2020年湖北省荆州市沙市中学高考数学三模试卷(理科) (解析版)

，则 z＝x+2y 的最小值是
．
15．抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，A，B 两点在
x＝﹣2 上的射影分别为 M，N，0 为坐标原点，当
时，直线 l 的斜
率为
．
16．数列{an}满足
，实数 k 为常数，①数列{an}有可能为常数列；②k
＝1 时，数列 为等差数列；③若 a3＞a1，则 k∈（﹣1，0）；④k＞0 时，数列{an}递
6．已知直线 l 过点（2，﹣1），则“直线 l 的斜率为 ”是“直线 l 被圆 C：（x﹣1）2+（y+3） 2＝4 所截弦长为 ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】直线 l 的斜率分类讨论，利用弦长公式即可得出．
解：直线 l 的斜率存在时设为 k，可得方程为：y+1＝k（x﹣2），即 kx﹣y﹣1﹣2k＝0，
在 BC 上，且 BF＝3FC，G 为 DC 中点，将△ADE 沿 DE 折起，△BEF 沿 EF 折起，使 得 A，B 重合于一点（如图二），设为 P， （1）求证：EG⊥平面 PDF； （2）求二面角 C﹣PF﹣E 的大小．
19．为进一步深化“平安校园”创建活动，加强校园安全教育宣传，某高中对该校学生进 行了安全教育知识测试（满分 100 分），并从中随机抽取了 200 名学生的成绩，经过数 据分析得到如表所示的频数分布表，并绘制了得分在[30，40）以及[90，100]的茎叶图， 分别如图 1、2 所示．
A．7
B．9
C．11
D．13
4．已知：
，则 cos4α＝（ ）
A．
B．
C．
D．
5．孔子日“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百 六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概 率为 1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（ ） （参考数据：0.99360≈0.03，0.01360≈0，0.973＝0.912673
C．f（x）
D．f（x）
9．菱形 ABCD 中，AC＝2，BD＝4，E 点在线段 CD 上，则
A．[2，3]
B．[0，1]
C．[0，2]
的取值范围是（ ） D．[0，3]
10．已知双曲线 C
的左右焦点分别为 F1，F2，过 F1 且斜率为 的直
线与双曲线 C 的渐近线在第一象限交于点 P，若 PF1⊥PF2，则双曲线 C 的离心率为（ ）
参考答案
1．已知集合
，集合 B＝{x|2x＞4}，则 A∩B＝（ ）
A．（2，3）
B．（1，+∞）
C．（1，2）
【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可．
D．（3，+∞）
解：集合
（1，3），集合 B＝{x|2x＞4}＝（2，+∞），
则 A∩B＝（2，3）， 故选：A．
2．设复数 z
，则复数 z 的虚部为（ ）
20．设 F（1，0）是椭圆 E：
的右焦点，过点 F 的直线 l 交椭圆 E 于
P，Q 两点，当 l⊥x 轴时，|PQ|＝3．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）记椭圆 E 的左顶点为 A，当直线 l 斜率存在且不等于 0 时，设直线 l，直线 AP，直 线 AQ 的斜率分别为 k，k1，k2，求证：k（k1+k2）为定值．
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
一、选择题
2020 年高考数学三模试卷（理科）
1．已知集合
，集合 B＝{x|2x＞4}，则 A∩B＝（ ）
A．（2，3）
B．（1，+∞）
C．（1，2）
D．（3，+∞）
2．设复数 z
，则复数 z 的虚部为（ ）
A．﹣2i
B．﹣2
C．2i
D．2
3．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＝3，S5＝25，则 a6 等于（ ）
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
为“约率”）和 （称之为“密率”）．一几何体的三视图如图所示（每个小方格的 边长为 1），如果取圆周率为“约率”，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图为函数 y＝f（x）部分图象，则 y＝f（x）的解析式可能为（ ）
A．
B．
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
为“约率”）和 （称之为“密率”）．一几何体的三视图如图所示（每个小方格的 边长为 1），如果取圆周率为“约率”，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积． 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥和半圆锥组成的组合体．
A．0.0027%
B．99.9973%
C．0
D．91.2673%
6．已知直线 l 过点（2，﹣1），则“直线 l 的斜率为 ”是“直线 l 被圆 C：（x﹣1）2+（y+3） 2＝4 所截弦长为 ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．公元 5 世纪，我国古代著名数学家祖冲之给出了圆周率 π 的两个近似分数值： （称之
A．﹣2i
B．﹣2
C．2i
【分析】根据复数的除法和乘法运算化简 z 即可．
D．2
解：z
，
∴z 的虚部为﹣2．
故选：B．
3．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a2＝3，S5＝25，则 a6 等于（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
【分析】根据等差数列的通项公式和前 n 项和公式求出首项和公差即可．
解：∵
，
∴两边平方可得 1﹣sin2α ，可得 sin2α ，
∴cos4α＝1﹣2sin22α＝1﹣2×（ ）2 ．
故选：B．
5．孔子日“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百 六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概 率为 1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（ ） （参考数据：0.99360≈0.03，0.01360≈0，0.973＝0.912673
解：∵a2＝3，S5＝25，
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∴
，
即
，
解得 a1＝1，d＝2， 则 a6＝a1+5d＝1+5×2＝11， 故选：C．
4．已知：
，则 cos4α＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式 sin2α 的值， 进而利用二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解．
A．0.0027%
B．99.9973%
C．0
D．91.2673%
【分析】先求出甲、乙、丙在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率，可得他们在每一行 业中都不能胜过孔圣人的概率，再用 1 减去此概率，即为所求．
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解：由题意可得，甲在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为 0.99360≈0.03， 同理，乙 在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为 0.99360≈0.03， 丙在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为 0.99360≈0.03， 故甲、乙、丙三人在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为 0.033＝0.000027， 故甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为 1﹣0.000027＝ 0.999973， 故选：B．
21．函数 f（x）＝（x+1）lnx﹣ax+a﹣1，a∈R．
（1）设 y＝f'（x）是函数 y＝f（x）的导函数，求 y＝f′（x）的单调区间；
（2）证明：当 a＞e2﹣1 时，y＝f（x）在区间（0，1）上有极大值点 x0，且 f（x0）＞0．
（二）选考题：共 10 分.请考生在（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题记分.
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23．已知 f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣a|． （1）当 a＝2 时，解不等式 f（x）≤a； （2）若关于 x 的不等式 f（x）≤3﹣|a|有解，求实数 a 的取值范围．
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一、选择题
直线 l 被圆 C：（x﹣1）2+（y+3）2＝4 所截弦长为 ，则
，
化为：k ， 直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝2，也满足题意． ∴“直线 l 的斜率为 ”是“直线 l 被圆 C：（x﹣1）2+（y+3）2＝4 所截弦长为 ”的 充分不必要条件． 故选：A． 7．公元 5 世纪，我国古代著名数学家祖冲之给出了圆周率 π 的两个近似分数值： （称之
减；则以上判断正确的有
（填写序号即可）
三、解答题
17 ． 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 设 向 量 ，且 ∥ ．
（1）求角 A；
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（2）若 a＝2 ，△ABC 的面积为 3 ，求△ABC 的周长． 18．已知如图一 Rt△ABC，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D，E 分别为 AC，AB 的中点，F
A．
B．
C．
D．
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11．已知函数 则实数 b 的取值范围为（ ）
有两个极值点 x1，x2，且|x1|+|x2|＝2，
A．（﹣∞，0） B．（0，1）
C．
D．[﹣1，1]
12．已知平面四边形 ABCD 中，
，∠BAD＝120°，△BCD 是等边三角形，
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（3）学校决定对 90 分及以上的同学进行奖励，为了体现趣味性，采用抽奖的方式进行， 其中得分不低于 94 的同学有两次抽奖机会，低于 94 的同学只有一次抽奖机会，每次抽 奖的奖金及对应的概率分别为：
奖金
50
100
概率
现在从不低于 90 同学中随机选一名同学，记其获奖金额为 ξ，以样本估计总体，将频率 视为概率，求 ξ 的分布列和数学期望．（参考数据：
如图所示：
所以：V
．
故选：A． 8．如图为函数 y＝f（x）部分图象，则 y＝f（x）的解析式可能为（ ）
A．
B．
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C．f（x）
D．f（x）
【分析】结合题干图象，逐项判断即可得出正确选项．
解：对于选项 A，
，故 f（x）为偶函数，不合题
意；
对于选项 B，当 x→+∞时，f（x）→+∞，不合题意；
对于选项 Байду номын сангаас，
，故 f（x）为奇函数，不合题意．
对于选项 D，当 x→+∞时，f（x）→0，当 x→﹣∞时，f（x）→+∞，当 x→0 时，f（x） →﹣∞，符合题意．
故选：D．
9．菱形 ABCD 中，AC＝2，BD＝4，E 点在线段 CD 上，则
现将△BCD 沿 BD 折起到△BPD，使得 P 点在平面 ABD 上的射影恰为△ABD 的外心，
则三棱锥 P﹣ABD 外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．9π
D．
二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分）
13．（1﹣x2）（1+x）4 的展开式中含，x2 的项的系数为
．
14．设 x，y 满足约束条件
成绩 [30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]
频数 5
30
40
50
45
20
10
（1）求这 200 名同学得分的平均数；（同组数据用区间中点值作代表）
（2）如果变量 X 满足 P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＞0.9544 且 P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＞ 0.9974，则称变量 X“近似满足正态分布 N（μ，σ2）的概率分布”．经计算知样本方差 为 210，现在取 μ 和σ2 分别为样本平均数和方差，以样本估计总体，将频率视为概率， 如果该校学生的得分“近似满足正态分布 N（μ，σ2）的概率分布”，则认为该校的校 园安全教育是成功的，否则视为不成功．试判断该校的安全教育是否成功，并说明理由．
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线 C 的直角坐标方程和极坐标方程；
（θ 为参数），以原
（2）若将曲线 C 绕点 O 逆时针旋转 得到曲线 D，曲线 D 与曲线 C 交于 O，A，与 y 轴
分别交于 O，B，求三角形 OAB 的面积． 5 / 28