《曲线和方程》PPT课件 (2)
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因此我们通常把抛物线，双曲线和椭圆统 称为圆锥曲线.
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3
圆锥曲线与科研、生活、以及 人类生活有着密切的关系.
早在16，17世纪之交，开普勒就 发现行星绕太阳运行是一个椭圆.
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4
喷泉喷出 美丽的抛物线
发电厂冷却塔 的外形是双曲线
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5
1.曲线和方程
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6
课堂新授
1.曲线的方程和方程的曲线的概念
2.1 曲线和方程
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1
导入新课
观察与分析
我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的 平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面 的交线）是一个圆，如果改变平面与圆锥 曲线的夹角，会得到什么呢？
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2
抛物线
双曲线
椭圆
如图：以上三个不垂直于圆锥轴的平面 截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以 得到不同的截口曲线，他们分别是抛物线，双 曲线，和椭圆.
使得化简前后的方程同解.
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16
例3. 已知一条直线l和它上方的一个点F， y
点F到l的距离是2。一条曲线也在l的上 方，它上面的每一点到F的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系， 求这条曲线的方程。
F•
•M
o lB x
分析： 建立坐标系的时候，一般应当充分利用已知条
件中的定点，定直线等，这样可以使问题中的集合特征得
y
为坐标轴，建立坐标系如右 设点M的坐标为（x,y),点M的轨 迹就是与坐标轴距离的积等于常数
k的点的集合 P={M||MR|.|MQ|=k}
•M •
R
oQ
x
其中 Q,R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足。
因为|MR|=|x|,|MQ|=|y|， 所以|x|.|y|=k
即xyk. （证明略）
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由两点的距离公式，
F•
•M
o lB x
点M适合的条件可表示为根号 x2(y2)222
将上式移项后两边平方，得 x2+(y-2)2=(y+2)2
化简得y = 1 x2 所以曲线的方程应是 y 1 x2(x 0)
8
8
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18
课堂练习
课本P37 练习1、2、3 平方，化简得:
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19
课堂小结
到更好的表示从而使曲线方程得到更好的表示，从而使曲
线方程的形式简单一些.
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17
解：如右图，取直线 l为x轴，过点F且垂直于直线
l的直线为y轴，建立直角坐标系xOy.
y
设点M (x, y)是曲线上的任意一点，作 MB垂直于x轴，垂足为B，那么点M属 于集合 P={M| |MF|-|MB|=2}.
y X-y=0
•M(x0,y0)
y yax2(a0) •M(x0,y0)
o
x
o
x
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7
课堂新授 曲线的方程与方程的曲线： 1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解（在合） 2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点。（合在） 这个方程叫做这个曲线的方程
这个曲线叫做这个方程的曲线
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8
课堂新授 2.如果曲线C的方程是F(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)
3.已知长度的线段 以线段所在直线为对称轴，端点或中点为原点.
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15
课堂小结3
关于化简方程
在求轨迹方程的问题中，如果化简方程 过程是同解变形.则由此所得的最简方程就 是所求曲线的方程，可以省略“证明”;
如果化简过程不是同解变形，所求得的 方程就不一定是所求曲线的方程 .此时， 应该通过限制x，y的取值范围来去掉增根，
坐标法。 解析几何：是用代数方法研究几何问题的一门
数学学科。 平面解析几何研究的主要问题是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
（2）通过方程，研究平面曲线的性质。
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11
例1.设A、B两点的坐标是A（－1，－1），
B（3,7），求线段AB的垂直平分线的方程。
解：设M(x,y)是线段AB的垂直平分线 上任意一点，也就是点M属于集合
在曲线C上的充分必要条件是 F(x0,y0)=0.
例1 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆
的方程是 x2 y2 25, 并判断点
y
M1(3,-4)、M2 (2 5,2), 是否在这个圆上。
•M2
o
x
•M1
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9
2.求曲线的方程
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10
课堂新授 坐标法：把借助坐标系研究几何图形的方法叫做
13
课堂小结1
求曲线的方程的一般步骤：
设（建系设点） --- M(x,y)
写（写等量关系） --- P={M|M满足的条件} 列（列方程） 化（化简方程） 证（以方程的解为坐标的点都是曲线上的点）
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14
课堂小结2
建立坐标系的一般规律:
1.两条垂直的直线 以该二直线为坐标轴.
2.对称图形 以对称图形的对称轴为坐标轴.
求曲线的方程的一般步骤：
1.建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示
曲线上任意一点M的坐标；（建系设点）
2.写出适合条件p的点M的集合；（找等量关系）
3.用坐标表示条件p（M），列出方程f(x,y)=0;
（列方程）
4.化简方程f(x,y)=0；
5.证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
P={M||MA|=|MB|},
即：
y
B(3,7)
M ••••••••
Ao
x
(-1,-1)
（ x1)2(y1)2(x3)2(y7)2
将上式两边平方，整理得
x+2y-7=0
（证明略）
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12Leabharlann Baidu
例2.点M与两条互相垂直的直线的距离的积是常
数k(k>0),求点M的轨迹方程。
解：取已知的两条互相垂直的直线
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（一般情况下可省略）
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再见
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圆锥曲线与科研、生活、以及 人类生活有着密切的关系.
早在16，17世纪之交，开普勒就 发现行星绕太阳运行是一个椭圆.
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喷泉喷出 美丽的抛物线
发电厂冷却塔 的外形是双曲线
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5
1.曲线和方程
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课堂新授
1.曲线的方程和方程的曲线的概念
2.1 曲线和方程
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1
导入新课
观察与分析
我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的 平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面 的交线）是一个圆，如果改变平面与圆锥 曲线的夹角，会得到什么呢？
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2
抛物线
双曲线
椭圆
如图：以上三个不垂直于圆锥轴的平面 截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以 得到不同的截口曲线，他们分别是抛物线，双 曲线，和椭圆.
使得化简前后的方程同解.
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例3. 已知一条直线l和它上方的一个点F， y
点F到l的距离是2。一条曲线也在l的上 方，它上面的每一点到F的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系， 求这条曲线的方程。
F•
•M
o lB x
分析： 建立坐标系的时候，一般应当充分利用已知条
件中的定点，定直线等，这样可以使问题中的集合特征得
y
为坐标轴，建立坐标系如右 设点M的坐标为（x,y),点M的轨 迹就是与坐标轴距离的积等于常数
k的点的集合 P={M||MR|.|MQ|=k}
•M •
R
oQ
x
其中 Q,R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足。
因为|MR|=|x|,|MQ|=|y|， 所以|x|.|y|=k
即xyk. （证明略）
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由两点的距离公式，
F•
•M
o lB x
点M适合的条件可表示为根号 x2(y2)222
将上式移项后两边平方，得 x2+(y-2)2=(y+2)2
化简得y = 1 x2 所以曲线的方程应是 y 1 x2(x 0)
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课堂练习
课本P37 练习1、2、3 平方，化简得:
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课堂小结
到更好的表示从而使曲线方程得到更好的表示，从而使曲
线方程的形式简单一些.
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解：如右图，取直线 l为x轴，过点F且垂直于直线
l的直线为y轴，建立直角坐标系xOy.
y
设点M (x, y)是曲线上的任意一点，作 MB垂直于x轴，垂足为B，那么点M属 于集合 P={M| |MF|-|MB|=2}.
y X-y=0
•M(x0,y0)
y yax2(a0) •M(x0,y0)
o
x
o
x
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课堂新授 曲线的方程与方程的曲线： 1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解（在合） 2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点。（合在） 这个方程叫做这个曲线的方程
这个曲线叫做这个方程的曲线
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课堂新授 2.如果曲线C的方程是F(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)
3.已知长度的线段 以线段所在直线为对称轴，端点或中点为原点.
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课堂小结3
关于化简方程
在求轨迹方程的问题中，如果化简方程 过程是同解变形.则由此所得的最简方程就 是所求曲线的方程，可以省略“证明”;
如果化简过程不是同解变形，所求得的 方程就不一定是所求曲线的方程 .此时， 应该通过限制x，y的取值范围来去掉增根，
坐标法。 解析几何：是用代数方法研究几何问题的一门
数学学科。 平面解析几何研究的主要问题是： （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
（2）通过方程，研究平面曲线的性质。
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例1.设A、B两点的坐标是A（－1，－1），
B（3,7），求线段AB的垂直平分线的方程。
解：设M(x,y)是线段AB的垂直平分线 上任意一点，也就是点M属于集合
在曲线C上的充分必要条件是 F(x0,y0)=0.
例1 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆
的方程是 x2 y2 25, 并判断点
y
M1(3,-4)、M2 (2 5,2), 是否在这个圆上。
•M2
o
x
•M1
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2.求曲线的方程
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课堂新授 坐标法：把借助坐标系研究几何图形的方法叫做
13
课堂小结1
求曲线的方程的一般步骤：
设（建系设点） --- M(x,y)
写（写等量关系） --- P={M|M满足的条件} 列（列方程） 化（化简方程） 证（以方程的解为坐标的点都是曲线上的点）
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课堂小结2
建立坐标系的一般规律:
1.两条垂直的直线 以该二直线为坐标轴.
2.对称图形 以对称图形的对称轴为坐标轴.
求曲线的方程的一般步骤：
1.建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示
曲线上任意一点M的坐标；（建系设点）
2.写出适合条件p的点M的集合；（找等量关系）
3.用坐标表示条件p（M），列出方程f(x,y)=0;
（列方程）
4.化简方程f(x,y)=0；
5.证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
P={M||MA|=|MB|},
即：
y
B(3,7)
M ••••••••
Ao
x
(-1,-1)
（ x1)2(y1)2(x3)2(y7)2
将上式两边平方，整理得
x+2y-7=0
（证明略）
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12Leabharlann Baidu
例2.点M与两条互相垂直的直线的距离的积是常
数k(k>0),求点M的轨迹方程。
解：取已知的两条互相垂直的直线
精选ppt
（一般情况下可省略）
20
再见
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