大地测量学 2高程系统

a, J 2 , fM ,
U0
fM (1
a3
q) 2
3K 2a2
q 2a3 fM
3 2
J2
q 2
旋转椭球体为我们提供了一个非常简单而又精确的地球
几何形状的数学模型，使一些公式推导与计算很方便。为了
地面上以铅垂线为依据的观测数据归算到椭球面上，还必须
给这个椭球模型加上密合于实际地球的引力场。为此，我们
上一讲应掌握的内容
1.引力、离心力与重力
F
f
M m r2
P m 2
g
F
P
离心力在赤道达最大值，但数值比地球引力1/200还要小一些
2.引力位、离心力位和重力位
地球引力位：V f dm (M) r
离心力位：Q 2 (x2 y2 )
2
重力位函数：W f dm 2 (x2 y2)
p
fM a2
(1 q) 9.832ms2
正常重力两实用公式 0 e (1 sin2 )
0 e (1 sin 2 －1 sin 2 2 )
高出水准椭球面H米的正常重力计算公式
0 0.3086 H
上一讲应掌握的内容
5.正常重力场参数
地球正常(水准)椭球的基本参数，又称地球大地基准常数是：
• 地形高部分及大地水准面(或似大地水准面)高部分。 • 地形高基本上确定着地球自然表面的地貌。 • 大地水准面高度又称大地水准面差距 N；似大地水准面高度
又称高程异常ζ，它们基本上确定着大地水准面或似大地水 准面的起伏。
2、水准面是个等位面，相邻两水准面的重力位差处处相同。
即位差唯一：W0 WA
Vn
r
1
n 1
[
An
Pn
(cos
)
n
( AnK
K 1
cos K
Bn K
sin
K)PnK (cos )]
当选取前3项时，将重力位W写成U
U
2 n0
1 r n1
[ AnPn (cos )
2
( AnK
K 1
cos K
Bn K
sin
K)
Pn K
(cos
)]
2
2
r2
sin 2
U0
f
M [1 q ]
A
gdh
0
• 无限邻近的两水准面的重力位差（物理量）与垂线方向上的
高差（几何量）之间的关系：dW gdh
• 水准面近似于旋转椭球面，且离心加速度在两极处最小，在 赤道上最大。故同一水准面上，靠近两极处的重力值大于赤
道附近的重力值。
一、三个预备概念
3、水准面是不平行的 即：大范围内闭合水准路线闭合差理论值不等于零
A
gdh gdH
0
A
大地水准面
W = CA
A点水准面
dH
则：A点的正高为： O
A W = W0
H
A 正
A
dH
W0
WA
1
A
g
A m
g
A m
A
gdh
0
式中：
g
A m
为大地水准面上A点到A点的平均重力。
事实上，只有在作出地壳内部质量分布的假设后，才能 近似地求得平均重力值。
四、正常高系统
将正高系统中不能精确测定的
• 力高系统 工程上有时用的特殊的高程系统。
各种高程系统之间的关系
地球表面
H正
H常
H大
H大=H正+N H大=H常+ζ
大地水 N
准面差距
ζ高程异常
大地水准面
似大地水准面
参考椭球面
三、正高系统
因为位差唯一：
W0 WA
A
gdh
0
A
A
所以：
WA WA
g dH
A
WA WA W0 WA
dh
A
a
32
U f M [1 K (1 3cos2 ) 2r 3 sin 2 ]
r
2r 2
2 fM
上一讲应掌握的内容
4.正常重力公式
（正常椭球面上）
0
fM a2
(1 3 q (5 q ) cos2 )
22
赤道正常重力：
e
fM a2
(1 3q ) 9.78ms2
2
极点处正常重力：
• 大地高系统 是以参考椭球面为基准面，地面点的大地高是该点沿参 考椭球面法线至参考椭球面的距离。大地高也称为椭球 高，一般用符号H大表示。
• 正高系统 是以大地水准面为基准面，地面点的正高是沿该点的垂线 至大地水准面的距离，正高用符号H正表示。
• 正常高系统 是以似大地水准面为基准面，地面点的正常高是沿该点垂 线至似大地水准面的距离，正常高用符号H常表示。
首先把旋转椭球赋予与实际地球椭球相等的质量，同时假定
它与地球一起旋转，进而用数学约束条件把椭球面定义为其
本身重力场中的一个等位面，并且这个重力场中的铅垂线方
向与椭球面相垂直，由此决定的旋转椭球的重力场称为正常
重力场。这样的椭球称为正常椭球，也称为水准椭球。
第三章 Ⅱ高程系统
一、三个预备概念
1、大地高由两部分组成
• 设由O—A—B路线水准测量得到B点的高程 HB h • 由O—N—B线路得到B点高程 H B ' h'
• 由于水准面不平行，对应的Δｈ和Δｈ′不相等，水准环线 高程闭合差也不等于零，称为 理论闭合差。
二、四种高程系统的关系
实际工作中涉及四种高程系统：
大地高系统、正高系统、正常高系统、力高系统。
r2
当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力 等位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面 有无穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形 成的重力等位面，专称它为大地水准面。
上一讲应掌握的内容
3.地球的正常重力位
U f M [1 (1 3cos2 ) q sin2 ]
r3
2
第n阶地球引力位公式 μ地球形状参数，q离心力与重力比
为重力扁率： p a 5 q
a
2
反映地球扁率与 重力扁率的关系
q为赤道上离心力与重力之比：q 2a3 1
fM 288
四、正常高系统（续）
正常高可分解成三项之和。
H B 正常高
1
B m
B
gdh
0
B 0
dh
1
B m
B 0
(
0
B 0
)dh
1
百度文库
B m
B
(g )dh
0
第一项为主项，后面两项为改正项。则相应的正常高 高差可表示为：
H B 正常高
HA 正常高
B A
dh
[
1
B m
( 0
OB
B 0
)dh
1
A m
( 0
OA
A 0
)dh]
1
[
B m
OB
(g
)dh
1
A m
(g
OA
)dh]
B A
dh
其中：
A 0
B 0
g
A m
,用正常重力代替，便
得到另一种系统的高程，称其为正常高。我国规定采用
正常高高程系统作为我国高程的统一系统。
H A 正常高
1
A m
A
gdh
0
式中:
A m
A 0
0.3086
HA 2
,
mA可看作A点到正常椭球面一半高度处的正常重力值。
0 a 1 sin2 B ,称为克莱罗定理。
精确公式为： 0 a 1 sin2 B 1 sin2 2B