同济大学期末考试试题.doc

数学分析（上）期末试题 得分_________

姓名_________

1. 计算(每小题6分 ,共36分) 学号_________

(1)⎰++∞→x

x t t dt 1)

1(lim

(2)

dx xe x ⎰

--1

1

|

|

(3)

121lim ++∞→+++p p

p p n n n (4) 00,01)(2

='=--+=⎰x y t y x dt e y e x y y 求满足设 (5)

h

x f h x f x f h 2)

()3(lim

,1)(000

0--='→则

(6) ⎰dx x

x 2

cos cos ln 2 写出下列命题的分析表述(8分) (1) f '(x )在x 0的极限不是A . (2) {a n }是基本数列.

3 (8分)指出下列命题之间的关系：

(1) f (x )在点0x 局部有界；(2) f (x )在点0x 极限存在；

(3) f (x )在点0x 可导；(4) f (x )在点0x 连续；(5) f (x )在点0x 有定义.

4. (8分)讨论函数⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧<=>--=⎰

cos 10,

20

,1)

1(2sin )(20

22

x tdt x x x e e x f x

x

x 的连续性, 若有间断点, 是哪种间断点? 给出函数的连续区间.

5. (12分)设x 1>0, x n +1=ln(1+x n )(n=1,2,⋅⋅⋅), 证明 ).(2~)(;0lim )(∞→=∞→n n

x ii x i n n n

6. (8分)设函数f (x ), g (x )在闭区间[a , b ]上连续, 证明存在ξ∈(a , b ),

使⎰⎰ξ

ξξ=ξa b dx x f g dx x g f )()()()(=ξ.

7. (8分)用闭区间套定理证明零点存在定理.

8. (10分)设D 1, D 2为曲线y = x 2与直线y=tx 围成的图形, 问当t 为何值时, D 1, D 2绕x 轴旋转所得旋转体体积之和达到最小值?

数学分析（上）期末试题 得分_________

姓名_________

2. 计算(每小题6分 ,共36分) 学号_________ (1) )

1ln(arctan lim 30x x

x x +-→

(2) ⎰

+)

1(2

x x dx (3) ,1

0 22

=⎪⎩⎪

⎨⎧==⎰t t u t

dx dy du e y e x 求设

(4) 设⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧<+≥+=0

11011

)(x e x x

x f x

, 求⎰-2

)1(dx x f .

(5) 已知)(x f 连续,且满足方程⎰

⎰

-+=x

dx x f x x x dt t f 0

1

24)()(,试求)(x f 的

表达式.

(6) 求心形线)20( )cos 1(πθθ≤≤-=a r 的弧长 3 写出下列命题的分析表述(8分)

(1) f '(x )在x 0的极限不是A . (2) f '(x )在区间I 上一致连续..

4 (8分)指出下列命题之间的关系：

(1) f (x )在点0x 局部有界；(2) f (x )在点0x 极限存在；

(3) f (x )在点0x 可导；(4) f (x )在点0x 连续；(5) f (x )在点0x 有定义.

4. (10分)讨论函数⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧<=>--=⎰

cos 10,

20

,1)

1(2sin )(2

22

x tdt x x x e e x f x x

x 的连续性, 若有间断点, 是哪种间断点? 给出函数的连续区间.

5 (12分)设2

01π

<

).( 3~ )( ;0lim }{ )(2

∞→=∞

→n n

x ii x x i n n n n 收敛且

6 (8分)设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在ξ∈(a , b )上可微, 且 f (a )=0,

()0b

a

f x dx =⎰

.证明存在ξ∈(a , b ), 使()0f ξ'=.

7 (8分)用闭区间套定理证明零点存在定理.

8（8分）求抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围平面图形的面积

)0(>a .

《数学分析（中）》期终试卷（A 卷） 2004 ,7

一 选择填空 （每小题4分 ,共28分） 1. 函数⎩

⎨

⎧≤≤--<<=01 11

0 )(x x x x x f 的Fourier 级数在点x=2处收敛于

____________________________.

2. 若∑+∞

=1n n a 收敛 ,则级数∑+∞

=+1)1

(n n n a ______；级数∑+∞

=-1

)1(n n n a _____.

A 一定收敛

B 一定发散

C 不能确定

3. 设函数)(x f 在],[ππ-连续 ,则下列一定正确的是___________. A )(x f 的Fourier 级数点态收敛于)(x f .