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（3）从初始状态到目标状模板
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5.1搜索策略的基本概念
例5.2 修道士和野人问题. 首先选取描述问题状态的方法。 用一个三元组表示状态： S=(m,c,b) 其中：m表示左岸的修道士数； c表示左岸的野人数； b表示左岸的船数；
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（2）从某个初始状态出发，每次使用一个“操作”，递 增地建立起操作序列，直到达到目标状态为止。
（3）从初始状态到目标状态所使用的算符序列就是问题 的一个解。
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3.状态空间的例子 例5.1:二阶梵塔问题：设有三根钢针，它们的编号分别
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状态空间图：赋值的有向图。节点表示问题的状态， 有向边表示操作.
2.状态空间问题求解
任何以状态和操作为基础的问题求解方法都 称为状态空间问题求解。简称为状态空间法。
状态空间法的基本过程为：
（1）为问题选择适当的“状态”及“操作”的形式 化描述方法。
表示问题求解过程中每一步问题状况的数据结构， 形式的表示为：
Sk={Sk0,Sk1,…)
当对每一个分量都予以确定的值时，就得到了一 个具体的状态。
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（2）操作（operator)（算符） 把问题从一种状态转换为另一种状态的手段。 可以是一个机械步骤、一个运算、一条规则或一
Q01
b=1,m=0或3,c≤2 b=1,c=c+1
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例5.3 猴子摘香蕉问题. 首先选取描述问题状态的方法。 用一个四元组表示状态：
S=(w,x,y,z) 其中：w表示猴子的水平位置；
x表示箱子的水平位置； y表示猴子是否在箱子上，当猴子在箱子上时y=1否则 y=0； z表示猴子是否拿到香蕉，当拿到香蕉时z=1否则z= 0；
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3.搜索类型： (1)根据是否使用启发信息分类： ▪ 盲目搜索：按预定的控制策略进行，在搜索过程中获得的
中间信息不改变控制策略。 ▪ 启发式搜索：在搜索过程中加入了与问题有关的启发性信
息，用于指导搜索朝着最有希望的方向前进，加速问题的 求解过程并找到最优解。
（5）可解节点与不可解节点 满足以下三个条件的为可解节点:
• 任何终止节点都是可解节点； • 对“或”节点，当其子节点中至少有一个可解节点时，
则该或节点就是可解节点； • 对“与”节点，只有当其子节点全部为可解节点时，则
该与节点才是可解节点。
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满足以下三个条件的为不可解节点: • 不为终止节点的端节点是不可解节点； • 对“或”节点，若其全部子节点中为不可解节点时，
是1，2，3。在初始情况下，1号钢针上穿有A、B两 个金片，A比B小， A位于B的上面。要求把这两个金 片全部移到另一根钢针上，而且规定每次只能移动一 个金片，任何时刻都不能使大片位于小片的上面。
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解：设用Sk={Sk0, Sk1}表示问题的状态，其中，Sk0 表示金片A所在的钢针号，Sk1表示金片B所在的钢针 号。全部可能的问题状态共有以下9种： S0=(1,1) S1=(1,2) S2=(1,3) S3=(2,1) S4=(2,2) S5=(2,3) S6=(3,1) S7=(3,2) S8=(3,3)
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右岸的状态由下式确定： 右岸的修道士数 m’=3-m； 右岸的野人数c’=3-c； 右岸的船数b’=1-b； m和c的取值分别为0，1，2，3之一； b的取值分别为0，1; 共有4x4x2=32种状态。
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利用问题归约方法，原问题可分解为以下三个子问题: (1)把金片A及B移到2号钢针上的双金片移动问题：
(1,1,1) →(1,2,2) (2)把金片C移到3号钢针上的单金片移动问题：
(1,2,2) →(3,2,2) (1)把金片A及B移到3号钢针上的双金片移动问题：
(3,2,2) →(3,3,3)
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2.问题归约的“与或树”表示
当把一个原问题归约为一系列本原问题的过程可 以很方便的用一个“与或树”来表示。
（1）与树
（2）或树
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（3）与/或树
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（4）端节点与终止节点 端节点：没有子节点的节点。 终止节点：本原问题所对应的节点。
用归约法求解。
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解：为了能够解决这一问题，首先需要定义该问题的形 式化表示方法。 用三元组（i,j,k)表示问题任何时刻的状态； 用“→”表示状态的转换； i表示金片C的针号; j表示金片B的针号; k表示金片A的针号;
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(1,1,3) →(1,2,3)
则该或节点就是不可解节点； • 对“与”节点，只要其子节点中有一个为不可解节点
时，则该与节点才是不可解节点。
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（6）解树 由可解节点构成，并且由这些可解节点可以推出
初始节点（对应着原始问题）为可解节点的子树为解 树。
在解树中一定包含初始节点。
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其中S0为初始状态，S4和S8为目标状态。
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5.1搜索策略的基本概念
任何以状态和操作为基础的问题求解方法都称为状 态空间问题求解。简称为状态空间法。
状态空间法的基本过程为：
（1）为问题选择适当的“状态”及“操作”的形式化描述 方法。
（2）从某个初始状态出发，每次使用一个“操作”，递增 地建立起操作序列，直到达到目标状态为止。
{Goto(b),Pushbox© ,Climbbox,Grasp}
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5.1.3 问题归约
问题是不同于状态空间方法的另外一种形式化方 法，基本思想是对问题进行分解或变换。
当一个问题比较复杂时，直接求解比较困难，可 以通过分解或变换，将其转化为一系列较简单的问题， 然后通过对较简单的球接来实现对原问题的求解。
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需要考虑的操作有： （1）船至少有一个人（m或c）操作，离开岸边的m和c
的减少数目应该等于到达岸边的m和c的增加数目； （2）每次操作船上的人数不得超过2个； （3）操作应保证不产生非法状态。 操作由两部分组成：条件部分和动作部分。
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即:(x,x,0,0) → (v,v,0,0) Climbbox:猴子爬上箱子，即:(x,x,0,0) → (x,x,1,0) Grasp:猴子拿到香蕉，即:(c,c,1,0) → (c,c,1,1)
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问题的状态空间图见书P172,图5-3. 由初始状态变为目标状态的操作序列为：
1.问题的分解与等价变换
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当把一个问题归约为子问题时，可采用对原问题 的分解或变换方法。
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（1）分解 如果一个问题P可以归约为一组子问题P1, P2,…, Pn，
并且只有当所有子问题Pi(I=1,2,…,n)都有解时，原 问题P才有解，任何一个子问题Pi(I=1,2,…,n)无解都 会导致原问题P无解。
个过程。可理解为状态集合上的一个函数，描述了状 态之间的关系。
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（3）状态空间（state space） 描述一个问题的全部状态以及这些状态之间的相互
关系。 常用三元组表示: (S, F, G) S:为问题所有初始状态的集合。 F:为操作的集合。 G:为目标状态的集合。
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(2)根据问题的表示方式分类： ▪ 状态空间搜索：用状态空间法来求解问题所进行
的搜索。 ▪ 与/或树搜索：用问题归约法来求解问题时所进行
的搜索。
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5.1.2 状态空间法
1.状态空间表示法
（1）状态 (state):
称这种归约为问题的分解。分解所得到的子问题的 “与”与原问题P等价。
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（2）等价变换 如果一个问题P可以归约为一组子问题P1, P2,…, Pn，
并且这些子问题Pi(I=1,2,…,n)中只要有一个有解则原 问题P就有解，只有当所有的子问题都无解时，原问题P 才无解，称这种归约为问题的等价变换。简称变换。即 变换所得的子问题的 “或”与原问题P等价。
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3.问题归约的例子
例5.4:三阶梵塔问题：设有三根钢针，它们的编号分别 是1，2，3。在初始情况下，1号钢针上穿有A、B、C 三个金片，自上而下，有小到大，。要求把这两个金 片全部移到另一根钢针上，而且规定每次只能移动一 个金片，任何时刻都不能使大片位于小片的上面。
1,1
2,1 2,3
A(1,3)
3,1 B(1,2) 3,2 A(3,2)
3,3
1,3
1,2
2,2
二阶樊塔状态空间图
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除去不合法的状态和修道士被野人吃掉的状态，余下的状态由 16种：
S0=(3,3,1), S1=(3,2,1), S2=(3,1,1), S3=(2,2,1), S4=(1,1,1), S5=(0,3,1), S6=(0,2,1), S7=(0,1,1), S8=(3,2,0), S9=(3,1,0), S10=(3,0,0), S11=(2,2,0), S12=(1,1,0), S13=(0,2,0), S14=(0,1,0), S15=(0,0,0),
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用Qij表示从右岸到左岸的运人操作，可供选择的 操作由10种，操作集为：
F={P01, P10, P11, P02, P20, Q01, Q10, Q11, Q02, Q20,}
以P01和Q01为例说明操作的条件和动作：
操作符号
条件
动作
P01
b=1,m=0或3,c≥1 b=0,c=c-1
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(1,1,1) →(3,3,3)
(1,1,1) →(1,2,2)
(1,2,2) →(3,2,2)
(3,2,2) →(3,3,3)
(1,1,1) →(1,1,3)
(1,2,3) →(1,2,2)
(3,2,2) →(3,2,1)
(3,3,1) →(3,3,3)
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2020/11/21
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5.1搜索策略的基本概念
5.1.1搜索的含义
1.搜索定义:根据问题的实际情况，不断寻找可利用的知 识，从而构造一条代价最小的推理路线，使问题得以解决 的过程称为搜索。
2.组合爆炸问题：结构良好，理论上有算法可依的问题， 如果问题或算法的复杂性较高（按指数形式增长），由于 受计算机在时间和空间上的限制，无法付诸实用。
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5.1搜索策略的基本概念
在实际问题的归约过程中，有可能需要同时采用 变换和分解的方法。
无论是分解还是变换，都是要将原问题归约为一 系列本原问题。
所谓本原问题是指那种不能分解（或不需要分解） 或变换，且可以直接解答的子问题。
本原问题可以作为终止归约的限制条件。
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5.1搜索策略的基本概念
所有可能的状态有： S0=(a,b,0,0),初始状态 S1=(b,b,0,0), S2=(c,c,1,0), S3=(c,c,1,1),目标状态
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5.1搜索策略的基本概念
允许的操作为： Goto(u):猴子走到位置u，即:(w,x,0,0) → (u,x,0,0) Pushbox(v):猴子推着箱子到水平位置v，