函数模型及其应用-知识点与题型归纳

熹李节尿莫型-及其应用

•高考明方向

1. 了解指数函数、对数函数、幕函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类

型增长的含义.

2. 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用•

★备考知考情

1. 利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是咼考命题的热点.

2. 常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力.

3. 选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.

一、知识梳理《名师一号》P35 知识点一几类函数模型

知识点二三种增长型函数之间增长速度的比较

1. 指数函数y= a x(a> 1)与幕函数y= x n(n> 0)：

在区间(0,+x )上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n,但由于

a x的增长快于x n的增长，因而总存在一个x o,当x>x o时，有a x>x n.

2. 对数函数y= log a x(a> 1)与幕函数y= x n(n>0)：

对数函数y= log a x(a> 1)的增长速度，不论a与n值的大小如何，总会慢于y= x n 的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x o，当x >x o时，有log a x v x n

由1、2可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0, +^) 上，总会存在一个X0，当x>X0时，有a x>x n>

log a x.

注意：《名师一号》P36问题探究问题1、2

问题1解决实际应用问题的一般步骤是什么？

⑴审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系, 初步选择数学模型；

(2) 建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转

化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3) 求模：求解数学模型，得出数学结论；

(4) 还原：将数学问题还原为实际问题.

以上过程用框图表示如下：

彳建立函数模型|

敷学1T赢

—|数学结果|

问题2在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题？

(1)函数模型应用不当，是常见的解题错误•所以，要理解题意，选择适当的函数模型.

⑵要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.

(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性.

二、例题分析：

(一)三种函数模型增长速度的比较例1•《名师一号》P36对点自测5、6

5•判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)

(1)函数二2的函数值比y= x2的函数值大.()

⑵幕函数增长比直线增长更快.()

(3) 不存在x o,使a x0vx n

(4) f(x) = x2, g(x)= 2、h(x)= log2x,

当x€ (4,+x )时，恒有h(x)

答案⑴X ⑵X ⑶X ⑷V

思考：如何证明：任意x € (4,+x), x2<2x恒成立。

6 •在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据•现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是

A.y= 2x

B. y= log2x

C. y=2（x2—1） D - y= 2.61cosx

解析由表格知当x = 3时，y= 1.59,而A中y = 23= 8,

1

不合要求，B中尸Iog23€ (1,2)接近，C中y=㊁©2—1) = 4,

不合要求，D中y= 2.61cos3<0,不合要求，故选B.

(二)函数模型应用题

例1•《名师一号》P36对点自测1

1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时

间t(h)的函数关系用图象表示为图中

ABCD

解析由题意知h= 20—5t(0W t<4),故选B.

例2•《名师一号》P36高频考点例1

(2014武汉调研)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x) = f(x +

1)—f(x) •某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)=

3 000x—20x2,

C(x) = 500x + 4 000(x€ N*).现已知该公司每月生产该产品不超过100台.

(1) 求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x);

(2) 求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差.

解析：(1)由题意，得x€ [1,100],且x € N*.

P(x) = R(x) —C(x) = (3 000x —20x2) —(500x + 4 000) =—20x2+ 2 500x —4 000,

MP(x) = P(x + 1)—P(x)

=[—20(x+ 1)2+ 2 500(x + 1) —4 000]

—(—20x2+ 2 500x—4 000)= 2 480- 40x.

125 2

(2)P(x) = —20 x —兀2+ 74 125,

当x= 62或x = 63时，P(x)取得最大值74 120元；因为MP(x) = 2 480-40x是减函数，所以当x = 1时, MP(x)取得最大值2 440元.

故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值

之差为71 680元.

注意：《名师一号》P36高频考点例1规律方法二次函数是

我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数

的最值，解决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要

注意自变量的取值范围