统计学：总体均数的估计

样本
用希腊字母分别记为μ、
推断inference
统计量
σ。固定的常数
统计量：样本的统计指标，如样本均数、标准差，采用拉 丁字母分别记为
X、S
。 参数附近波动的随机变量 。
第一节 均数的抽样误差与标准误
例如，从总体均数 =4.83×1012/L、标准差 =0.52×1012/L 的正态分布总体 N(4.83, 0.522)中，随机抽取 10 人为一个样本（n=10） ，并计算该样本的均数、标 准差。如此重复抽取 100 次（
f(t)
ν─>∞ (标准正态曲线) ν =5
ν =1
( 1) 2 f (t ) (1 t 2 / ) ( 1) 2 ( 2)
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
t
图4-2 不同自由度下的t 分布图
t分布的特征
①以0为中心，左右对称的单峰分布； ②t分布曲线是一簇曲线，其形态变化与自 由度的大小有关。 自由度越小，则t值越分散，曲线越低平； 自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近Z分 布(标准正态分布)；当趋于∞时，t分布即 为Z分布。
100. 4.79, 0.39
将这100份样本的均数看成新变量值，按第二章 的频数分布方法，得到这 100 个样本均数得直方图 见图4-1。
30 25 20
频数
15 10 5 0 4.2~ 4.3~ 4.4~ 4.5~ 4.6~ 4.7~ 4.8~ 4.9~ 5.0~ 5.1~ 5.2~ 红细胞数（×1012 /L）
第二节 t 分布(t-distribution)
随机变量X
Z X
N（，2）
均数 X
Z变换
标准正态分布
N（0，12）
标准正态分布
N ( , n)
2
X Z n
N（0，12）
Student t分布
X X t , v n 1 自由度：n-1 SX S n
15 36 57 77 98 19
3. 71 3. 92 4. 12 4. 33 4. 54 4. 74 4. 95 5. 15 5. 36 5. 57 5. 77 5. 98 6. 19
抽样实验小结
均数的均数围绕总体均数上下波动。 均数的标准差即标准误 X 与总体标 准差 相差一个常数的倍数，即 X / n 样本均数的标准误（Standard Error) =样本标准差/ 样本含量＝S n 从正态总体N(,2)中抽取样本，获得 均数的分布仍近似呈正态分布N(,2/n) 。
图4-1 随机抽样所得100个样本均数的分布
100个样本均数的抽样分布特点：
① 4.83 X 4.8276 ② 100个样本均数中，各样本均数间存在差异， 但各样本均数在总体均数周围波动。 ③样本均数的分布曲线为中间高，两边低， 左右对称，近似服从正态分布。 ④样本均数的标准差明显变小：
g
=100） ，可得到 100 份样本，可得到 100 对均数
X 和标准差 S ，见表 4-1 所示。
100份样本的均数和标准差
X
1. 2.
S
4.58, 0.38 4.90, 0.45 4.76, 0.49 ┆ 100 个
正态总体
=4.83 =0.52 样本含 量 n =10
3.
99.
4.87, 0.59
② 10，双 =0.05， t
2,
t0.05 / 2,10 2.228 ，则有
P (t 2.228) P (t 2.228) 0.05
t0.05/ 2,10 t0.025,10
t分布曲线下面积（附表2）
双侧t0.05/2，9＝2.262 ＝单侧t0.025，9 单侧t0.05，9＝1.833 双侧t0.01/2，9＝3.250 ＝单侧t0.005，9
第1个样本S X 第2个样本S X 第3个样本S X 第100个样本S X S 0.39 =0.123 n 10 S 0.38 =0.120 n 10 S 0.45 =0.142 n 10 S 0.49 =0.155 n 10
0.52 X 0.1644 n 10

频数
100 150 200 250 300 350 400 450
3.
50 0
71 92 12 33 54 74 95 15 36 57 77
3. 4. 4. 4. 4. 4.
均数
5. 5. 5. 5. 5. 6. 98 19
n 5; S X 0.2212
n 30; S X 0.0920
频数
100 150
频数
200 250 300 350 400 450
3个抽样实验结果图示
100
150
200
Байду номын сангаас
250
300
350
400
450
3. 3. 4. 4. 4. 4. 4.
均数
50 0
50
0
71 92 12 33 54 74 95
n 10; S X 0.1580
均数
5. 5. 5. 5. 5. 6.
0.52 0.52 S X 0.1772 0.1644 X 10
标准误(standard error, SE)
即样本均数的标准差，可用于衡量抽样误 差的大小。
X
因通常σ 未知，计算标准误采用下式：
n
SX
S n
通过增加样本 含量n来降低抽
样误差。
表4-1计算了100个样本的标准差S，由此可 计算每一样本的抽样误差大小。
t 界值表
（P406，附表2）
ν =10的t分布图
f ( t)
问单侧t0.05,10 ?
举例：
t
1.812 -2.228 2.228
① 10，单 =0.05， t , t0.05,10 1.812 ，则有
P(t 1.812) 0.05 或 P(t 1.812) 0.05
统计学： 总体均数的估计
随机抽样 random sampling
为了保证样本的可靠 性和代表性，需要采 用随机的方法抽取样 本（在总体中每个个 体具有相同的机会被 抽到）。
参数与统计量 parameter and statistic
参数：总体的统计指标， 如总体均数、标准差，采
总体
参 数
抽取部分观察单位