高中数学人教A版必修必修五基本不等式课件

大值__14__S_2__；
定 积
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最 最
小值__2___P__.
大 ，
注意：①各项皆为正数；
一“正”
积
②和为定值或积为定值；二“定”
定
③注意等号成立的条件. 三“相等”
和
最
注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定
小
高中数学人教A版必修5第三章3.4必修 五基本 不等式 课件
xy x y 2 81 2
当且仅当x y 9时取等号。
解法三分析
令xy=z,则 Z=-x2+18x， 利用二次函数求某一区间的最值
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变式1、若正数x, y满足2x y 18,求xy的最大值。
（1）一正：各项均为正数。 （2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。
两个正数和为定值，积有最大值。 （3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”， 否则会出现错误。
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【基础训练3】
例 题
例1、(1)当x>0时，x 1 x
2
，当且仅当
讲 x= 1 时取等号。
解 2若x 0，y 0且x • y 9,则x y的最小值是 6 ，
此时x y 3 .
解： x 0，y 0 x y 2 x • y 6
当且仅当x y 3时取等号。
两个正数积为定值P，和有最小值 2 。P
利用a b 2 ab
变式：判断以下命题是否正确
(1)因为y x 4 2 x
x•
4 x
4, 所以ymin
4.
错。因为x和 1 不一定是正数
x
一正
(2)设x
R ,则y
x2
8 中,当x2 x
8 x
,
x
2时,
ymin
8;
错。因为x2 • 8 不是定值
x
二定
3若0 x ,则y sinx 9 2 9 6,
3.4基本不等式:
ab a b 2
基本不等式的几何背景
D
a2 b2
b
G aF
C
A
A
HE
D
a
Ob
C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我
们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
如何证明?
用 a和 ba 0,b 0代替a,b会得到什么？
深
基本不等式：a b aba 0,b 0
1 (3x 1 3x)2 1
32
12
凑系数
当且仅当 3x=1-3x
即x=
1 6
时 ymax=
1 12
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巅
小结评价
你会了 吗？
峰
回 1、本节主要学习了基本不等式的证明与 眸 初步应用。
两个正数的和为定值，积有最大值。
利用a b 2 ab
你还有其他的解法吗？
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公式变形：
ab
a
2
b
2
例2、若正数x, y满足x y 18,求xy的最大值。
解法二： x 0, y 0
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例
已知x＞1，求x＋ 1 的最小值以及取得 最小值时x的值。 x 1
解：∵x＞1 ∴x－1＞0 构造积为定值
∴x＋ 1 ＝（x－1）＋ 1 ＋1
x 1
(x 1)
凑项法
2 x 1 1 1 3
x 1
当且仅当x－1＝ 1 时取“＝”号。
x 1
解： x 0, y 0
2xy 2x y 2 81 2
xy 81 2
当且仅当2x y即x 9 , y 9时取等号。 2
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基 1、已知 2x 3 y 2( x 0, y 0) 则x y 的
入
2
探
当且仅当a=b时，等号成立。
究
揭 基本不等式的几何解释：
示
D
本
半径不小于半弦
质
A
aCb B
E
剖析公式应用
深
入 探
a b ab 2
究
均值不等式
揭
算术平均数 几何平均数
示 基本不等式可以叙述为:
本 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
质 数.
注意：（1）不等式使用的条件不同；
（2）当且仅当a=b时取等号；
础
1
1
1
练 最大值是 6 ，此时x= 2 ,y= 3 。
习
2、正数x, y满足x y 20,则lg x lg y的 最大值是 __2__ .
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最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 和
于是x＝2或x＝0（舍去）
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已知0 x 1 ,求函数y x1 3x的最大值。
例
3
解：∵0＜x＜1 ，∴1-3x＞0
3
构造和为定值
∴y=x（1-3x）=
1• 3
3x（1-3x）
1、 求函数 y 1 x(x 3) 的最小值.
x3
2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多 少？
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豁
然 2、注意公式的正用、逆用、变形使用。
开 3、牢记公式特征一“正”、二“定”、三 朗 “等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光
彩。
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小结：运用 a b ab(a 0,b 0) 时要注意下面三条： 2
sinx
所以函数的最小值是6.
错。因为sin x 9
sin x
三相等
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例2、若正数x, y满足x y 18,求xy的最大值。
解法一： x 0, y 0
x y 2 xy即2 xy 18
xy 81
当且仅当x y 9时取等号。