第二章递归与分治策略(1)

• (3i)f(qn(n<, m) r=etqu(rnn, qm(–n,1n) )+; q(n–m, m), n＞m＞1 • (4ir)feqt(u(nnrn=, =mq()mn=,)mq(–rn1e,t)un+r)n,q1n(n＜+–mmq(,。nm, n);–1);
}
8
多步递归
• 若递归函数f(x, y)，其中y是递归元，不仅与 f(x, y–1)有关，而且与f(x, y–2)，……，乃至 f(x, 0)有关，则称为多步递归。
第二章
递归与分治策略
1
Hanoi塔问题
• 例Ha1n：oi塔Ha的no解i塔可问以题很：自有然A地、看B、成C这三样根一柱个子过。程A： 上有n个圆盘，自下而上由大到小地叠在一起。
(个(11(12个)3现盘(圆不压(个盘)先13)再最盘))盘移要 移 盘 允 在将每 圆将后移移至将 到 ； 许 较A盘次A将至上C至上将 小AB(只只。C2B面B上剩上)上。较 的。任能能n下，的的–大圆何移在1的n并全的盘–时动A要部、圆上于v刻一o求圆是iB盘；d都个、：可H{}a得nio到fi((如HMHinnAaato>下nnnv0ooe,的)ii(i((Fn{nn程tr––oF序11,,,rBT,A：Foirns)os;t,,TTAoos,,si,FnCTrtooA));}s) C三个柱子间移动。
2
递归的概念
• 简单地说，递归就是用自己来定义自己。递归 算法是一个直接或间接地调用自己的算法。
• 一般地说，一个递归过程P可以表示为基语句 S(不含P)和P自身的组合β：
P β(S, P)
• 这样的表示包含了过程不终止的可能，因此递 归算法应更准确地表述为
P if B then Q else β(S, P)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
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算法总体思想
• 对将这求k出个的子小问规题模分的别问求题解的。解如合果并子为问一题个的更规大模规仍模然的不问够 小题，的则解再，划自分底为向k上个逐子步问求题出，原如来此问递题归的的解进。行下去，直 到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
n+2
n >= 2, m=0
A(A(n-1, m), m-1) n, m >= 1
Ackermann函数是一个双重的递归函数。
10
联立递归
• 联立递归是同时定义几个函数，它们彼 此相互调用，从而形成递归，又称间接 递归。
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递归方法小结
• 递归方法是将复杂的问题分解为一些较为简单 的子问题的组合。这些子问题均与其相应的原 问题相同。
• 递归算法一定要有一个或几个最简单情况的计 算(非递归分支)，如果缺少将造成递归不终止。
• 递归算法是有层次的，低层子问题的解组合成 高层问题的解。各层之间最好通过参数传递来 交流信息，如使用全局量，则要注意全局量的 及时修订。
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递归小结
优点：结构清晰，可读性强，而且容易用 数学归纳法来证明算法的正确性，因此它 为设计算法、调试程序带来很大方便。 缺点：递归算法的运行效率较低，无论是 耗费的计算时间还是占用的存储空间都比 非递归算法要多。
• i最nt简q(单int情n,形i1n：t m(1)) q(n, 1)=1，q(1, mn )==11或n, m≥=11;
• •
{递 产q(iin归 生ff,((mnn关 的)=<系 新==1)情：1q1)||况(|((+|nm2(,：)qmm<(qn–=(1,n1=)n,)–+n11))q)(=rrnee–1ttumu+rrn,nqm0(1n;);, nnn＞–≤1m)m，＞n1＞1;
• 正 例整 如ρ数(6n)的=一11个，这即种整表数示6的称划为分正数整为数1n1的种一：个 划6, 分。5+正1, 整4数+2n,的4+不1+同1的, 划3+分3,的3+个2+数1,成3+为1正+1整+1 数2+n2的+2划, 2分+2数+1，+1记, 2作+1ρ+(n1)+。1+1， 1+1+1+1+1+1
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递归小结
解决方法：在递归算法中消除递归调用，使其转化为 非递归算法。 1、采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作 栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人 工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。 2、用递推来实现递归函数。 3、通过变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求 出结果。
其中Q也不包含P，B为递归终止条件。
3
递归元
• 递归算法的思想是将对较大规模的对象的操作 归结为对较小规模的对象实施同样的操作。
• 这种规模的变化就体现在递归算法的变元中的 一类(一个或几个)变元上，这类变元被称之为 递归元。
• 递归元的变化是在递归定义中确定的，它的变 化应能导致递归算法的终止。
• 例如Fibonacci函数：
1
n=0
F(n) = 1
n=1
F(n–1) + F(n–2) n > 1
Fibonacci函数是一个两步的递归函数。
9
嵌套递归
• 所谓嵌套递归是指递归调用中又含有递归调用， 又称为多重递归。
• 例如Ackermann函数：
2
n=1, m=0
A(n, m) = 1
m>= 0, n = 0
6
正整数的划分
• 有时候，问题本身具有比较明显的递归 关系，因而容易用递归函数直接求解。
• 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分 数，则难以直接找到递归关系。
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正整数的划分
• 因此考虑增加一个自变量：在正整数的所有
不同划分中，将最大加数n1不大于m的划分个 数记为q(n, m)，可以建立如下的二递元归递关归系函：数：
后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适 用范围有限。
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分治法
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算法总体思想
• •对小到将 子这，问要问k则题个求题再规子解。划模问的分足题较为够分大k小别个规，求子模很解问的容。题问易如，题求果如分出子此割其问递成解题归k为个的的止更规进。小模行规仍下模然去的不，够直
T(n)
=n
T(n/2)
• 在递归算法的设计中递归元是非常重要的。
4
常见的递归Baidu Nhomakorabea式
• 除基本的递归形式外，其它常见的递归 形式有四种，它们是： • 多变元递归； • 多步递归； • 嵌套递归； • 联立递归
5
多变元递归
•• 多例变2：元整递数归划就分是问递题归：元将多一于个一正个整的数递n归表。示为 一系列正整数之和， n = n1 + n2 +…+nk 其中n1≥n2≥…≥nk≥1, k≥1。