复合材料细观力学235页PPT

)]( 2
1)
1* 33
b
b D
4(1 )
c r
{1
(8
5)
21[2 (1 2 ) 3 ]}
其中 1 1 D 21[ 2 (1 )] 41[ (1 ) ( )]
33
2 (1
)
c r
b
2 (1 )
c r
(1 ) p
由于
区域内充满多个纤维夹
对于各向同性材料，由 等效夹杂理论可知
p
在区域
内引起的扰动应力为：
0
11
22
(1 2 ) 4(1 )
c a
p
33
2(1 )
c a
p
设 b (1 ) p ,则本征应变在 中引起的扰动应力
11 22 2(1 1 )11 1 ( 33 b )
2(
)( 11
1* 11
)
(
33
1* 33
)
33 21 11 (1 2 1 )( 33 b )
2
( 11
1* 11
)
(
2
)(
33
1* 33
)
ij为夹杂区域 中的扰动应变
ij
S 1* ijkl kl
忽略 (c / r )2 高阶小项 , 解方程有 :
1* 11
b D
4(1 )
c r
[
1
21(2
V VV1V2
V V1
V V2
~ [(1 f2)I f1KC]1[ f1KC f2I]0
* (CS 1 C 0 ) 1 C ( 0 ~ ) ** (S 2 I ) 1 ( 0 ~ )
其中 C C 1 C 0 , K (S1 I )( CS 1 C 0 ) 1 基体和纤维材料体平均 应力场分布 m 0 ~ C 0 ( 0 ~ ) f 0 ~ 1 C 0 ( 0 ~ 1 * )
2
A是稳态裂纹表面(积 2a2),E是基体材料单位表面能
上式展开,略去高阶无穷小项
2C1(n...)0d0 [C1(n...)02 4a2E]dn
n
单向复合材料的桥联模型
根据等效夹杂理 观论 裂将 纹宏 用一等效 0代夹 替杂 ， 在0的区域内充满多 桥个 联纤 夹维 .杂 (x12 x22) a2 x32 c2 1 in0 (c/a1) (x12 x22) r2 x32 c2 1 in (c/r1)
0
0
1
2
0
1 0 66
基体中由于微裂纹存在 引起能量扰动 , 扩展单位长度的能量释 放率
Ga
W a
8a 2 (1 0 )2 0Q ( 0 ~ ) (1 2 0 )( 2 0 )
基体材料断裂韧性为 Gc ,令Ga Gc得到基体开裂的临界条 件
损伤演化方程
Cijkl(n...) Cijkl(C1,C0, f1, f2,,) 当外载由0增加到0 d0时,微裂纹个数由 n增加到ndn 1[C1(n...)02 C1(ndn...)(0 d0)2] EAdn
当边界S上作用外载 F时，Gibbis自由能为：
W 1 ( 0 )( 0 ~ 1 2 )dV F (u0 u~ u1 u2 )ds
2V
s
in f , ~ 1 inm , ~
不含夹杂介质时，材料 自由能为：
W0
1 2
0 0dV
V
Fu 0ds
s
由纤维引起的自由能变 化
8a 3 (1 0 ) 2 0Q ( 0 ~ ) 3(1 2 0 )( 2 0 )
Q 2 2 Tf ( , ) sin dd 1 1
4 a2t 3
2
0
0
20 10
0
0
20 10
0
0
0 0
0 0
0
0
0
0
T
0
0
0
0
0
0
0 00
0
0 00
0
0 0
0 0
1 2 0 10
0
杂，考虑 相之间
相互作用引起的扰动应 力平均值
33
2 (1
)
c r
(1 ) p
r 2 h
根据裂纹表面应力状态 自由条件，建立 x3轴平衡方程
复合材料的细观损伤及本构关系
细观应力场分析
均匀外载 0作用下，单向复合材内料部场分布：
C0(0 ~1 *) C1(0 ~1) inf
C0(0 ~ 2 **) 0
inc
由Eshelb理 y 论1 S1* 2 S2**
由物体内部扰动应力平自衡条件得：
1 C0~dV 1 C0(~1 *)dV 1 C0(~2 **)dV 0
x3
2c
2r
2a
h
x2
远场作用均匀的拉伸应力，利用本征应变来等
效纤维桥联的宏观裂纹
2* 33
p
在区域 内外加一个本征应变
2* 33
(1- )
p
0 1
宏观裂纹在桥联纤维处 引起的真实本征应变 p
界面结合完好时，阻止 裂纹面在 中张开 0 界面破坏时，裂纹面完 全张开 1 则在区域 0 中，裂纹最大张开位移 2c p 在中裂纹最大张开位移 2c p，代表界面粘结程度
VLeabharlann Baidu
V
0dV 0 *dV 0 *dV
V
V
V
由高斯定理和平衡方程
W1
1 2
0 *dV
V1
微裂纹夹杂引起的自由
0知： 能变化
W
W
W1 W0
1 2
0 **dV
V2
设裂纹厚度远小于其半 径 t / a 0, 取单个圆币型裂纹体积
W
2 a2 3
0t (S 2 I ) 1 ( 0 ~ )dV
m C 0 (S1 I ) * 纤维与基体界面上应力 分布：
C ij
f ij
C0 ijkl
(C
0 pqmn
* mn
M
kp
nq
nl
* kl
),
M
kp
1 G0
[ kp
nknp ] 2(1 0 )
nk界面单位外法向矢量 , G0和 0是基体剪切模量和泊松 比
微裂纹能量释放率及基体开裂强度
W1
1 2
0 (~ 1)dV 1
V
2
( 0 ~ 1)dV
V
F (u~ u1)ds
s
证明
第一项 :由扰动应力自平衡条件 VdV 0
0 (~ 1 )dV 0C 0[(~ 1 * ) * ]dV
V
V
0dV 0 *dV 0 *dV
V
V
V
第二项 :由于 0，边界上 0
( 0 ~ 1 )dV (u 0 u~ u1 )ds ( 0 ~ 1 )dV 0
V
s
V
第三项：
F (u~ u1 )ds 0 (u~ u1 )ds 0 (u~ u1 )dV
s
s
V
0 (~ 1 * )dV 0 *dV