【高考精品复习】第四篇 三角函数、解三角形 第7讲 正弦定理、余弦定理应用举例

第7讲正弦定理、余弦定理应用举例

【高考会这样考】

考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．【复习指导】

1．本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法．

2．加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力．

基础梳理

1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．

(2)方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．

(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．

一个步骤

解三角形应用题的一般步骤：

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．

(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 两种情形

解三角形应用题常有以下两种情形

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．

A ．50 2 m

B ．50 3 m

C ．25 2 m D.2522 m 解析 由正弦定理得

AB sin ∠ACB

＝AC

sin B ，又∵B ＝30°

∴AB ＝AC ·sin ∠ACB

sin B

＝50×22

12＝502(m)．

答案 A

2．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A ．α＞β B ．α＝β

C ．α＋β＝90°

D ．α＋β＝180° 解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β.

答案 B

3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )． A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10° D ．北偏西10°

解析 如图．

答案 B

4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )． A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里

D ．103海里

解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，

在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是5

0.5＝10(海里/时)． 答案 C

5．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．

解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°).解得BC ＝56(海里)．

答案 5 6

考向一测量距离问题

【例1】►如图所示，

为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．[审题视点] 在△BCD中，求出BC，在△ABC中，求出AB.

解在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.∵∠BCD＝30°，∠BDC＝105°∴∠CBD＝45°

在△BCD中，由正弦定理可得BC＝a sin 105°

sin 45°＝

3＋1

2a.

在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以

求得A，B两点之间的距离为AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 30°＝

2 2a.

(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．

【训练1】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．

解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝

0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15° 在△ABC 中，

AB sin ∠BCA ＝AC

sin ∠ABC

，

所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋6

20(km)， 同理，BD ＝

32＋6

20(km)．

故B 、D 的距离为

32＋6

20 km.

考向二 测量高度问题

【例2】►如图，山脚下有一小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .

[审题视点] 过点C 作CE ∥DB ，延长BA 交CE 于点E ，在△AEC 中建立关系． 解

如图，设CD ＝x m ， 则AE ＝x －20 m ，

tan 60°＝CD BD ，

∴BD ＝CD tan 60°＝x 3＝33x (m)．

在△AEC 中，x －20＝3

3x ，

解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m.