离散数学-第八章函数讲义.
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f-1(B)= f-1({2})={1,4}
函数的性质 定义8.6 设f：A→B， (1)若 ranf=B，则称f：A→B是满射的。 (2)若 y∈ranf 都存在唯一的x∈A使得f(x)=y， 则称f：A→B是单射的。 (3)若f：A→B既是满射又是单射的， 则称f：A→B是双射的(或一一映像)。
例8.5 对于以下各题给定的A,B和f，判断是否构成函 数f：A→B。如果是，说明 f：A→B是否为单射，满 射，双射的，并根据要求进行计算。 (1) A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9,10}, f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>} 能构成函数f：A→B，但f：A→B既不是单射也不是 满射的。 (2) A,B同（1），f={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}
定义8.4 所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B 上 A”。符号化表示为 BA={f | f：A→B}
例8.2 设A={1,2,3}，B={a,b}，求BA。 解： BA={f0,f1,…,f7}，其中
f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>}
f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}
是满射的，但不是单射的，例如f(1.5)=f(1.2)=1
(4) f：R→R，f(x)=2x+1 满射，单射，双射的，因为它是单调函数并且ranf=R (5) f：R+→R+，f(x)=(x2+1)/x，其中R+为正实数集。 当x→0时，f(x)→+∞； 而当x→+∞时，f(x)→+∞。 在x=1处函数f(x)取得极小值f(1)=2。 所以该函数既不是单射的也不是满射的。
|A|=3，|B|=2，而ຫໍສະໝຸດ BaiduBA|=23=8
当A或B
1. A= 且 B= ，则BA= ={}。 2. A= 且 B≠ ，则BA=B ={}。 3. A≠ 且 B= ，则BA= A= 。
定义8.5 设函数f：A→B，A1 A， B1 B。 (1) 令f(A1)={f(x)|x∈A1}，称f(A1)为A1在f下的像。 特别的，当A1=A时称f(A1)为函数的像。 f(A1) B (2) 令f-1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1}，称f-1(B1)为B1在f
f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}
f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}
由排列组合的知识不难证明：
若|A|=m，|B|=n，且m,n>0,则|BA|=nm。
令A1={1}，那么有 f-1(f(A1))=f-1(f({1}))=f-1({0})={1,2}
这时A1 f-1(f(A1))。
例8.3 设f：N→N,且
f ( x)
x 2
若x为偶数 若x为奇数
x 1
令A={0,1}，B={2}， 求f(A)和f-1(B) f(A)=f({0,1})={f(0),f(1)}={0,2}
不能构成函数f：A→B,因为<1,7>∈f且<1,9>∈f， 与函数定义矛盾。
(3) A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9,10}, f ={<1,8>,<3,10>,<2,6>,<4,9>}
f：A→B是满射的： 对于任意的y∈B，都存在x∈A，使得f(x)=y。 f：A→B是单射的： 对于x1，x2∈A，x1≠x2，一定有f(x1)≠f(x2)。 即，如果对于x1，x2∈A有f(x1)=f(x2)，则一定有x1=x2
例8.4 判断下面函数是否为单射，满射，双射的， 为什么? (1) f：R→R，f(x)= -x2+2x-1 是开口向下的抛物线，不是单调函数，并且在x=1 点取得极大值0。因此它既不是单射也不是满射的。 (2) f：Z+→R，f(x)=lnx，Z+为正整数集 f：Z+→R，f(x)=lnx是单调上升的，因此是单射的。 但不是满射的，因为ranf={ln1，ln2，…} R。 (3) f：R→Z，f(x)= x
例如：函数F(x)=(x2-1)/(x+1)，G(x)=x-1是不相等的， 因为 domF={x|x∈R∧x≠-1} 而domG=R。 domF≠domG。 定义8.3 设A，B为集合， 如果f为函数，且domf=A，ranf B， 则称f为从A到B的函数，记作f：A→B。 例如 f：N→N，f(x)=2x是从N到N的函数， g：N→N，g(x)=2也是从N到N的函数。
8.1 函数的定义与性质
函数是一种特殊的二元关系 单值性
定义8.1 设F为二元关系，若 x∈domF都存在唯一的 y∈ranF使xFy成立，则称F为函数。 对于函数F，如果有xFy，则记作y=F(x)， 并称y为F在x的值。 函数也可以称作映射。
例8.1 设 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>} F2={<x1,y1>,<x1,y2>} 判断它们是否为函数。 解： F1是函数，F2不是函数。
下的完全原像。 f-1(B1) A
注意区别: 函数的值和像两个不同的概念。
函数值f(x)∈B，而像f(A1) B
A1 与 f -1(f(A1))的关系 ？ 一般说来f-1(f(A1))≠A1，但是A1 f-1(f(A1))
例如函数f：{1,2,3}→{0,1}，满足 f(1)=f(2)=0,f(3)=1
因为对应于x1存在y1和y2满足x1F2y1和x1F2y2， 与函数定义矛盾。
F 是函数（映射） 对于x1，x2∈A， 如果x1=x2 ，一定有f(x1)＝f(x2)。即， 如果对于x1，x2∈A有f(x1) ≠f(x2)，则一定有x1≠x2
函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等
定义8.2 设F，G为函数，则 F=G F G∧G F 由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一 定满足下面两个条件： 1．domF=domG 2． x∈domF=domG都有F(x)=G(x)
函数的性质 定义8.6 设f：A→B， (1)若 ranf=B，则称f：A→B是满射的。 (2)若 y∈ranf 都存在唯一的x∈A使得f(x)=y， 则称f：A→B是单射的。 (3)若f：A→B既是满射又是单射的， 则称f：A→B是双射的(或一一映像)。
例8.5 对于以下各题给定的A,B和f，判断是否构成函 数f：A→B。如果是，说明 f：A→B是否为单射，满 射，双射的，并根据要求进行计算。 (1) A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9,10}, f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>} 能构成函数f：A→B，但f：A→B既不是单射也不是 满射的。 (2) A,B同（1），f={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}
定义8.4 所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B 上 A”。符号化表示为 BA={f | f：A→B}
例8.2 设A={1,2,3}，B={a,b}，求BA。 解： BA={f0,f1,…,f7}，其中
f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>}
f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}
是满射的，但不是单射的，例如f(1.5)=f(1.2)=1
(4) f：R→R，f(x)=2x+1 满射，单射，双射的，因为它是单调函数并且ranf=R (5) f：R+→R+，f(x)=(x2+1)/x，其中R+为正实数集。 当x→0时，f(x)→+∞； 而当x→+∞时，f(x)→+∞。 在x=1处函数f(x)取得极小值f(1)=2。 所以该函数既不是单射的也不是满射的。
|A|=3，|B|=2，而ຫໍສະໝຸດ BaiduBA|=23=8
当A或B
1. A= 且 B= ，则BA= ={}。 2. A= 且 B≠ ，则BA=B ={}。 3. A≠ 且 B= ，则BA= A= 。
定义8.5 设函数f：A→B，A1 A， B1 B。 (1) 令f(A1)={f(x)|x∈A1}，称f(A1)为A1在f下的像。 特别的，当A1=A时称f(A1)为函数的像。 f(A1) B (2) 令f-1(B1)={x|x∈A∧f(x)∈B1}，称f-1(B1)为B1在f
f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}
f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>}
由排列组合的知识不难证明：
若|A|=m，|B|=n，且m,n>0,则|BA|=nm。
令A1={1}，那么有 f-1(f(A1))=f-1(f({1}))=f-1({0})={1,2}
这时A1 f-1(f(A1))。
例8.3 设f：N→N,且
f ( x)
x 2
若x为偶数 若x为奇数
x 1
令A={0,1}，B={2}， 求f(A)和f-1(B) f(A)=f({0,1})={f(0),f(1)}={0,2}
不能构成函数f：A→B,因为<1,7>∈f且<1,9>∈f， 与函数定义矛盾。
(3) A={1,2,3,4,5}, B={6,7,8,9,10}, f ={<1,8>,<3,10>,<2,6>,<4,9>}
f：A→B是满射的： 对于任意的y∈B，都存在x∈A，使得f(x)=y。 f：A→B是单射的： 对于x1，x2∈A，x1≠x2，一定有f(x1)≠f(x2)。 即，如果对于x1，x2∈A有f(x1)=f(x2)，则一定有x1=x2
例8.4 判断下面函数是否为单射，满射，双射的， 为什么? (1) f：R→R，f(x)= -x2+2x-1 是开口向下的抛物线，不是单调函数，并且在x=1 点取得极大值0。因此它既不是单射也不是满射的。 (2) f：Z+→R，f(x)=lnx，Z+为正整数集 f：Z+→R，f(x)=lnx是单调上升的，因此是单射的。 但不是满射的，因为ranf={ln1，ln2，…} R。 (3) f：R→Z，f(x)= x
例如：函数F(x)=(x2-1)/(x+1)，G(x)=x-1是不相等的， 因为 domF={x|x∈R∧x≠-1} 而domG=R。 domF≠domG。 定义8.3 设A，B为集合， 如果f为函数，且domf=A，ranf B， 则称f为从A到B的函数，记作f：A→B。 例如 f：N→N，f(x)=2x是从N到N的函数， g：N→N，g(x)=2也是从N到N的函数。
8.1 函数的定义与性质
函数是一种特殊的二元关系 单值性
定义8.1 设F为二元关系，若 x∈domF都存在唯一的 y∈ranF使xFy成立，则称F为函数。 对于函数F，如果有xFy，则记作y=F(x)， 并称y为F在x的值。 函数也可以称作映射。
例8.1 设 F1={<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>} F2={<x1,y1>,<x1,y2>} 判断它们是否为函数。 解： F1是函数，F2不是函数。
下的完全原像。 f-1(B1) A
注意区别: 函数的值和像两个不同的概念。
函数值f(x)∈B，而像f(A1) B
A1 与 f -1(f(A1))的关系 ？ 一般说来f-1(f(A1))≠A1，但是A1 f-1(f(A1))
例如函数f：{1,2,3}→{0,1}，满足 f(1)=f(2)=0,f(3)=1
因为对应于x1存在y1和y2满足x1F2y1和x1F2y2， 与函数定义矛盾。
F 是函数（映射） 对于x1，x2∈A， 如果x1=x2 ，一定有f(x1)＝f(x2)。即， 如果对于x1，x2∈A有f(x1) ≠f(x2)，则一定有x1≠x2
函数是集合，可以用集合相等来定义函数的相等
定义8.2 设F，G为函数，则 F=G F G∧G F 由以上定义可知，如果两个函数F和G相等，一 定满足下面两个条件： 1．domF=domG 2． x∈domF=domG都有F(x)=G(x)