圆锥曲线知识要点及结论个人总结

《圆锥曲线》知识要点及重要结论

一、椭圆

1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离的和等于常数)2(221F F a a >的点P 的轨迹叫做椭圆.若212F F a =，点P 的轨迹是线段21F F .若2120F F a <<，点P 不存在.

2 标准方程 )0(122

22>>=+b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.

)0(122

22>>=+b a b

x a y ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222c b a +=. 3 几何性质

椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心. 椭圆的顶点有四个，长轴长为a 2，短轴长为b 2，椭圆的焦点在长轴上.

若椭圆的标准方程为)0(122

22>>=+b a b y a x ，则b y b a x a ≤≤-≤≤-,；

若椭圆的标准方程为)0(122

22>>=+b a b

x a y ，则a y a b x b ≤≤-≤≤-,.

二、双曲线

1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离之差的绝对值等于常数)20(221F F a a <<的点的轨迹叫做双曲线. 若212F F a =，点P 的轨迹是两条射线.若212F F a >，点P 不存在.

2 标准方程 )0,0(122

22>>=-b a b y a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.

)0,0(122

22>>=-b a b

y a x ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222b a c +=. 3 几何性质

双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个21,A A ，实轴长为a 2，虚轴长为b 2，双曲线的焦点在实轴上.

若双曲线的标准方程为)0,0(122

22>>=-b a b y a x ，则R y a x a x ∈≥-≤,或；

若双曲线的标准方程为)0,0(122

22>>=-b a b

x a y ，则R x a y a y ∈≥-≤,或.

4 渐近线

双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 有两条渐近线x a b y =和x a b

y -=.即02222=-b y a x

双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y 有两条渐近线x b a y =和x b

a

y -=.即02222=-b x a y

双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一

组渐进线却对应无数条双曲线.

与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 共渐进线的双曲线可表示为)0(22

22≠=-λλb

y a x .

直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数0≠”和“0>∆”同时成立.

5 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.

等轴双曲线的标准方程为)0(12222>=-a a y a x 或)0(122

22>=-a a

x a y .

等轴双曲线的渐近线方程为x y ±=.

6 共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.

如：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的共轭双曲线为)0,0(122

22>>=-b a a

x b y ，它们的焦点到

原点的距离相等，因而在以原点为圆心，22b a +为半径的圆上.且它们的渐近线都是

x a b y =

和x a

b y -=. 三、抛物线

1 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线F l (不在l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.

2 标准方程

(1) )0(22

>=p px y ，焦点为)0,2

(

p ，准线方程为2p

x -=，抛物线张口向右.

(2) )0(22

>-=p px y ，焦点为)0,2(p -，准线方程为2p x =，抛物线张口向左.

(3) )0(22

>=p py x ，焦点为)2

,0(p ，准线方程为2p y -=，抛物线张口向上.

(4) )0(22

>-=p py x ，焦点为)2,0(p -，准线方程为2

p y =，抛物线张口向下.

其中p 表示焦点到准线的距离.

3 几何性质

抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为)0(22>=p px y 或)0(22

>-=p px y ，则对称轴是x 轴，若方程为)0(22

>=p py x 或)0(22

>-=p py x ，则对称轴是y 轴. 若抛物线方程为)0(22

>=p px y ，则R y x ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p px y ，则R y x ∈≤,0. 若抛物线方程为)0(22>=p py x ，则R x y ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则R x y ∈≤,0.

圆锥曲线的一些重要结论

【几个重要结论】

1 已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两焦点为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为椭圆上一

点，则)1()()(22

2

2

020

2

01a

x b c x y c x PF -++=++=

a a cx a a cx a cx a x c +=+=++=02020

2

202)(2 因为a x a ≤≤-0，c a a a

cx

c a c a cx c +≤+≤-<≤≤

-000,， 所以a a cx PF +=

01. 同理，a

cx

a PF a PF 0122-=-=. 已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为

双曲线上一点，则a a cx PF +=

01，a a

cx

PF -=02. 2 椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 的两焦点为21,F F ，P 为椭圆上一点，若θ=∠21PF F ，则

21PF F ∆的面积为

2

tan cos 1sin 22α

ααb b =+. 解：根据椭圆的定义可得a PF PF 221=+ ①