃｏｒｎ；李铭（１９６４一），男，湖北荆州人，博　
士，华南师范大学副教授，主要研究方向：凝聚态物理，Ｅｍｉｌ：Ｍｉｍｉｎｇ＠ｓｃｎｕ，ｅｄｕ．ｃｎ．　
通讯作者　
５６　华南师范大学学报（自然科学版）　２０１０皇　
Ｇｒａｐｈｅｎｅ材料中电子声子相互作用对材料电子性质　
的影响有重要的应用价值．由于电子声子相互作用，　
狄拉克点附近的能带结构不再保持严格的线性关　
系．本文用二级微扰处理电子声子相互作用，计算电　
子声子相互作用对能带的影响．　

电声子作用微扰计算　
Ｇｒａｐｈｅｎｅ元胞中的２个碳原子Ａ和　相对运　
动，产生极化电场对晶体中传导电子产生电磁作用．　
纵光频声子（Ｌ０）比纵声频声子ｎ¨对传导电子的作　
用强得多．因此，本工作主要考虑ＬＯ声子对晶体中　
载流子能带的影响．由于电声子相互作用相对于电　
子之间的相互作用较弱，计算时电声子相互作用可　
以当作微扰处理．　
在长波近似下Ｌ０声子的位移场可写为口ｕ　

Ｗ（ｒ）＝、／／　（Ｕ　（，）一　口（，））＝　
√　ｅｑ（　），　（１）　
其中ｅ　为极化矢量，ｕ　（ｒ）、Ｈ　（ｒ）分别为Ａ、Ｂ原子　
偏离平衡位置的位移，　为折合质量，Ｍ＝　Ｍ　ＡＭＢ
，　

ａ　、　为声子的产生湮灭算符，ｔｏ　为Ｌ０声子　
圆频率．　
位移场给出的极化电场为　
Ｅ（ｒ）＝一４盯Ｆ∑ｅ　（口　ｅ　＋口：ｅ却　），　（２）　

其中常量Ｆ由利顿一萨克斯一特勒关系式给出：　
一　
１　
，　
㈤　

其中占　为高频介电常数，　。为静态介电常数．用二　
次量子化表示的电势为　

（，）＝一ｉ４，ｒｒＦ∑　（ｎ　ｅ　一ｎ　？　－ｉｑ－ｒ）．（４）　
在自由电子近似下，电子声子相互作用的哈密　
顿量为　

日。ｐ＝一ｅｆ　（ｒ）　（，）ｇｔ（ｒ）ｄｒ＝　

ｉ４，ｎ＇ｅＦ∑　（。　ｃ　Ｃ　一口　ｃ　．　ｃ　），（５）　
其中ｃ：、ｃ　为电子的产生湮灭算符．在Ｇｒａｐｈｅｎｅ能　
带中的狄拉克点附近，没有电子声子相互作用的哈　
密顿量为　

＝
∑　ｃｌＣｋ．　（６）　
导带能量为　
＝７ｌＩ（ｋ—Ｑ）Ｉｖｆ：７ｉＪ｝　ｖｆ，　（７）　
其中　，为费米速度，Ｑ是狄拉克点的波矢．当温度　
为０Ｋ时，设导带底部Ｉ　）状态上有一个电子，声子　
处于真空态１　０），没有电子声子相互作用时系统的　
状态为　
ｏ）：Ｉ　）Ｉ　ｏ）＝ｌ　）兀ｌ　Ｏｑ）．　（８）　

由于电子与声子相互作用比较弱，用微扰理论　
计算　。对Ｇｒａｐｈｅｎｅ中狄拉克点附近电子的能量修　
正为　

（９）　
它代表电子先发射口声子，然后再吸收同一声子的　
自能过程，其中求和禁止分母为０的ｑ．根据　
口９Ｃ：Ｃｔ—ｇ　Ｉ　ｋ一口；１口）＝ｌ　ｋ；Ｏ口），　（１０）　
口口ｔ乙ｔｔ
—
ｇ

Ｃｔ　ｌ　ｋ；Ｏｇ）＝ｌ　ｋ－ｑ；１口），　（１１）　

我们可求得　

＝
（　（１２）　

因此　

ｆ——：＝＝　些　一．（１３）　
１Ｔ壳　Ｊ力ｋ　
一、　
ｒ　ｒ二　一　／　

，　
、　

当｜ｊ｝　《ｇ时，我们可以作近似　＝　一　
ｑ一．ｊ｝　￣Ｃ０Ｓ０，得　
ｈｋ＇ｖｆ＋４　ｅ２Ｆ２　／＂
－ｎ（－一　）．　

当｜ｌ｝　《ｑ时　《１．准至二阶ｈｌ（１一　２ｋ＇ｖ￣ｔｏ
Ｌ
），＋　Ｌ　、　ｇｔＩ，＋　，　

一　
竺　一　丝　
．
把这个近似值带人　并积　
ｑｖｆ＋ｔＯＬ（ｑｖｆ＋ｔｏ￡）　‘　八　刀　、　

分得　
＝ｈｋ＇ｖｆ［　一　８ｅＺ　ＦＺｑ，．】一　

ｌｎ　：础＇ＶＺ（１　一．Ｂ一，　１４）
ｖ　
—　—一
ｍ　肚一　Ｊ一．‘Ｊ　

，２，　，　‘　

其中　

８ｅ　ｑ　
，Ｖ＝一　
ｈｔｏ，（ｈｑ　＋ｈａ｝，）’　
５８　华南师范大学学报（自然科学版）　２０１０正　
ＴＨＥ　ＣＯＲＲＥＣＴＩＯＮＳ　ＯＦ　ＴＨＥ　ＥＬＥＣＴＲＯＮ—ＰＨＯＮＯＮ　Ｄ　ＴＥＲＡＣＴＩＯＮ　
ＴＯ　ＴＨＥ　ＢＡＮＤ　ＳＴＲＵＣＴＵＲＥ　ｏＦ　ＧＲＡＰＨＥＮＥ　

ＬＯＮＧ　Ｍｉｎｇｓｈｅｎｇ，ＣＥＮ　Ｙａｎｊｕｎ，ＬＩ　Ｍｉｎｇ　
（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｏｕｔｈ　Ｃｈｉｎａ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１０６３１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｏｎ—ｐｈｏｎｏｎ　ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｂａｎｄ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　ｇｒａｐｈｅｎｅ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅ　ｉｎ—　
ｔｅｒａｃｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｅｌｅｃｔｒｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｌｏｎｇｉｔｕｄｉｎａｌ　ｏｐｔｉｃａｌ　ｐｈｏｎｏｎｓ　ｉｓ　ｔａｋｅｎ　ｔｏ　ｂｅ　ａ　ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ，ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　
ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｂａｎｄ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ａｒｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｓｈｏｗｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｅｎ—　
ｅｒｇｙ　ｂａｎｄｓ　ｓｈｉｎ　ｄｏｗｎｗａｒｄｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｏｎ　ｆｅｒｍｉ　ｖｅｌｏｃｉｔｙ　ｄｅｃｒｅａｓｅｓ．Ｔｈｅｓｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ｉｎ　ａｇｒｅｅｍｅｎｔ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｅｘｐｅｒ－　
ｉｍｅｎｔａｌ　ｄａｔａ．　
Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｇｒａｐｈｅｎｅ；ｅｌｅｃｔｒｏｎ—ｐｈｏｎｏｎ　ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ；ｅｎｅｒｇｙ　ｂａｎｄ　

【责任编辑庄晓琼】　

（上接第４４页）　
［１　１］　ＢＥＬＬＡＲＥ　Ｍ，ＲＯＧＡＷＡＹ　Ｐ．Ｒａｎｄｏｍ　ｏｒａｃｌｅｓ　ａｒｅ　ｐｒａｃ—　
ｔｉｃａｌ：ａ　ｐａｒａｄｉｇｍ　ｆｏｒ　ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｐｒｏｔｏｃｏｌｓ［Ｃ］∥　
Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　Ｆｉｒｓｔ　Ａｎｎｕａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　ａｎｄ　
Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ　Ｓｅｃｕｒｉｔｙ（ＡＣＭ　ＣＣＳ　１９９３）．Ｎｅｗ　
Ｙｏｒｋ：ＡＣＭ　Ｐｒｅｓｓ，１９９３：６２—７３．　
［１２］　ＡＢＤＡＬＬＡ　Ｍ，ＢＲＥＳＳＯＮ　Ｅ，ＣＨＥＶＡＳＳＵＴ　Ｏ，ｅｔ　ａ１．　
Ｐａｓｓｗｏｒｄ—ｂａｓｅｄ　ｇｒｏｕｐ　ｋｅｙ　ｅｘｃｈａｎｇｅ　ｉｎ　ａ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｎｕｍ—　
ｂｅｔ　ｏｆ　ｒｏｕｎｄｓ［Ｃ］∥Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　９ｔｈ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　
Ｗｏｒｋｓｈｏｐ　ｏｎ　Ｐｒａｃｔｉｃｅ　ａｎｄ　Ｔｈｅｏｒｙ　ｉｎ　Ｐｕｂｌｉｃ　Ｋｅｙ　Ｃｒｙｐ—　
ｔｏｇｒａｐｈｙ（ＰＫＣ　２００６）．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，　

２００６：４２７—４４２．　
ＳＨＯＵＰ　Ｖ．Ｓ￣ｑｕｅｎｅｅｓ　ｏｆ　ｇａｍｅｓ：Ａ　ｔｏｏｌ　ｆｏｒ　ｔａｍｉｎｇ　ｃｏｍ－　
ｐｌｅｘｉｔｙ　ｉｎ　ｓｅｃｕｒｉｔｙ　ｐｒｏｏｆｓ［ＥＢ／ＯＬ］．（２００６—０１—１８）　
［２００９—１０—０８］．ｈｔｔｐ：／／ｅｐｒｉｎｔ．ｉａｃｒ．ｏｒｇ／２００４／３３２．　
ＰＡＲＫ　Ｊ　Ｈ，ＹＩＭ　Ｓ　Ｊ，ＣＨＡＮＧ　Ｊ　Ｈ．Ａ　ｓｅｃｕｒｅ　ｒｅｍｏｔｅ　
ｕｓｅｒ　ａｕｔｈｅｎｔｉｃａｔｉｏｎ　ｓｃｈｅｍｅ［Ｃ］∥Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　３ｒｄ　
Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｈｙｂｒｉｄ　Ｉｎ．　
ｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｌｏｓ　Ａｌａｍｉｔｏｓ，ＵＳＡ：ＩＥＥＥ　Ｃｏｍ－　
ｐｕｔｅｒ　Ｓｏｃｉｅｔｙ，２００８：３６９—３７３．　

ＥＦＦＩＣＩＥＮＴ　ＡＮＤ　ＳＥＭＡＮＴＩＣＡＬＬＹ　ＳＥＣＵＲＥ　ＰＡＳＳＷＯＲＤ—ＢＡＳＥＤ　ＫＥＹ　ＥＸＣＨＡＮＧＥ　ＰＲＯＴＯＣＯＬ　
ＷＡＮＧ　Ｌｉｂｉｎ，ＰＡＮ　Ｊｉａｘｉｎ，ＭＡ　Ｃｈａｎｇｓｈｅ　
（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ，Ｓｏｕｔｈ　Ｃｈｉｎａ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１０６３１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ａｎｄ　ｐｒｏｖａｂｌｙ　ｓｅｃｕｒｅ　ｐａｓｓｗｏｒｄ—ｂａｓｅｄ　ｋｅｙ　ｅｘｃｈａｎｇｅ　ｐｒｏｔｏｃｏｌ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ
，
ｕｓｉｎｇ　ｏｎｌｙ　ｈａｓｈ　

ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ＸＯＲ　ｏｐｅｒａｔｏｒ．Ｔｈｅ　ｓｅｃｕｒｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｔｏｃｏｌ　ｃａｎ　ｂｅ　ｔｉｇｈｔｌｙ　ｒｅｄｕｃｅｄ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｈａｒｄｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　
Ｄｉｆｆｉｅ—Ｈｅｌｌｍａｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｉｎ　ｒａｎｄｏｍ　ｏｒａｃｌｅ　ｍｏｄｅ１．Ｔｈｕｓ，ｔｈｅ　ｐｒｏｔｏｃｏｌ　ｉｓ　ｐｒｏｖｅｄ　ｔｏ　ｂｅ　ｓｅｍａｎｔｉｃａｌｌｙ　ｓｅｃｕｒｅ　ａｇａｉｎｓｔ　ｏｆｆ　

—
ｌｉｎｅ　ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ　ａｔｔａｃｋｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｃｏｍｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｗｏｒｋｓ，ｔｈｅ　ｐｒｏｔｏｃｏｌ　ｉｓ　ｍｏｒｅ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｗｉｔｈ　ｒｅｓｐｅｃｔ　ｔｏ　
ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ．　
Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐａｓｓｗｏｒｄ—ｂａｓｅｄ　ｋｅｙ　ｅｘｃｈａｎｇｅ；ｓｅｍａｎｔｉｃ　ｓｅｃｕｒｉｔｙ；ｐｒｏｖａｂｌｅ　ｓｅｃｕｒｉｔｙ；ｒａｎｄｏｍ　ｏｒａｃｌｅ　ｍｏｄｅｌ；Ｄｉｆｆｉｅ—　
Ｈｅｌｌｍａｎ　ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎ　

【责任编辑庄晓琼】