数学在经济生活中的应用

数学在经济生活中的应用

例1

设:生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为C(0)=1000元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大？并求最大利润

解:总成本函数为

C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x 2+1000

总收益函数为R(x)=500x

总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000,L’=400-2x,令L’=0,得x=200,因为L’’(200)<0。所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=390009(元)

例2

某企业每月生产Q(吨)产品的总成本C(千元)就是产量Q的函数,C(Q)=Q

2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。

解:每月生产Q吨产品的总收入函数为:

R(Q)=20Q

L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q2-1Q+20)

=-Q2+30Q-20

L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30

则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为

L’(10)=-2×10+30=10(千元/吨);

L’(15)=-2×15+30=0(千元/吨);

L’(20)=-2×20+30=-10(千元/吨);

以上结果表明:当月产量为10吨时,再增产1吨,利润将增加1万元;当月产量为15吨时,再增产1吨,利润则不会增加;当月产量为20吨时,再增产1吨,利润反而减少1万元。

例3

设生产某产品的固定成本为60000元,变动成本为每件20元,价格函数p=60-Q1000(Q为销售量),假设供销平衡,问产量为多少时,利润最大？最大利润就是多少？

解:产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q

收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000

则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000

L’(Q)=-1500Q+40,令Ｌ’(Q)=0得Q=20000

∵L’’(Q)=-1500<0∴Q=2000时L最大,L(2000)=340000元

所以生产20000个产品时利润最大,最大利润为340000元。

例4

X银行提供每年支付一次,复利为年利率8%的银行帐户,Y银行提供每年支付四次,复利为年利率8%的帐户,它们之间有何差异呢？

解两种情况中8%都就是年利率,一年支付一次,复利8%表示在每年末都要加上当前余额的8%,这相当于当前余额乘以1、08、如果存入100元,则余额A为

一年后:A=100(1、08), 两年后:A=100(1、08)2,…,t年后:A=100(1、08)t、

而一年支付四次,复利8%表示每年要加四次(即每三个月一次)利息,每次要加上当前余额的8%/4=2%。因此,如果同样存入100元,则在年末,已计入四次复利,该帐户将拥有100(1、02)4元,所以余额B为

一年后:B=100(1、02)4,二年后:B=(1、02)4×2,…,t年后:B=(1、02)4t。

注意这里的8%不就是每三个月的利率,年利率被分为四个2%的支付额,在上面两种复利方式下,计算一年后的总余额显示

一年一次复利:A=100(1、08)=108、00,一年四次复利:B=100(1、02)4=108、24、因此,随着年份的延续,由于利息赚利息,每年四次复利可赚更多的钱、所以,付复利的次数越频繁可赚取的钱越多(尽管差别不就是很大)、

例5

您买的彩票中奖1百万,您要在两种兑奖方式中进行选择,一种为分四年每年支

付250000元的支付方式,从现在开始支付;另一种为一次支付总额920000元的一

次付清方式,也就就是现在支付,假设银行利率为6%,以连续复利方式计息,又假

设不交税,那么您选择哪种兑奖方式？

解:我们选择时考虑的就是要使现在价值(即现值)最大,那么设分四年每年支付250000元的支付方式的现总值为P,

则

P=250000=250000e 06

.0

+250000e

2

06

.0x

+250000e

3

06

.0x

=250000+235411+221730+

208818=915989＜920000

因此,最好就是选择现在一次付清920000元这种兑奖方式

例6:

设银行存款现值P与将来值B,年利率为r.则t年后的本利与即将来值B=(1+r)t

若一年分n 次计算复利,则每期利率为三,一年后的本利与即将来值为 B=P(1+n

r )n 而t 年后的本利与即将来值为 B=P(1+n

r )tn 当∞→n 时,则t 年后的本利与即将来值为 B=lim(x->∞)P(1+

n r )tn =pe t 从而现值p 与将来值B 之间的关系为 B= pe t

现值P 为1,利息r 为100%,t=1,则得 B= e

例7:某种产品的总成本C(万元)与产量q(万件)之间的函数关系式(即总成本函数)为 C=C(q)=100+4q-0、2q2+0、01q3

求生产水平为q=10(万件)时的平均成本与边际成本,并从降低成本角度瞧,继续提高产量就是否合适？

解: 当q=10时的总成本为

C(10)=100+4×10-0、2×102+0、01×103=130(万元)

所以平均成本(单位成本)为C(10)÷10=130÷10=13(元/件)

边际成本MC=C′(q)=4-0、4q+0、03q2

MC│q=10=4-0、4×10+0、03×102=3(元/件)

因此在生产水平为10万件时,每增加一个产品总成本增加3元,远低于当前的单位成本,从降低成本角度瞧,应该继续提高产量。

例8:

某公司总利润L(万元)与日产量q(吨)之间的函数关系式(即利润函数)为1500、005q-2qL(q)L2−==。试求每天生产150吨,200吨,350吨时的边际利润,并说明经济含义。 解:边际利润 ML=L(q)=2-0、01q

q

ML =2-0、01×150=0、5 q

ML =2-0、01 ×200=0

q ML =2-0、01×350=-1、5 从上面的结果表明,当日产量在150吨时,每天增加1吨产量可增加总利润0、5万元;当日产量在200吨时,再增加产量,总利润已经不会增加;而当日产量在350吨时,每天产量再增加1吨反而使总利润减少1、5万元,由此可见,该公司应该把日产量定在200吨,此时的总利润最大为:L=2×200-0、005 ×200²-150=50(万元)

从上例可以发现,公司获利最大的时候,边际利润为零。

例9