高考数学大一轮复习 第2节 参数方程课件(选修4-4)

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【解】
(1)曲线
C
的参数方程为yx＝＝32scions
θ， θ
(θ 为参数)．
直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0.
(2)曲线
C
上任意一点
P(2cos
θ，3sin
θ)到
l
的距离为
d＝
5 5
|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA|＝sind30°＝2 55|5sin(θ＋α)－6|，其中
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规律方法 2 1.对于形如xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt， (t 为参数)的参数 方程，当 a2＋b2≠1 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几 何意义解题．
2．已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般 把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上 动点有关的问题，如最值、范围等．
(1)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y＝ 3x＋ 2 垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标．
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【解】 (1)C 的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得 C 的参数方程为xy＝ ＝1si＋n tcos t， (t 为参数，0≤t≤π)．
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【解】 因为直线 l 的参数方程为xy＝＝t2＋t 1， (t 为参数)， 由 x＝t＋1，得 t＝x－1，代入 y＝2t，
得到直线 l 的普通方程为 2x－y－2＝0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2＝2x. 联立方程组yy＝2＝22xx－ ，1， 解得公共点的坐标为(2,2)， 12，－1.
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对点训练 (2014·课标全国卷Ⅰ)已知曲线 C：x42＋y92＝1， 直线 l：xy＝ ＝22＋ －t2，t (t 为参数)．
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值．
α 为锐角，且 tan α＝43.
当
sin(θ＋α)＝－1
时，|PA|取得最大值，最大值为225
5 .
当
sin(θ＋α)＝1
时，|PA|取得最小值，最小值为2
5
5 .
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考向三 参数方程与极坐标方程的综合问题 (2014·课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐
标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的 极坐标方程为 ρ＝2cos θ，θ∈0，π2.
x＝a－2t， y＝－4t
(tຫໍສະໝຸດ Baidu
为参数)，圆
C
的参数方程为xy＝＝44csions
θ， θ
(θ
为参数)．
(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；
(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围．
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【解】 (1)直线 l 的普通方程为 2x－y－2a＝0， 圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点， 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝|－25a|≤4， 解得－2 5≤a≤2 5.
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规律方法 1 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代 入法、加减消元法、三角恒等变换法．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数， 并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影 响．
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对点训练 (2014·福建高考)已知直线 l 的参数方程为
又直线 l 过点 A(1,2)，
x＝1＋12t，
因此
l
的参数方程为 y＝2＋
3 2t
(t 为参数)．
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(2)由 x＝3cos θ，且 y＝3sin θ，消去 θ. 得圆 C 的直角坐标方程 x2＋y2＝9. 将直线 l 的参数方程代入 x2＋y2＝9，得 t2＋(1＋2 3)t－4＝0，∴t1t2＝－4. 由参数 t 的几何意义得直线 l 和圆 x2＋y2＝9 的两个交点 到点 A 的距离之积为|t1t2|＝4.因此|AB|·|AC|＝4.
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3．常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)
圆 椭圆
x2＋y2＝r2 ax22＋by22＝1(a>b>0)
x＝rcos θ， y＝rsin θ
(θ 为参数)
x＝acos φ， y＝bsin φ
允许值，由这个方程组所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，
那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x，y 的变数 t 叫做参__变__数__，简称_参__数___
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2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参__数__从参数方程得到普通方程，如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通 方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么xy＝＝fgtt， 就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必 须使 x，y 的取值范围保持一致．
第二节 参数方程
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[考情展望] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择 适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．
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2
1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的
x＝ft， 坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数y＝gt 并且对于 t 的每一个
(φ 为参数)
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考向一 参数方程与普通方程的互化
(2015·郑州质检)在平面直角坐标系 xOy 中，直线
l 的参数方程为xy＝ ＝t2＋t 1， (t 为参数)，曲线 C 的参数方程为
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数)．试求直线 l 和曲线 C 的普通方程，
并求出它们的公共点的坐标．
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考向二 参数方程及应用
已知直线 l 经过点 A(1,2)，倾斜角为π3，圆 C 的参
数方程为xy＝＝33csions
θ， θ
(θ 为参数)．
(1)求直线 l 的参数方程；
(2)若直线 l 与圆 C 交于两点 B、C，求|AB|·|AC|的值．
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【解】 (1)∵直线 l 的倾斜角 α＝π3，∴cos α＝12，sin α ＝ 23，