信息编码设计

吉林建筑大学

电气与电子信息工程学院

信息理论与编码课程设计报告

设计题目：线性分组码编码的分析与实现

专业班级：电子信息工程112

学生姓名：王朝阳

学号：10211218

指导教师：李红杨佳

设计时间：2014.11.24－2014.12.5

教师评语：

成绩评阅教师日期

第1章 概述

1.1设计的作用、目的

《信息论与编码》是一门理论与实践密切结合的课程,课程设计是其实践性教学环节之一。一方面，通过让学生完成具体编码算法的程序设计和调试工作，提高编程能力，深刻理解编码理论和信息论中的基本概念，同时增强其逻辑思维能力，培养和提高学生的自学能力以及综合运用所学理论知识去分析解决实际问题的能力；另一方面是对课堂所学理论知识作一个总结和补充。

1.2设计任务及要求

设计一个（6, 3）线性分组码的编译码程序：完成对任意序列的编码，根据生成矩阵形成监督矩阵，得到伴随式，并根据其进行译码，同时验证工作的正确性。

通过课程设计各环节的实践，应使学生达到如下要求：

1. 理解无失真信源编码的理论基础，掌握无失真信源编码的基本方法；

2. 深刻理解信道编码的基本思想与目的，理解线性分组码的基本原理与编码过程；

3. 能够使用MATLAB 或其他语言进行编程，编写的函数要有通用性。

1.3设计内容

已知一个（6,3）线性分组码的校验元与信息元有如下限定关系。设码字为 (c 5, c 4, c 3, c 2, c 1, c 0)

⎢⎢⎢⎣⎡⎥

⎥⎥⎦⎤

=011101110Q 求出标准校验矩阵、Q 矩阵、标准生成矩阵，完成对任意信息序列（123-个许用码字）的编码。

当接收码字分别为(000000), (000001), (000010), (000100), (001000), (010000), (100000)时，写出其伴随式S ，以表格形式写出伴随式与错误图样E 的对应关系，纠错并正确译码，当有两位错码时，假定为5c 位和2c 位发生错误。

第2章 线性分组码编码的分析与实现 2.1设计原理

1. 线性分组码的生成矩阵和校验矩阵

（1）线性分组码具有如下性质（n ，k ）的性质： 1、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。 2、码的最小距离等于非零码的最小码重。

对于码组长度为n 、信息码元为k 位、监督码元为r ＝n －k 位的分组码，常记作（n ，k ）码，如果满足2r －1≥n ，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。设分组码（n ，k ）中，k = 3，为能纠正一位误码，要求r≥3。现取r ＝3，则n ＝k ＋r ＝6。该例子中，信息组为[C5 C4 C3],码字为[C5 C4 C3 C2 C1 C0].当已知信息组时，按以下规则得到三个校 验元，即 C2=C5+C4

C1=C3+C4

C0=C5+C3 这组方程称为校验方程。

（6，3）线性分组码有23

（8）个许用码字或合法码字，另有26

-23

个禁用码字。发送方发送的是许用码字，若接收方收到的是禁用码字，则说明传输中发生了错误。

为了深化对线性分组码的理论分析，可将其与线性空间联系起来。由于每个码字都是一个二进制的n 重，及二进制n 维线性空间n V 中的一个矢量，因此码字又称为码矢。线性分组码的一个重要参数是码率r=k/n,它说明在一个码字中信息位所占的比重，r 越大，说明信息位所占比重越大，码的传输信息的有效性越高。由于(n,k)线性分组，线性分组码的2k

个码字组成了n 维线性空间n V 的一个K 维子空间。因此这2k

个码字完全可由k 个线性无关的矢量所组成。 （2）生成矩阵和校验矩阵

线性分组码码空间C 是由k 个线性无关的基底1-k g ，…1g 0g 张成的k 维n 重子空间，码空间的所有元素都可以写成k 个基底的线性组合，即

=C 001111g m g m g m k k +++-- 这种线性组合特性正是线性分组码。为了深化对线

性分组码的理论分析，可将其与线性空间联系起来。由于每个码字都是一个二进制的n 重，及二进制n 维线性空间Vn 中的一个矢量，因此码字又称为码矢。

用i g 表示第i 个基底并写成n ⨯1矩阵形式[]

01)2()1(,,,,i i n i n i i g g g g g --=再将k 个基底排列成k 行n 列的G 矩阵，得：

=G []T

k g g g 011,,,⋯-=⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡------0001

)

1(01011)1(10)1(1)1()

1)(1(g g g g g g g g g n n k k n k

由于k 个基底即G 的k 个行矢量线性无关，矩阵G 的秩一定等于k ，当信息元确定后，码字仅由G 矩阵决定，因此称这n k ⨯矩阵G 为该()k n ⨯线性分组码的生成矩阵。基底的线性组合等效于生成矩阵G 的行运算，可以产生一组新的基底。利用这点可使生成矩阵具有如下的“系统形式”：

[]⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡==---------0001

)1(01011)1(10)1(1)1()

1)(1(1000

010

001

p p p p p p p p p P I G k n k n k k k n k k 与任何一个()k n ,分组线性码的码空间C 相对应，一定存在一个对偶空间D 。事实上，码空间基底数k 只是n 维n 重空间全部n 个基底的一部分，若能找出另外k n -个基底，也就找到了对偶空间D 。既然用k 个基底能产生一个()k n ,分组线性码，那么也就能用k n -个基底产生包含k n -2个码字的()k n n -,分组线性码，称()k n n -,码是()k n ,码的对偶码。将D 空间的k n -个基底排列起来可构成一个

()n k n ⨯-矩阵，将这个矩阵称为码空间C 的校验矩阵H ，而它正是()k n n -,对偶

码的生成矩阵，它的每一行是对偶码的一个码字。C 和D 的对偶是互相的，G 是

C 的生成矩阵又是

D 的校验矩阵，而H 是D 的生成矩阵，又是C 的校验矩阵。由于C 的基底和D 的基底正交，空间C 和空间D 也正交，它们互为零空间。因此，()k n ,线性码的任意码字c 一定正交于其对偶码的任意一个码字，也必定正交于校验矩阵H 的任意一个行矢量，即0=T cH 。由于生成矩阵的每个行矢量都是