辅助线添加方法

添加辅助线的方法

（一）从图形考虑

1，在三角形中，已知一条中线，常把延长一倍构成全等三角形或平行四边形，或把一边延长一倍造中位线，或取另一边的中点作成中位线。

2，在三角形中，若已知两条或三条中线时，则常连结两个中点作成中位线或延长某一中线到它的三分之一处，使之与重心、两个顶点构成平行四边形。

3，在等腰三角形中。常引底边上的高或顶角的平分线；在直角三角形中，则常

引斜边上的中线或高。

4，在梯形中，常过顶点作高或与腰平行的线段；若已知各边中点，则作中位线。5，在圆中，常作直径所对的圆周角，垂直于弦的半径（或直径）。过切点的半径；若两圆相切，则常作它的公切线和连心线；此外，还可根据共圆条件作一些

辅助圆。

（二）从要证的结论考虑

1，要证线段的和、差、倍、分或比较大小时，常用延长或截取方法进行等量代

换。

2，要证线段、角相等时，常找全等形进行等量代换。

3，要证四条线段成比例时，常作平行线找相似形。

4，要证面积相等时，常平移变换找等积形。

（三）从添辅助线的作用考虑

1，作平行线有利于造成线段、角相等，有利于造成相似形、平行四边形、全等

形、等图形。

2，作垂线有利于造成平行线、直角三角形。

3，作圆有关线段和角，有利于用圆的有关性质和有关定理。

如何添加辅助线，归纳的方法是很多的，还可用如下的口诀加以记忆；

辅助线如何添，找出规律凭经验。

题中有角平分线，可向两边作垂线。

线段垂直平分线，可与两端把线连。

三角形中两中点，连结则成中位线。

三角形中有中线，则把中线一倍延。

成比例，证相似，通常要作平行线。

作线原则有一条，证题线段别割断

圆外若有一切线，切点圆心把线连。

如果两圆内外切，经过切点作切线。

两圆相交于两点，一般要作公共弦。

是直径、成半圆，想作直角把线连。

作等角，添个圆，证明题目少困难。

辅助线是虚线，画图注意莫改变。

辅助线的添法灵活多变，归纳只是一种形式，要灵活掌握，灵活运用。这里只是介绍了常规的一些辅助线的作法，具体问题要具体分析，要多在实际问题中去操

练，才能形成自己的能力。

梯形添加辅助线常用方法例析

梯形作为特殊的四边形，在求解时常常需要转化为三角形或平行四边形等来解决。于是，梯形添加辅助线的方法就成为同学们学习时的一个难点。为此，笔者根据教学中的经验，归纳总结了一个梯形添加辅助线方法的口诀，这里介绍给大家并举例说明之。

梯形问题中，转化很重要，

平移对角线，平移梯形腰，

作出梯形高，延长两腰来相交，

中位线要想到，一腰中点等积变。

例1. 如图1，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AC＝BD，求证：AB＝CD

图1

证明：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E。因为DE//AC，所以。又因为AD//BC，所以四边形ACED为平行四边形，所以AC＝DE，又因为AC＝BD，所以BD＝DE，所以，所以

在和中

所以

所以AB＝DC

例2. 如图2，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，求证：

图2

证明：过点D作DE//AB，交BC于一点E，因为AB//DE，所以。又因为AD//BC，所以四边形ABED为平行四边形，所以AB＝DE，又因为AB＝DC，所以DE＝DC，所以，所以

例3. 如图3，在梯形ABCD中，，，AD//BC，AD＝3，DC＝6，求梯形的面积S。

图3

解：过点A、D分别作，，垂足分别为E、F

在中，因为，所以

所以，

在中，因为，所以AE＝BE，因为AD//BC，，，所以四边形AEFD为矩形，所以，所以，所以

例4. 已知，如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，求证：梯形ABCD为轴对称图形。

图4

证明：延长BA、CD交于点E，过点E作，交BC于G，交AD于F，因为，所以。又因为AD//BC，所以，因为，所以，即EG

垂直平分AD、BC。又因为，，所以梯形ABCD关于EG对称，所以梯形ABCD为轴对称图形。

例5. 如图5，已知梯形ABCD中，AD//BC，E为AB的中点，且，求证：

图5

证明：取CD中点M，连结EM，因为EM为梯形ABCD的中位线

所以

又因为，所以

所以为，所以

例6. 如图6，已知在梯形ABCD中，AD//BC，M、N为腰AB、DC的中点，求证：（1）MN//BC；（2）

图6

证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E，因为，

所以

所以，

又

所以MN是的中位线，所以MN//BC，

因为

所以

平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多初中生对几何证实题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证实题，

往往束手无策。

定义：为了证实的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。

关于添加辅助线的问题，这是初中生学习平面几何难点之一，也是平面几何教学中的一个重点。但是由于诸多方面的因素的影响，许多学生在完成几何作业或考试答卷中经常出现辅助线的作法和叙述上的错

误。

例如：如图，已知⊙O的半径为5㎝，

弦AB∥CD，AB=6㎝，CD=8㎝。

求：AB和CD的距离。

这道题的辅助线如图，可是在作业中同学却出现了如下种种叙述方法：

1、作AB和CD的垂线段MN

2、过O点作直线MN垂直AB和CD

3、过O点作AB和CD的垂直平分线MN

4、作OM⊥AB，并延长交CD于N

5、连结AB，CD的中点MN，并使之通过O点

6、连结MN，使MN⊥AB，MN⊥CD

经过分析，几种叙述方法都是错误的。而这种种错误，归纳起来大致有以下两个原因：

1、不会使用几何作图的规范用语；

2、违反了几何作图的基本要求；

3、违反了几何作图的基本原则。

那么，如何解决同学们在作辅助线时出现的问题呢？

一、注重培养学生的几何语言的表达能力