大学物理静电场理解练习知识题及答案解析

练习题
7-1 两个点电荷所带电荷之和为Q ，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大?
解: 这是一个条件极值问题。

设其中一个点电荷带电q ，则另一个点电荷带电q Q -， 两点电荷之间的库仑力为
()2
41r q
q Q F -=
πε
由极值条件0d d =q F
，得
Q q 2
1= 又因为
2
02221
d d r q F πε-=<0
这表明两电荷平分电荷Q 时，它们之间的相互作用力最大。

7-2 两个相同的小球，质量都是m ，带等值
同号的电荷q ，各用长为l 的细线挂在同一点，如图7-43所示。

设平衡时两线间夹角2θ很小。

（1）试证平衡时有下列的近似等式成立：
3
102
2⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=mg l q x πε
式中x 为两球平衡时的距离。

(2)如果l = 1.20 m ，m =10 g ，x =5.0 cm ，则每个小球上的电荷量q 是多少?
(3)如果每个球以-19s C 1001⋅⨯-.的变化率失去电 图7-43 练习题7-2图 荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率d x /d t 是多少?
解：(1)带电小球受力分析如图解所示。

小球平衡时，有
F
T =θsin
mg T =θcos
由此二式可得
mg
F =
θtan
因为θ很小，可有()l x 2tan ≈θ，再考虑到
2
024x q F πε=
可解得
3
1022⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=mg l q x πε
（2）由上式解出
C 1038228
2
130-⨯±=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛±=.l mgx q πε （3） 由于
t
q q x t q q mg l t x d d 32d d 322d d 313
1
0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-πευ 带入数据解得
-13s m 10401⋅⨯=-.υ
合力的大小为
2
22
220
1222412cos 2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⋅
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⋅
⋅
===d x x d x e F F F x πεθ
(
)
2
322
2043241
d
x x
e +=
πε
令0d d =x F ，即有
()()0482341825222
232202=⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅-+d x x d x e πε
由此解得α粒子受力最大的位置为
2
2d x ±
=
7-4 由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。

因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。

图7-45所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的q 和l 均为已知，对图7-44中的P 点(OP 平行于正方形的一边)，证明当x » l 时
4
043
x pl
E p πε≈
其中，p=ql 称电偶极矩。

解：电四极子可看成两个电偶极子的组合。

设左边和右边两个电偶极子在P 点产生的场强分别为E 左和E 右，由教材例题7-3可知
()
()302 4l p E x πε=+
左方向向下 ()
()302
4l p E x πε=
-
右方向向上
其中，p =ql 。

P 点处的合场强为
()
()
()()3
22
333220002
2
232444l
l l l x l p p p E E E x x x πεπεπε+=-=
-
=
-
+
⎡⎤-⎣⎦
左右
由于
x » l
上式可简化为
()4
03 4pl E x
πε=方向向上 证毕。

7-5 如图7-46所示，长为l 的细直线OA 带电线密度为λ，求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点O 点为b 的P 点的电场强度： (1)λ为常量，且λ>0；(2) λ=kx ，k 为大于零的常量，(0≤x ≤1)。

图7-46 练习题7-5用图
解：(1)将带电直线分割成无数个长度元d x ，d x 的坐标是x 。

它所带的电
荷元d q =λd x ，d q 在P 点产生的电场强度的大小为
()2
d 41d b x x
E +⋅
=
λπε
因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的矢量叠加可用代数方法 相加。

于是带电直线在P 点产生的电场强度为 ()⎰
+⋅
=l
b x x
E 0
2
d 41λπε ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
l b b 1140πελ()
l b b l
+=04πελ 方向沿x 轴的负方向。

(2) 同样取电荷微元d q =λd x =kx d x ()2
d 41d b x x
kx E +⋅
=πε
同理
()⎰
+⋅
=l
b x x
kx E 0
2
d 41πε⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+=
b l l b l b k ln 40πε 方向沿x 轴的负方向。

7-6 一个半径为R 的半圆细环上均匀地分布电荷Q ，求环心处的电场强度。

解：分析在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。

现将其抽象为带电半圆弧线．在弧线上取线元d l ，其电荷
l R
Q
q d d π=
，此电荷元可视为点电荷，它在O 点的电场强度为
020
d 41d r E R
q ⋅
=
πε 因圆环上电荷对y 轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有
0d ==⎰L
x x E E
点O 的合电场强度为 习题7-6用图
θπεθsin d 41sin d -d -20
R
q
E E E E L
L
L
y y ⋅
-===
=⎰
⎰⎰
其中，负号表示场强方向与y 方向相反。

将l R
Q
q d d π=，θd d R l =，带入上式，积分得 2
020
2
022sin 4R Q R Q E επθεππ
－
=-=⎰
负号表示场强方向与y 方向相反
7-7 一个半径为R的带电圆盘，电荷面密度为 ，求：（1）圆盘轴线上距盘心为x处的任一点P的电场强度；（2）当R→∞时，P点的电场强度为多少?（3）当x » R时，P点的电场强度又为多少?
练习题7-7用图
解：（1）在半径为R 的带电圆盘上取内半径为r 、外半径为r+d r 的细圆环，如图所示。

利用教材中例题7-5的结果可知，该细圆环上的电荷在P 点产生的场强为
()
()
32
32
2
22
200 d 2 d d 44x S x r r E x r
x r
σσππεπε=
=
++
于是，整个圆盘上的电荷在P 点产生的场强为
()
()⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+-=+=⎰
21220
02
3220122R x x
r x rdr x E R
εσεσ
（1） 当R →∞时，R » x 。

此时，上式可化为
2E σε=
即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。

（3）当x » R 时，可将带电圆盘看作点电荷，此时P 点电场强度为
222
00444R q E x x σππεπε==
7-8 图7-47为两个分别带有电荷的同心球壳系统。

设半径为1R 和2R 的球壳上分别带有电荷1Q 和2Q ，求：（1）I 、II 、III 三个区域中的场强； （2）若1Q =－2Q ，各区域的电场强度又为多少？
画出此时的电场强度分布曲线 (即E －r 关系曲
线)。

解：（1）在区域I ，做半径为r ﹤R 1的球形高斯面。

因为高斯面内无电荷，根据高斯定理
S d S
⋅⎰⎰ E = ∑i
i q
内
1ε
即
0421=r E π
可得区域I 中的电场强度为
E 1= 0
在区域II ，以12R r R <<为半径做球形高斯面。

因为此高斯面内的电荷为
Q 1，由高斯定理得
S d S
⋅⎰⎰ E = ∑i
i q
1ε
1
2
24επQ r E =
图7-47 练习题7-8用图
由此可解得区域II 的电场强度为
122
04Q E r πε=
在区域III ，做半径r ﹥R 2的球形高斯面。

由于该高斯面内的电荷为Q 1+Q 2，由高斯定理可得
S d S
⋅⎰⎰
3 E =
∑i
i q
1ε
2
1234επQ Q r E +=
E 3 =12
2
4Q Q r πε+
（2）当1Q =－2Q 时，根据以上结果易知
区域I 的场强为
E 1= 0
区域II 的场强为
122
04Q E r
πε=
区域III 的场强为
E 3= 0
根据上述结果可画出如图所示E r -关系曲线。

7-12 水分子的电偶极矩为-306.1310C m ⨯⋅，如果这个电偶极矩是由一对点电荷±e 引起的(e 为电子电量)，那么，它们的距离是多少?如果电偶极矩的取向与强度为6-110N C ⋅的电场方向一致，要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向需要多少能量(用eV 表示)? 解：（1）由电偶极矩的定义
e p ql =
得
301119
6.1310 3.8310(m)1.610
e p l q ---⨯===⨯⨯ （2）若使电偶极矩倒转需要能量为A ，则
1961119
522 1.61010 3.83101.6107.6610(eV)
A q q eEl
+-----=⋅+⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯=⨯E l E l
7-13 计算练习题7-8中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电势。

解：（1）根据题7-8
01=E ;122
04Q E r
πε=
;2
2
10341
r Q Q E +=
πε
可得区域I 的电势为
12
1
2
2
1
2 1 12
3 112
2
2
00
d d d d d d 44E r
r
R R r
R R R R R U E r E r E r
Q Q Q r r
r
r πεπε∞
∞
∞
=⋅=+++=+⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰
由此解得
12101214Q Q U R R πε⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
区域Ⅱ的电势分布为
2
2
12223 021 d d d 4E r R r
r
R Q Q U E r E r r R πε∞
∞
•⎛⎫
==+=+ ⎪⎝⎭
⎰⎰
⎰ 区域Ⅲ的电势分布为
12
33 0 d d 4E r r
r
Q Q U E r r
πε∞∞
•+===
⎰⎰
（2）若12Q Q =-，则区域Ⅰ的电势为
12
1
2
2
1
1 123 12
01012 d d d d d 4114E r
r
R R r
R R R R U E r E r E r
Q r
r
Q R R πεπε∞
∞
=⋅=++=⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰
⎰⎰
区域Ⅱ的电势为
2
122 0211 d d 4E r R r
r
Q U E r r R πε∞
•⎛⎫
===- ⎪⎝⎭
⎰⎰
区域Ⅲ的电势为 33 d d 0E r r
r
U E r ∞
∞•===⎰⎰
7-14 “无限长”均匀带电圆柱面，半径为R ，单位长度上带电量为+λ。

试求其电势分布。

(提示：选取距带电圆柱面轴线为R 的0P 点为电势零点)
解：由于电荷分布具有轴对称性，所以应用高斯定理很容易求出电场强度分布为
0 (r ＜ R )
E=
r
E 02πελ
=
（r ＞ R ） 电场强度方向垂直于带电圆柱面沿径向。

选某一距带电直线为R 的0P 点为电势零点，
如本题解图所示。

当r ＜ R 时 0d d 0
⎰⎰
=⋅=⋅=R
r
p P
U r E r E
这个结果可以一般地表示为
当r ＞ R 时
r r
r E U P P R
r
R
r
d 2d d 0
0⎰
⎰
⎰
'
=
=
⋅=
πελ
r E R r ln 2ln 200πελπελ+-
=r
R
ln 20πελ=
7-16 同轴电缆是由两个很长且彼
此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如图7
图7-49 练习题7-16用图
－49所示。

设内圆柱体的电势为1U ，半径为1R ；外圆柱体的电势为2U ，外圆柱体的内半径为2R ，两圆柱体之间为空气。

求内圆柱体的λ
解：（1）设内圆柱体单位长度的电量为λ。

在内外圆柱体之间做半径r (12R r R <<)，长度为l 的圆柱闭合高斯面，应用高斯定理可得距轴心为r 处场强为
02E r
λ
πε=
于是，两圆柱间电压为
2
1
212 01
d ln 2R R R U U U R λ
πε•∆=-==
⎰
E r 即
1
2
021ln / 2R R U U πελ)(-=
①
②。