201x届高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数 2-2 函数的值域与解析式 文

[答案] D
4．已知 f2x＋1＝lgx，则 f(x)＝________. [解析] 令2x＋1＝t，则 x＝t－2 1，∴f(t)＝lgt－2 1. ∴f(x)＝lgx－2 1，x∈(1，＋∞)．
[答案] lgx－2 1，x∈(1，＋∞)
5．函数 y＝x2＋2x 在 x∈[0,3]时的值域为________．
(4)形如 y＝ax＋b± cx＋d(a，b，c，d 为常数，ac≠0)的函数， 可用换元法．
设 cx＋d＝t(t≥0)，转化为二次函数求值域． (5)形如 y＝x＋kx(k>0，x>0)的函数可用均值不等式法或函数单 调性求解，注意使用均值不等式时要满足条件“一正二定三相 等”． (6)对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如 y＝|x－1|＋|x ＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法．
⑤y＝logax(a>0 且 a≠1)的值域是 R. ⑥y＝sinx，y＝cosx 的值域是[－1,1]． ⑦y＝tanx 的值域是 R. (2)利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意 等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．
2．函数解析式的求法 (1)换元法：若已知 fgx的表达式，求 f(x)的解析式，通常是 令 g(x)＝t，从中解出 x＝φ(t)，再将 g(x)、x 代入已知解析式求得 f(t)的解析式，即得函数 f(x)的解析式，这种方法叫做换元法，需 注意新设变量“t”的范围． (2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式， 然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．
第
二 函数的概念与基本初等函数
章
第二节
函数的值域与解析式
高考概览 1.了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域；2.会求 一些简单函数的解析式． 说明：本考点内容一般与其他知识结合考查，不单独命题.
吃透教材 夯双基
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[知识梳理] 1．函数的值域 在函数 y＝f(x)中，与自变量 x 的值相对应的 y 的值叫 函数值 ， 函数值的集合 叫函数的值域． 求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的 结构特征来选择对应的方法求解，常见的有：
[温馨提示] (1)熟记基本初等函数的值域 ①y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R. ② y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的 值 域 是 ： 当 a>0 时 ， 值 域 为 4ac4－a b2，＋∞；当 a<0 时，值域为－∞，4ac4－a b2. ③y＝kx(k≠0)的值域是{y|y∈R 且 y≠0}． ④y＝ax(a>0 且 a≠1)的值域是(0，＋∞)．
[解析] 因为 f(x)＝2x＋1，所以 f(x－1)＝2x－1.因为函数 f(x) 的定义域为[1,3]，所以 1≤x－1≤3，即 2≤x≤4，故 f(x－1)＝2x －1(2≤x≤4)．选 B.
[答案] B
2．若二次函数 g(x)满足 g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
则 g(x)的解析式为( )
[思路引导] (1)分离常数法． (2)换元法，令 1－2x＝t(t≥0)转化为二次函数的值域或利用 函数单调性求最值． (3)去分母，转化为关于 x 的二次方程，利用判别式“Δ”求 y 的取值范围． (4)均值不等式．
[解] (1)y＝xx－＋31＝x＋x＋1－1 4＝1－x＋4 1. 因为x＋4 1≠0，所以 1－x＋4 1≠1， 即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}． (2)解法一：令 1－2x＝t，则 t≥0 且 x＝1－2 t2， 于是 y＝1－2 t2－t＝－12(t＋1)2＋1， 由于 t≥0，所以 y≤12，故函数的值域是yy≤12 .
∴g(x)＝3x2－2x，选 B.
[答案] B
3．函数 f(x)＝3x－3 3的值域为(
)
A．(－∞，－1) B．(－1,0)∪(0，＋∞)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
[解析] 由 3x－3≠0，得 x≠1，所以 3x－3>－3 且 3x－3≠0. 当－3<3x－3<0 时，3x－3 3<－1；当 3x－3>0 时，3x－3 3>0.故 f(x)的 值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．
(3)消去法：若所给解析式中含有 f(x)、f1x或 f(x)、f(－x)等形 式，可构造另一个方程，通过解方程组得到 f(x)．
(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由 特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．
[小题速练] 1．(2018·河南平顶山模拟)已知函数 f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)， 则( ) A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2) B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4) C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2) D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)
A．g(x)＝2x2－3x
B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x
D．g(x)＝－3x2－2x
[解析] 用待定系数法，设 g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)
a＋b＋c＝1， ＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，∴a－b＋c＝5， c＝0，
a＝3， 解得b＝－2， c＝0，
[解析] y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，y＝(x＋1)2－1 在[0,3]上为增 函数，∴0≤y≤15，
即函数 y＝x2＋2x 在 x∈[0,3]的值域为[0,15]．
[答案] [0,15]
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考点一 求函数的值域——基础考点 求下列函数的值域： (1)y＝xx－＋31； (2)y＝x－ 1－2x； (3)y＝x2＋x＋x＋1 1； (4)y＝log3x＋logx3－1.
(1)形如 y＝acxx＋＋db(c≠0)的函数，可用分离常数法，将函数化 为 y＝ac＋cxm＋d(其中 m 为常数)形式．
(2)形如 y＝aaxx＋＋bc或 y＝ssiinnxx－＋12的函数可用反解法． (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋ b[f(x)]＋c(a≠0)可用配方法及换元法．