2019-分享教案-11布拉格方程

§2.2 布拉格方程

X射线在传播途中，

大量原子组成，每个原子又有多个电子。各电子所产生的相干散射线会相互干涉，使某

可以回顾一个波的干涉的概念：振动方向相同、波长相同的两列波叠加，将造成某些固定区域的加强或减弱。如若叠加的波为一系列平行波，则形成固定的加强和减弱的

这些波或具有相同的波程（相位），或者其波程差为波长的整数倍（相当于相位差为2π的整数倍）。

X射线照射到电子列时，散射线相互干涉的结果，只能在某些方向上获得加强。在这些方向上，相邻电子散射线为同波程或波程差为波长的整数倍。如果忽略同原子中各电子散射线的相位差，原子列对X射线的散射，其情况与电子列相同。劳埃在1912年指出：当X射线照射晶体时，若要在某方向上能获得衍射加强，必须同时满足三个劳埃方程即：在晶体中三个相互垂直的方向上相邻原子散射线的波程差为波长的整数倍。劳埃方程式从本质上解决了X射线在晶体中的衍射方向问题，但理论比较复杂，在使用上亦欠方便。从实用角度来说，该理论有简化的必要。

晶体既然可看成由平行的原子面所组成，晶体的衍射线也应当是由原子面的衍射线叠加而得。这些衍射线会由于相互干涉而大部分被抵消，但其中一些可得到加强。更详细的研究指出，能够保留下来的那些衍射线，相当于某些网平面的反射线。按照这一观

格在1912年导出。次年，俄国的结晶学家吴里夫也独立地导出了这一方程。

一、布拉格方程的导出

先考虑同一晶面上的原子的散射线叠加条件。如图2－7所示，一束平行的单色X 射线，以θ角照射到原子面AA上，如果入射线在LL1处为同相位，则面上的原子M1和M的散射线中，处于反射线位置的MN和M1N1在到达NN1时为同光程。这说明同一晶面上的原子的散射线，在原子面的反射线方向上是可以互相加强的。

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图2－7

布拉格方程的导出

X 射线不仅可照射到晶体表面，而且可以照射到晶体内一系列平行的原子面。如果相邻两个晶面的反射线的波程差为波长的整数倍（或相位差为2π的整数倍），则所有平行晶面的反射线可一致加强，从而在该方向上获得衍射。入射线LM 照射到AA 晶面后，反射线为MN ；另一条平行的入射线L 1M 2照射到相邻的晶面BB 后，反射线为M 2N 2。这两束X 射线到达NN 2处的波程差为

22QM PM +=δ

如果晶面间距为d ，则由图可知： θθθδs i n 2s i n s i n

d d d

=+= 如果散射X 射线的波长为λ

λθn d =sin 2

（2－7）

式（2－7）就是

还可以证明，X 射线束L 1M 2在照射晶面AA 后，反射线到达N 1点；同一线束照射到相邻晶面BB 后，反射线到达N 2点。在N 1、N 2处，两束反射X 射线的波程差亦为2d sin θ。

，当一束单色且平行的X 射线照射到晶体时，

① 同一晶面上的原子的散射线在晶面反射方向上是同相位的，因而可以叠加； ② 整数倍。

布拉格方程中的θ是入射线（或反射线）射线与衍射线之间的夹角为2θn

二、 布拉格方程的讨论

将衍射看成反射，是布拉格方程的基础。但衍射是本质，反射仅是为了使用方便的描述方式。X 射线的晶面反射与可见光的镜面反射亦有不同。镜面可以任意角度反射可见光，但X 射线只有在满足布拉格方程的θ角上才能发生反射，因此，这种反射亦

布拉格方程在解决衍射方向时是极其简单而明确的。波长为λ的入射线，以θ角投射到晶体中间距为d 的晶面时，有可能在晶面的反射方向上产生反射（衍射）线，其条件为相邻晶面的反射线的波程差为波长的整数倍。下面我们将会看到，布拉格方程只是获得衍射的必要条件而非充分条件。

。当知道了其中三个量就可通过公式求出其余一个量。必须强调的是，在不同场合下，某

个量可能表现为常量或变量，因此需要仔细分析。布拉格方程是衍射中最基本最重要的方程，我们有必要通过下面的讨论对该方程有较为深刻的认识。

1. 反射级数

公式中的n 称反射级数。由相邻两个平行晶面反射出的X 射线束，其波程差用波长去量度所得的整份数在数值上就等于n 。在使用布拉格方程时，并不直接赋予n 以1、2、3等数值，而是采用另一种方式。

参照图2－8，假设X 射线照射到晶体的（100）应的布拉格方程为 λθ2s i n

2100=d （2－8）

图2－8 反射级数的讨论用图

设想在每两个（100）中间均插入一个原子分布与之完全相同的面，此时面簇中最近原点的晶面在X 轴上截距已变为1/2，故面簇的指数可写作（200）。又因面间距已减

为原先的一半，相邻晶面反射线的波程差便只有一个波长，此种情况相当于（200）发生了一级反射，其相应的布拉格方程为

λθ=sin 2200d

上式又可写作

λθ=sin )2/(2100d （2－9）

式（2－9）相当于将式（2－8）右边的2移往了左边，但这两个式子所对应的衍射方向是一样的。也就是说，可以将（100）的二级反射看成（200）的一级反射。一般的说法是，把（hkl ）的n 级反射看作（nh nk nl ）的一级反射。如果（hkl ）的面间距是d ，则（nh nk nl ）的面间距为d /n 。

于是布拉格方程可以写成以下形式

λθ=sin 2n d hkl

有时也写成 λθ=s i n 2n h n k n l d （2－10）

这种形式的布拉格方程，在使用上极为方便，它可以认为反射级数永远等于1，因为级数n 实际上已包含在d 之中。也就是，（hkl ）的n 级反射可以看成来自某种虚拟的晶面（nh nk nl ）的1级反射。

2. 干涉面指数

晶面（hkl ）的n 级反射面（nh nk nl ），用符号（HKL ）来表示，称为H ＝nh ，K ＝nk ，L ＝nl 。（hkl ）是晶体中实际存在的晶面，（HKL ）只是为了使问题简化

而引入的虚拟晶面。n 。当n ＝1时，干涉指数变为晶面指数。 对于立方晶系，晶面间距与晶面指数的关系为222/l k h a d hkl ++=；干涉面的间距与干涉指数的关系与此类似，即222/L K H a d HKL ++=。在X 射线衍射分析中，如无特别声明，所用的面间距一般是指干涉面间距。

3. 掠射角

掠射角θ是入射线（或反射线）与晶面的夹角，可用来表示衍射方向。

从布拉格方程可得：

sin θ＝λ/（2d ）